學情出發巧設計數學文化促理解

陳志興

當前數學教育提倡“為理解而教”，正確解讀教材和深入理解學情是上好每一節課的基礎.教師在進行教學設計時，應當把握整體教學脈絡，關注學生的已有知識經驗和生活經驗，做到把握學情、抓住知識本質，這樣才能促進學生理解和掌握知識本質，形成良好的思維結構.數學文化承載豐富，不僅包括豐富多彩的歷史文化，還包含數學精神、數學思想、數學意識、數學美等.在數學教學的過程中，基于具體學情無痕融入數學文化可以達到激趣引思之效，也可以促進學生深層次理解知識，繼而形成與發展數學素養.下面，筆者以“銳角三角函數（第一課時）”的教學為例談談自己的幾點看法，就教于方家.

1 數學文化促理解的教學過程

1.1 文化導入，溯源概念

問題1公元前3世紀，古希臘數學家、天文學家阿利斯塔克忽然有了重大發現.如圖1，月亮呈現半圓時，太陽A、地球B、月亮C三者的圓心恰好為一個直角三角形的三個頂點，且∠ABC=85°.據此他還計算得出地球與月亮的距離約為地球與太陽距離的119，你知道他是如何計算得出的嗎？請試著說一說.

設計意圖：當下數學課堂盛行情境教學，而情境教學往往源于生活，也就是所說的“生活情境”.天體問題是三角學中的重要問題之一，也是促進學生了解正弦概念，引入直角三角形中的銳角三角函數的有效載體.基于此，教師巧妙融入古希臘經典案例，以三角應用背景極好地激趣引思，激發學生深入探究的欲望，為銳角正弦函數的形成做足鋪墊.

1.2 特例歸納，結構理解

問題2如圖2，在Rt△ABC中，有∠A=30°.

（1）若BC=35，試求AB；

（2）若BC=75，試求AB.

學生活動：學生易根據定理“直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半”得出∠A的對邊與斜邊之比BCAB=12，進而使問題獲解.

問題3如圖3，在Rt△ABC中，有∠A=45°，試求∠A的對邊與斜邊之比BCAB的值.

師生活動：據Rt△ABC也是等腰三角形，從而設兩腰AC=BC=x，得出AB=BC2+AC2=x2+x2=2x，則BCAB=x2x=22.基于上述問題2和問題3，師生總結得出“無論直角三角形的大小如何，夾角是30°還是45°，其對邊與斜邊之比都是一個固定的值”.

問題4在圖4所示的Rt△ABC，Rt△A′B′C′中，若有∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，試探求BCAB和B′C′A′B′間的關系.

學生活動：學生易根據已知條件判定Rt△ABC與Rt△A′B′C′相似，進而得出BCB′C′=ABA′B′，變形后可得BCAB=B′C′A′B′，從而得出“對于給定的Rt△ABC，其銳角的對邊與斜邊之比等于一定值”.

總結：根據以上遞進式探究，不難發現在直角三角形中，若銳角A的度數確定，則其對邊與斜邊之比為一定值.事實上，古代數學家早已發現這一規律，如圖5所示，在直角……（課件出示相關概念.）

設計意圖：從特殊直角三角形、相似三角形引入，過渡到一般直角三角形，讓學生在拾級而上的探究中深刻認識到對于給定的直角三角形的一個特征，從而助力對銳角正弦概念的理解，并深化銳角正弦與相關知識間的聯系.進一步地，牢牢把握利用銳角對邊與斜邊之比來定義正弦概念，賦予概念結構特征等，以促進對概念本質的結構性理解.

1.3 追溯歷史，增進理解

問題5sin A為線段間的一個比值，你知道它的符號“sin”是從何而來的嗎？（課件呈現正弦歷史：事實上這個數學符合的創造是相當曲折的，其中伴隨了漫長的三角學和三角函數的發展史.“sin”是十五世紀西歐數學界雷基奧蒙坦創造的，他是一位阿拉伯領導人物.早在1464年他已經完成了著作《論各種三角形》，并于1533年發行.這本脫離天文學的純三角學的書，讓三角學獨立開來，成為了數學分科.隨著歷史的發展，明朝時期我國政治家、科學家徐光啟歷經畢生研究數學、天文、歷法、水利等，在此期間將“sin”翻譯為正弦.歷史大闊步前進，16世紀的法國數學家韋達，在《應用于三角形的數學定律》一書中系統論述三角學，運用了包括正弦在內的6種比值，同時創造了與之對應的三角函數表.進一步地，到了18世紀之后，瑞士數學家歐拉首次提出正弦函數的概念，此時三角形已然不再拘泥于三角形解法的研究，而是融合了函數線與單位圓，三角函數的相關知識在后續的高中階段我們將會學到……）

設計意圖：輔以視頻演示，讓數學符號“sin”的相關歷史呈現于學生的視野之中，達成數學文化的傳播，有效增進文化性理解.

1.4 學以致用，深化理解

問題6現在回歸課堂導入部分，如圖1，現在你覺得阿利斯塔克是如何計算出來的？

學生活動：該直角三角形中，∠A=5°，其對邊與斜邊之比BCBA所表示的是地月距離與地日距離之比，畫出該三角形后，易得到地月距離與地日距離之比sin 5°≈119.

問題7如圖6，已知登山者甲和乙兩人在兩個傾斜角分別為30°和45°的斜坡上步行150 m，甲、乙二人誰登得高，為什么？

學生活動：設甲攀登的高度是h1 m，乙攀登的高度為h2 m，據銳角正弦公式，易得h1=150sin 30°=75，h2=150sin 45°=752，進而得出結論.

問題81999年起，意大利對比薩斜塔維修偏差，并于2001年整體竣工，竣工時塔頂中

心線偏離垂直中心線角度減少至5°，那么此時塔頂中心線偏離垂直中心線的距離是多少？（sin 5°≈0.09，比薩斜塔高54.5 m.）

學生活動：如圖7，根據sin 5°=BCAB，可得BC=AB·sin 5°≈54.5×0.09=4.905（m）.

設計意圖：利用數學文化學以致用是數學教學中極其重要的一環，其中，如何巧妙運用十分重要.這一環節中，教師通過經典案例的問題設計，強化了學生對新知的理解和認識，讓學生切實感受到數學的應用性，從而獲得克服障礙解決問題的滿足感.

2 構建促進理解的數學文化教學的認識

2.1 數學文化教學利于深入理解數學本質

在教學的過程中，基于學情不斷融合數學思想、方法、觀念、語言及其形成與發展，以及數學史、數學美，可以讓學生的數學學習更系統、更完善.本課中，學生在數學文化的熏陶下深入了解數學的特征，通過深入理解數學本質構造出數學知識間的聯系，最終在深度探究中切實感悟到數學是有用的，形成終身受益的能力.

2.2 數學文化教學利于激發求知欲望與創新意識

數學學習從本質上來說就是為了“學以致用”，在應用的過程中滲透數學文化才能有所創新.教師通過對數學文化的傳播，讓學生自由漫步于自由發展的數學文化形態中，可以自然而然地激發求知欲望與創新意識，讓學生在質疑中深度探究、高效建構.本課中，正是由于教師在教學的過程中不失時機地滲透與傳播數學文化，才使得學生在學習活動中不斷深入思考，體驗征服數學的過程，最終自然而然地突破難點，實現高效建構.

2.3 數學文化教學利于提高數學素養

在教學中，充分挖掘教學中的文化價值，揭示知識發生與發展的全過程，努力還原或再現知識發現或發明的過程，讓學生感受到數學不僅是創造出來的，還是發明出來的，可以讓學生主動探尋并善于把握數學問題的本質與背景，進而培養學生的科學態度和理性精神.本課中，教師不斷展示一種充滿人類創造力的文化境界，讓學生在主動思考中合理提出概念與方法，并能結合數學文化背景思考和解決問題，從而有效提高數學素養.

總之，用數學文化促進理解可以讓學生在知識運用中培養創新意識，無痕發展數學核心素養.一線數學教師需努力豐富自身的數學文化修養，基于具體學情設計教學過程，讓學生在習得知識技能的過程中感受數學文化的熏陶，產生文化共鳴，從真正意義上理解數學、喜愛數學、熱愛數學.

參考文獻：

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羊振華，徐玉慶.基于數學文化的高中數學教學設計案例分析——記一堂研究生數學教學設計研討課.數學教學通訊，2016（36）：4-5.