抓住本質建構模型

邵秀良 宋國云

人教版數學五年級下冊《怎樣通知最快》旨在讓學生在設計打電話方案的過程中找到最優的通知方案，發現其中的數學規律，幫助學生初步建立模型意識，提高學習數學的興趣和解決問題的能力。教學時，教師要抓住“盡量人人都不空閑”，引導學生在充分積累數學活動經驗的基礎上建構模型。

一、問題導向，初識模型

五年級學生容易被富有挑戰性、實用性的問題情境所吸引。教師要呈現源于生活且真實有效的信息，通過創設合適的問題，引導學生明確思考方向并展開自主探究。

課堂伊始，教師出示問題情境：“一個應急小隊接到緊急任務，隊長需要盡快將任務通知到15名隊員。任務必須一對一進行傳達，每分鐘通知1人，請你幫助隊長設計一個最快的通知方案。”教師沒有讓學生思考“最快需要多少時間”，而是讓學生先猜一猜“怎樣通知最快”，然后以小組為單位設計一個打電話的方案。教師還提醒學生可以用文字、圖形、符號等表示通知過程。經過討論，學生得到三種思路：①隊長逐個通知；②分組通知，即隊長通知組長，組長通知組員；③互相通知，即隊長通知隊員，收到通知的隊員和隊長一起繼續通知其他隊員。

對于思路①，教師引導學生得出“這種方案最簡單，但需要的時間最長”。對于思路②，教師用圖示直觀呈現學生提出的三種分組通知方案。第一種：如圖1，把15名隊員分成3組，每組設1名組長，隊長先通知各組長，組長再通知組內4名隊員，這樣通知共需7分鐘。第二、第三種分組方案的通知方法和呈現方式與第一種一致，只不過第二種是分成4組通知，共需6分鐘，第三種是分成5組通知，共需7分鐘。

接著，教師引導學生比較“分組通知”與“隊長逐個通知”有什么不同，思考分組通知所需時間縮短的原因，思考是否分組越多用時越少。通過交流，學生明確：隊長逐個通知，只有隊長打電話，而分組通知，隊長和組長都打電話，所以省時；并非分組越多，用時越少。然后，教師提問：為什么分3組和分5組都用時7分鐘？你覺得還有縮短時間的可能性嗎？怎樣通知最快？學生經過自主思考、小組討論，達成了共識：隊長和接到通知的隊員都去通知其他隊員，也就是“盡量人人都不空閑”是最快的。由此，學生討論出如圖2所示的通知方案：隊長依次通知4名隊員，每名隊員接到通知后立即通知其他隊員，其他接到通知的隊員馬上繼續通知（不重復通知）。學生進一步歸納：全員參與通知，4分鐘就可以通知到每名隊員。

教師通過有效的提問，一方面引導學生抓住問題的本質進行思考，避免了學生盲目猜想；另一方面調動了學生原有的知識、經驗分析問題，如四年級教材“沏茶問題”中“同一時間內能同時做的事情同時做”、“烙餅問題”中“鍋盡量不要空著”等優化策略。這與“怎樣通知最快”問題中“盡量人人都不空閑”的優化策略本質上相同。

二、數形結合，感知模型

畫圖呈現打電話的方案是學生建立模型的重要過程，體現了數形結合的思想方法，有利于豐富學生的數學活動經驗，培養學生的模型意識。但在畫圖時，學生往往出現接到通知的人沒有都去通知或重復通知的疏漏。基于此，在學生畫圖的過程中，教師仍然要抓住“盡量人人都不空閑”這個問題本質進行指導。

實際教學中，教師進行了兩次指導：第一次是引導學生探究“2分鐘最多通知多少人”后，教師展示一份學生的方案，強調學生在方案中畫出了第2分鐘隊長和接到通知的隊員都同時參與通知，又通知到2個人，以進一步突出問題本質；第二次是引導學生探究“3分鐘最多通知多少人”后，教師出示常見的一種錯誤方案，即第3分鐘只有3個人在通知，漏掉了1個應該參與通知的人。學生很快指出了這一方案中的問題并予以改正。教師乘機追問：怎樣才能做到不重不漏呢？這個問題又觸及了問題的本質。有的學生說要在“○”里編上序號，有的學生說要把每分鐘新接到通知的隊員畫在同一列，這樣可以清楚地看出每分鐘通知了哪幾個人。在此基礎上，教師引導學生修正了方案。

這個過程既讓學生掌握了用圖示表征打電話方案的方法，又讓學生在畫圖過程中認識到每分鐘新接到通知的隊員數就是上一分鐘得到通知的總人數。這樣，在思維可視化策略的支持下，教師借助形象、直觀的圖示和動態的展示過程，提高了學生的數學理解層次，使其初步感知了該問題的數學模型。

三、想象推理，建構模型

從逐一通知到分組通知，再到相互通知，學生經歷了最優方案的產生過程。在此過程中，教師抓住“盡量人人都不空閑”的本質，引導學生想象、推理、歸納、概括，進而理解、建構數學模型。

在學生初步感知模型的基礎上，教師安排了想象環節，引導學生思考第4分鐘能再通知多少人，說一說是怎么想出來的。根據學生的回答，教師用課件動態演示從第1分鐘到第4分鐘的通知過程示意圖（如圖3），標示出每分鐘新接到通知的隊員數，并整理出表1。

隨后，教師設計“每分鐘新接到通知的隊員人數有什么特點”“為什么要加上隊長”“每分鐘隊長和隊員的總人數有什么特點”等問題，引導學生觀察、分析表格信息，探究其中的規律。通過觀察表格，學生很快發現每增加1分鐘，新接到通知的隊員人數正好是前面所有接到通知的隊員和隊長的總人數，而且直觀地感受到每分鐘新通知到的人數越來越多，也就是下一分鐘接到通知的總人數總是上一分鐘接到通知總人數的2倍。

數學模型的建立必須依靠學生自主歸納的過程，而教師引導學生抓住問題本質進行歸納，能讓學生有效建立數學模型。上述教學過程中，教師沒有直接問學生發現了什么規律，而是讓學生思考“5分鐘一共通知了多少人”，學生自然地想到用算式“1+2+4+8+16=31”或“1×2×2×2×2×2-1=31”計算。隨后，教師讓學生分別說一說兩個算式的含義及為什么這樣列算式，學生結合“盡量人人都不空閑”進行解釋。然后，教師通過追問“6分鐘一共通知了多少人？7分鐘呢？n分鐘呢？”引導學生歸納出“第n分鐘接到通知的隊員人數等于前（n－1）分鐘內接到通知的隊員和隊長的總人數”的規律，并通過數量關系的抽象，概括出數學模型：到第n分鐘，接到通知的隊員總人數為2n-1。

（作者單位：襄陽市襄州區張家集鎮中心小學）

責任編輯 ?劉佳