分類討論思想在初中數學解題中的應用

摘? 要：分類討論是一種常用的數學解題思想與方法，在初中數學解題中有廣泛的應用，它在解決復雜數學問題時，能夠起到“化整為零、各個擊破”的作用，從而有利于降低解題難度.要在初中數學解題中應用好分類討論思想，需要全面理解掌握分類討論數學思想的內涵與應用原則、解題的一般步驟以及常見的解題類型.通過對分類討論思想的實踐應用，可以幫助初中學生更好地理解數學問題的本質并提高解題能力.

關鍵詞：分類討論思想；初中數學；解題應用

中圖分類號：G632??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1008-0333（2024）14-0021-03

收稿日期：2024-02-15

作者簡介：馬春秀（1976.10—），女，甘肅省康樂人，本科，中小學高級教師，從事初中數學教學研究.

對于復雜的數學問題，往往需要從多個方面進行分類討論，才能形成全面的解題結果.掌握分類討論思想，有利于學生在解決數學問題時全面思考，也有利于把復雜的數學問題分解成若干簡單的問題進行求解，使復雜的數學問題變得簡單，有效降低解題難度.要提高初中學生的數學解題能力與效率，需要讓學生掌握分類討論思想的應用原則、一般步驟及不同類型的解題策略，才能為解題提供幫助.

1 分類討論思想的內涵與應用原則

在解題過程中，分類討論思想是指當所給的數學問題或數學對象不能用統一的方法或標準進行研究時，就需要把該問題或對象按照某個標準進行分類或分情況，然后逐個類型或情況進行研究，最后歸納不同情況的結果，就能得到完整結果的一種數學思想方法［1］.

要有效應用分類討論思想解題，需要掌握其解題應用原則：一是統一性原則.在數學解題中，對于同一個問題或對象要按照統一的標準進行分類或分情況.二是全面性原則.在進行數學問題或對象分類時，要充分考慮各種情況，分類要做到全面、完整，不遺漏每種情況.三是互斥性原則.進行數學問題分類時，所分類型或情況不能兼容，必須相互排斥、互不包含，即各種分類情況不能有交集.四是層次性原則.如果一次分類后，某個子項仍然需要再分類時，必須嚴格按照分類層次進行逐級再分類［2］.

2 分類討論思想解題的一般步驟

利用分類討論思想進行數學解題時，一般應按照以下步驟進行解題：一是首先需要確定分類討論的對象及其取值或應用范圍；二是對確定的對象按照某個統一標準進行合理的分類；三是逐級、逐類對數學對象進行討論，使數學問題得到全面解決；四是對每種分類情況的討論結果進行歸納總結，形成全面系統的解題結果.

在解題過程中，對分類討論每種情況得出的結論或結果需要進行歸納總結，以形成全面完整的解題結果，其歸納形式有三種：一是并列形式.其形式為：“當……時，……；當……時，……”.二是“或”形式.其形式為：“……或……”.三是“且”形式.其形式為：“……且……”［3］.

3 分類討論思想在數學解題中的應用

3.1 由數學概念、公式、性質等引起的分類討論

由于一些數學概念、公式、性質等本身就具有分類性質，如絕對值、分段函數、反比例函數等數學概念.當數學題目中包含這些內容時，或基于這些內容設計的數學問題，在解題時就需要分類討論.

例1? 解不等式|4x+7|>|6x-9|.

解析? 該不等式含有絕對值，需要分類討論：

當4x+7≥0且6x-9≥0時，原不等式變成4x+7＞6x-9，得x＜8；當4x+7≥0且6x-9<0時，原不等式變成4x+7＞-（6x-9），得x＞-16/13；當4x+7＜0且6x-9≥0時，原不等式變成-（4x+7）＞6x-9，得x＜-2/5；當4x+7＜0且6x-9＜0時，原不等式變成-4x+7＞-（6x-9），得x＞

8/13；綜合以上結果，可得出不等式的解集是x＜-2/5或-

16/13＜x＜8/13.

例2? 在同一平面直角坐標系中，當正比函數y=mx與反比例函數y=n/x兩者的圖象沒有交點時，以下結論正確的是（? ）

A.m+n＜0? B.m+n＞0

C.mn＜0? D.mn＞0

解析? 根據反比例函數y=k/x的性質可知，當k>0時圖象在一、三象限，隨x增大而y減??；當k<0時圖象在二、四象限，隨x增大而y增大.在本題給出的兩個函數表達式中含有參數，可分以下兩種情況進行分類討論：

當m＞0且n＜0時，符合題意要求，可知此時mn＜0，但不能確定m+n的正負；當m＜0且n＞0時，符合題意要求，可知此時mn＜0，但不能確定m+n的正負；綜上所述，只有C選項符合題意.

3.2 由圖形位置關系引起的分類討論

由于不同圖形的位置關系存在不確定性，當兩條直線、兩個圓、直線與圓、不同平面幾何圖形之間、平面幾何圖形與函數圖像位置關系可能發生變化時，需要對這些不同情況進行分類討論.

例3? 有一個直角三角形紙片ABC，∠C是直角， AB=10，AC=6，點M是BC邊上的任意一點，將三角形紙片沿著過M點的直線MN進行折疊，使點C落在斜邊AB上的P點.如果△BMP為直角三角形，求CM的長.

解析? 在本題中只說明△BMP為直角三角形，并沒有規定哪個角是直角，因此需以△BMP的直角為對象進行分類討論.

在Rt△BMP中，當∠BMP=90°時，圖形對應的情形如圖1所示.由勾股定理可求得BC=102-62=8，根據題意可知四邊形CMPN為正方形，設CM=x，則BM=8-x，AN=6-x，容易證明△ANP∽△PMB，根據三角形相似性質可得出，AN/PM=PN/BM，即6-x/x=x/8-x，可求出x=24/7，則CM=24/7.

當∠BPM=90°時，圖形對應的情形如圖2所示.連接AM，容易證明△APM≌△ACM，從而可知CM=PM，AC=AP=6，BP=10-6=4，BM=8-x，在Rt△BMP中，由勾股定理可得x2+42=（8-x）2，解方程可得出x=3.

綜合以上兩種情況可得出CM的長是3或24/7.

3.3 由參數變化引起的分類討論

對于包含參數的方程問題、函數問題、不等式問題等，由于參數取值范圍的存在不確定性，在解題時，需要對題目中的參數進行分類討論.

例4?? 已知關于x的函數y=ax2+x+1（a是常數）的圖象與x軸有一個交點，求a的值.

解析? 在解決此題時，許多學生會把函數y=ax2+x+1（a是常數）默認為二次函數，然后再利用二次函數根的判別式△=0，就可以求出a=1/4，這樣解題就容易漏掉a=0的情況.出現這樣的問題，看似是學生粗心造成的，實際上是學生沒有牢固樹立分類討論思想.正確的解題步驟應該是：

當a=0時，函數y=ax2+x+1是一次函數y=x+1，它與x軸存在一個交點（-1，0）；當a≠0時，函數y=ax2+x+1是二次函數，令△=0，即1-4a=0，可求出a=1/4，因此當a=0或a=1/4時，函數y=ax2+x+1（a是常數）的圖象與x軸有一個交點.

例5? 已知一次函數y=ax+b的圖象分別與x，y兩個坐標軸交于M，N兩點，并且△MON的面積是S△MON=16，OM∶ON=1∶2，求該函數的表達式.

解析? 由于該函數是一次函數，則a≠0.因為S△MON=16，即OM/2·ON=16，所以OM·ON=32.設OM=x，因為OM∶ON=1∶2，所以ON=2x，從而可知OM·ON=x·2x=32，可求出x=±4（x=-4不合題意，舍去），所以x=4，即OM=4，ON=8.由于該函數有兩個參數不確定，因此需要對a，b兩個參數進行分類討論.

當a>0，b>0時，該一次函數圖象經過M（-4，0），N（0，8）兩點，容易求出其函數表達式為y=2x+8；當a>0，b<0時，用同樣的方法可求出函數表達式為y=2x-8；當a<0，b>0時，同理可求出函數表達式為y=-2x+8；當a<0，b<0時，同理可求出函數表達式為y=-2x-8.

綜上所述，該一次函數的表達式為y=2x±8或y=-2x±8.

3.4 由實際問題引起的分類討論

在解決實際應用問題時，需要根據實際問題可能出現的不同情況或不同對象進行分類討論，這樣才能使解題結果具有全面性與合理性.

例6? 某公司計劃暑期組織員工去集體旅游，估計人數在10～30之間，準備由A、B旅行社承辦，其服務質量與基本收費價格相同，都是每人400 元.但是A旅行社將會給每人打七五折優惠，B旅行社在免除一位游客費用的同時打八折.如果你是公司旅游組織者，你會如何選擇哪個旅行社？

解析? 在該實際問題中，由于準備旅游的員工人數還不能確定，也就不能準確計算每個旅行社的費用.如果假設參加旅游的員工人數為x，A旅行社的費用是400×0.75x，B旅行社的費用是400×

0.8（x-1）.這樣就把選擇旅行社的問題就轉化成數值大小比較的問題了，即員工人數在10～30人之間時，比較400×0.75x與400×0.8（x-1）兩個式子的數值大小.

要比較兩個式子的大小，需要進行分類討論，當把員工人數x作為分類討論對象時，顯然無法確定分類討論的標準，此分類方法不可取.如果把旅行費用作為分類討論對象，則可以按照兩個旅行社的費用大小分三種情況進行討論.

當400×0.75x>400×0.8（x-1）時，可得x＜16；當400×0.75x=400×0.8（x-1）時，可得x=16；當400×0.75x＜400×0.8（x-1）時，可得x＞16.

由此可知，當參與旅游的員工人數少于16人時，選擇B旅行社，公司付出的旅行費較少；當員工人數等于16人時，選擇A和B旅行社，公司付出的旅行費相同；當員工人數多于16人時，則選擇A旅行社，公司付出的旅行費較少.

4 結束語

分類討論思想在初中數學解題中有著廣泛的應用，它是解決復雜數學問題的重要方法.通過把復雜的大問題分解成若干個不同情況的小問題進行討論并求解，既能降低解題難度，又能使問題得到全面解決，還能培養學生的邏輯思維與推理能力.因此，教師要加強分類討論思想在解題中的應用教學，讓學生真正理解分類討論思想的內涵與應用原則，學會合理分類、解題步驟和結論歸納形式，掌握其不同類型的解題應用策略，提高學生解題能力.

參考文獻：［1］ 孫倩.分類討論思想在初中數學解題教學中的應用［J］.中外交流，2021，28（2）：198-199.

［2］ 楊蕾.試談分類討論思想在初中數學解題中的應用［J］.新課程（教研版），2021（45）：94.

［3］ 梅榮.分類討論思想在初中數學解題教學中的應用措施［J］.天天愛科學，2020（10）：19-20.

［責任編輯：李? 璟］