以圖示促進(jìn)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)發(fā)展的策略探究

常嘉秋 陳志剛 張麗梅

摘要：在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，圖示作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種常用手段，也是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要策略，它非常符合小學(xué)階段學(xué)生的認(rèn)知水平，是學(xué)生攻克問題的最直接、最直觀、最便利的工具。教師可以通過圖示的方式來引導(dǎo)學(xué)生把復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識變得形象具體、簡單易懂，從而有效地幫助學(xué)生厘清概念、分析數(shù)量關(guān)系和解決問題。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；圖示；概念；數(shù)量關(guān)系；解決問題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）在“核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)及其內(nèi)涵”中指出，幾何直觀包括能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類等內(nèi)涵。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，圖示作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種常用手段，也是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要策略，它非常符合小學(xué)階段學(xué)生的認(rèn)知水平，是學(xué)生攻克難題最直接、最直觀、最便利的工具。教師通過圖示的方式引導(dǎo)學(xué)生把復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識變得形象具體、簡單易懂，能夠有效地幫助學(xué)生厘清概念、分析數(shù)量關(guān)系和解決問題。教師要在教學(xué)中通過圖示培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，促進(jìn)幾何直觀素養(yǎng)的發(fā)展。

一、借助圖示理解數(shù)學(xué)概念，發(fā)展形象思維

新課標(biāo)指出，“經(jīng)過獨立的數(shù)學(xué)思維過程，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)基本概念和法則的發(fā)生與發(fā)展，數(shù)學(xué)基本概念之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的聯(lián)系。”概念是數(shù)學(xué)知識體系的重要支撐，從自然數(shù)的形成開始，數(shù)學(xué)是由一個個概念逐漸積累而成的。在數(shù)理邏輯中，對概念的理解是重中之重，學(xué)生只有在舊知的經(jīng)驗基礎(chǔ)上不斷形成新的知識積累，才能不斷生成新的概念。教師在引入概念、理解概念和鞏固應(yīng)用概念三個階段的教學(xué)過程中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生不斷進(jìn)行觀察、比較、分析、思辨，主動參與概念的形成過程，獨立思考，形成對概念準(zhǔn)確的認(rèn)識。要達(dá)成這樣的目標(biāo)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助圖形這個顯性工具，通過畫圖，將不斷拆解的概念形成直觀圖示，進(jìn)而發(fā)展幾何直觀，培養(yǎng)形象思維。

例如，在教學(xué)北師大版數(shù)學(xué)教材四年級下冊第二單元“認(rèn)識三角形和四邊形”中的第二課“三角形分類”時，在前測中筆者發(fā)現(xiàn)，雖然學(xué)生已經(jīng)在之前學(xué)習(xí)過三角形，對三角形的概念有了一定認(rèn)識，但是他們對直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形的概念認(rèn)識仍較為模糊，對于這些三角形的形成特點也沒有準(zhǔn)確的判斷。在課堂上，教師可以事先準(zhǔn)備好小棒學(xué)具，引導(dǎo)學(xué)生小組合作，用小棒拼擺三角形。學(xué)生組內(nèi)分工，通過不斷動手操作和語言交流，首先根據(jù)小棒的長度特點拼成各種不同的三角形。其次，學(xué)生用筆沿著小棒畫圖，通用圖示將不同的拼擺方法留在紙上。再次，學(xué)生觀察和討論這些三角形的特點，他們發(fā)現(xiàn)有些三角形有一個直角、兩個銳角；有些三角形有一個鈍角、兩個銳角；有些三角形有三個銳角；有些三角形有兩條邊相等；有些三角形有三條邊形等，從而根據(jù)這樣的特點自己去進(jìn)行分類和命名。最后，教師根據(jù)學(xué)生的分類，采用規(guī)范的方式對概念進(jìn)行統(tǒng)一。學(xué)生自主動手操作，通過圖示直觀地得出了三角形分類出的各種概念，這樣的方式提高了學(xué)生幾何直觀能力，也使得概念教學(xué)不再枯燥乏味，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、借助圖示分析數(shù)量關(guān)系，發(fā)展邏輯思維

新課標(biāo)指出，“‘?dāng)?shù)量關(guān)系主要是運用符號（包括數(shù)）或含有符號的式子表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系或規(guī)律。學(xué)生經(jīng)歷在具體情境中運用數(shù)量關(guān)系解決問題的過程，感悟加法模型和乘法模型的意義，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，形成模型意識和初步的應(yīng)用意識。”教學(xué)中，如果學(xué)生無法準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系或者對數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識存在模糊之處時，教師可以針對具體的數(shù)量關(guān)系掌握要求，引導(dǎo)學(xué)生通過圖示的方式，將較為抽象難懂的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為各種直觀的圖形符號，實現(xiàn)數(shù)量關(guān)系和幾何圖形之間的互化和對應(yīng)。教師可借助圖示，將數(shù)學(xué)問題中抽象的數(shù)量關(guān)系直觀化，使學(xué)生能在這種轉(zhuǎn)化的過程中有理有據(jù)、清楚地表述數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和自己的思維過程，發(fā)展邏輯思維。

（一）在圖示中對比，使數(shù)量關(guān)系直觀化

利用圖示進(jìn)行分析，厘清數(shù)量關(guān)系，是一種很好的解題策略，長方形直條圖就是數(shù)學(xué)圖示中的一種重要輔助圖形，直條圖也是學(xué)生畫線段圖的入門。作為學(xué)生首次接觸畫直條圖的問題——“求比一個數(shù)多幾或少幾的問題”，也是一類十分經(jīng)典的問題，即使到了高年級，題目被重新表述，其實質(zhì)仍是“求比一個數(shù)多幾或少幾的問題”，學(xué)生仍存在較高的錯誤率。為此，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過圖示學(xué)會辨析。

例如，“一班得了12面紅旗，二班比一班多得3面，二班得了多少面？”這一題，教師可先讓學(xué)生自主畫出題意，并展示不同學(xué)生的圖示（見圖1），再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨析：我們很快看出第一幅圖信息是“一班得了12面紅旗”，但對于第二個信息“二班比一班多得了3面”并未明確地表示出來。第二幅中不僅用了一一對應(yīng)的方法畫圖，標(biāo)注多得了3面，還用虛線標(biāo)注了此時的二班是由兩個部分組成的。這樣就能讓學(xué)生聚焦關(guān)鍵信息“二班比一班多得了3面”。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生用大括號標(biāo)注出圖中問題的部分，再一次讓學(xué)生展開辨析，最終厘清思路，從而解決問題。

（二）在圖示中分析，使思維過程可視化

圖示作為對數(shù)量關(guān)系的一種表達(dá)方式，能夠把信息的深層聯(lián)系直觀地展示出來。實際上，單純說理的教學(xué)效果遠(yuǎn)比不上借助圖示。因為學(xué)生畫圖示時可以先在頭腦中進(jìn)行思考，經(jīng)歷先畫什么再畫什么這一推理過程，最后把思維直觀向外展現(xiàn)。為此，學(xué)生在畫圖示思考的過程中，也能夠展現(xiàn)思維過程。

例如，題目：“用盆景裝飾一個正方形噴泉池，要在每一邊都擺上8盆且每一邊相鄰兩盆的間隔相等，最少需要幾盆？”一般情況下，學(xué)生根據(jù)已學(xué)的周長知識，可以馬上計算出8 × 4 = 32（盆）。答案雖然符合前半部分題意，卻未體現(xiàn)“最少”這個最優(yōu)解，因此出現(xiàn)錯誤。這就是因為學(xué)生陷入了固定思維，所以導(dǎo)致得出的答案是錯的。其實，這道題學(xué)生只要通過畫圖示，思維過程就能很清晰，能推理出這道題的巧妙所在：只要在噴泉池四個角各擺一個盆景，形成每個角所對應(yīng)的盆景為相鄰邊所共用，得出6 × ? 4 + 4 = 28（盆），就是需要最少的盆景。

三、借助圖示解決數(shù)學(xué)問題，提高建模能力

由于年齡特點，小學(xué)生的思維正處在由形象思維向抽象思維過渡的階段，他們在遇到數(shù)學(xué)問題時，仍然習(xí)慣用形象直觀的思維方式去建立解決問題的直觀模型。為此，教師可以抓住學(xué)生思維的這一特點，引導(dǎo)學(xué)生利用簡潔明了的圖示方法，分析數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系一層一層地畫圖，逐漸厘清解決問題的思路，形成清晰、有效的數(shù)學(xué)建模，在提煉中逐步發(fā)展抽象思維。

例如，在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材四年級下冊“數(shù)學(xué)廣角”中的“植樹問題（兩端都栽）”時，教師首先可以出示以下例題：植樹節(jié)到了，四年級一班在“綠水青山就是金山銀山”的號召下，到薩爾滸景區(qū)外一條全長為1000米的小路的一邊植樹，要求每隔5米栽種一棵（兩端都栽）。請問：一共需要栽種多少棵樹？

師：請你來分析一下這道題目中的數(shù)量要求。

生：這條小路的全長是1000米，樹與樹之間的間隔距離為5米，雖然小路有兩邊，但是只需要栽一邊。

生：題目中還要求植樹時必須兩端都栽，問題是一共需要栽種多少棵樹。

教師先引導(dǎo)學(xué)生在腦中思考種樹過程，再利用圖示法形成第一個種樹模型：在草紙上畫出一條線段來表示1000米的小路，線段的起點畫出一個點，表示種了一棵樹；與這個點在線段上距離5米的位置再畫出一個點，表示再種一棵樹；與這個點在線段上距離5米的位置再畫出一個點，表示又種一棵樹……

師：這樣一個點一個點地畫下去，畫多久才能全部表示出數(shù)學(xué)問題的模型？

生：需要很久，這樣太麻煩了。

師：你有什么更好的辦法嗎？

生：我們可以先在線段上取一小段研究栽種樹的規(guī)律，然后按照這個規(guī)律解決整個線段上的畫圖問題。

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行第二個數(shù)學(xué)建模，讓學(xué)生完成數(shù)學(xué)活動：探究棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系。

學(xué)生小組合作，自主探究后匯報，發(fā)現(xiàn)：棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系為：棵數(shù) - 間隔數(shù) = 1。

教師根據(jù)學(xué)生探究的結(jié)果適時提出核心問題：為什么植樹的棵樹要比間隔數(shù)多1呢？這個問題直指“植樹問題（兩端都栽）”的核心，使學(xué)生將在第二個建模過程中的思維清晰地顯示出來。

生：（指著線段圖）從第一個點開始，栽種的第一棵樹對應(yīng)一個間隔，栽種的第二棵樹對應(yīng)一個間隔……我們小組發(fā)現(xiàn)，在終點栽種的最后一棵樹沒有對應(yīng)的間隔。因此，在這個數(shù)學(xué)模型中，栽種的棵數(shù)總是比間隔數(shù)多1，也就是說棵數(shù) = 間隔數(shù) +1，間隔數(shù) = 棵數(shù) - 1。

師：請大家回顧一下，我們剛才是怎么解決這個數(shù)學(xué)問題的？

生：我們是運用“化繁為簡”的數(shù)學(xué)思想，把復(fù)雜的問題簡單化，利用圖示的方法探究出規(guī)律，進(jìn)而運用規(guī)律解決數(shù)學(xué)問題。

師：其實，“植樹問題”并不只與植樹活動有關(guān)，生活中還有很多數(shù)學(xué)問題也有和植樹問題相似的解決方案，也存在“間隔”，你能舉出一些這樣的例子嗎？

生：安裝路燈，安裝電線桿，排列隊伍……

師：在這些例子中，什么相當(dāng)于“樹”，“間隔距離”又在哪里？課后，請你通過發(fā)現(xiàn)生活中的“植樹問題”，將數(shù)學(xué)知識與生活實例緊密聯(lián)系，建立數(shù)學(xué)模型。

總之，圖示作為解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的簡單方法之一，能夠有效地幫助學(xué)生從直觀上理解數(shù)學(xué)概念、分析數(shù)量關(guān)系、解決數(shù)學(xué)問題，還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］丁玉成.借到“力”愛上“圖”［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2019（3）.

［2］魏玉翠.應(yīng)用畫圖法培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題能力的作用探究［J］.教育教學(xué)，2021（10）.

（責(zé)任編輯：楊強）