“三真”彰顯學科價值

付密

數學綜合與實踐課的價值在于培養學生綜合運用數學及其他學科的知識和方法解決實際問題的能力。四年級學生已經通過“沏茶問題”“烙餅問題”的學習初步體會到統籌安排、節省時間的優化思想，五年級學生通過學習“打電話問題”，借助畫圖、列表等方式展開多路徑探究，剝離問題表象，凸顯問題本質，可進一步體會優化思想在現實生活中的運用。

一、創設真情境

《義務教育數學課程標準（2022年版）》強調學生要在實際情境和真實問題中，運用數學和其他學科的知識與方法解決實際問題?！对鯓油ㄖ羁臁愤@節課最早出現在2011年版人教版教材中。2022年版教材變換了問題情境：“一個應急小隊接到緊急任務，隊長需要盡快將任務通知到15名隊員。任務必須一對一進行傳達，每分鐘通知1人，請你幫助隊長設計一個最快的通知方案。”為進一步強化問題的生活背景，讓數學問題貼近學生的生活經驗，筆者在此基礎上創設了學生熟悉的真實情境：“重陽節到了，廣埠屯社區居委會計劃邀請60歲以上的老人參加賞菊郊游活動。居委會王主任決定用打電話的方式通知本社區的15名老人，每分鐘通知1人，請你幫助王主任設計一個盡快通知到每一位老人的打電話方案?！边@個真實情境更能凸顯打電話的必要性，使學生感受到數學就在身邊。

二、展開真探究

“打電話”屬于探究性問題，沒有任何公式、方法可套用，教師可以借助學生的生活經驗，引導學生以居委會主任的角色探究“假如你是居委會主任，你應該怎么通知這15位老人”的問題，用任務驅動學生展開真探究。

課堂上，學生在操作、探究、推理中提出“打電話”的三種策略：逐個通知、分組通知、傳遞性通知。筆者讓學生分別展示，學生展示如下。

策略一：逐個通知。王主任打電話，一個人一個人地通知，一共15位老人，共需15分鐘。筆者以“這種方案只有王主任一人通知，太慢了”激發學生思考更快的方法，從而引出分組通知。

策略二：分組通知。分組方案1：把15位老人平均分成3組（5，5，5），先打電話通知3位組長，需3分鐘，再由3位組長分別通知各自的4位組員，需4分鐘，由“3+4=7”得出共需7分鐘。分組方案2：把15位老人分成4組（4，4，4，3），通知完4位組長共需4分鐘，最后接到通知的1位組長通知兩位組員，需要2分鐘，這期間另外3位組長能通知完各自的組員，則由“4+2=6（分鐘）”得出一共需要6分鐘。筆者追問：是不是分的組數越多，用的時間越少？由此，學生展示分組方案3：把15位老人平均分成5組（3，3，3，3，3），先通知5位組長需5分鐘，再由5位組長分別通知2名組員，需2分鐘，由“5+2=7（分鐘）”得出共需7分鐘。由此可見，并不是分的組數越多，所需的時間越少。筆者順勢追問：“想一想，還有更快的方法嗎？”學生通過交流、討論發現：想要通知的時間最少，必須同時通知，每位老人接到通知后立即通知其他老人（不重復通知），直到全部通知到為止。

策略三：傳遞性通知。用“ ”表示王主任，用 ?“○”表示老人，第1分鐘王主任通知1人，連同王主任一共有2人知道消息；第2分鐘知道消息的2人通知另外2人，共有“2×2=4”人知道消息；第3分鐘知道消息的4人通知4人，共有“4×2=8”人知道消息；第4分鐘知道消息的8人通知8人，共有“8×2=16”人知道消息。除去王主任，4分鐘一共可以通知15位老人（圖略）。

筆者鼓勵學生采用多種方式探究規律。學生在筆者的提示下發現表格更有利于直觀分析傳遞性通知蘊含的規律（表格如下）。

筆者引導學生仔細觀察表格，發現規律：橫著看，新接到通知的老人人數依次是1，2，4，8，呈現出兩倍兩倍增長的規律，接到通知的老人和王主任的總人數依次是2，4，8，16，也是兩倍兩倍地增長；斜著看，“接到通知的老人和王主任的總人數”等于下一分鐘“新接到通知的老人總人數”；豎著看，“接到通知的老人和王主任的總人數-1（王主任）=接到通知的老人總人數”。這樣看來，王主任只需4分鐘就能通知完15位老人。

經過以上教學，學生試著用數據對三種策略進行總結：“逐個通知”需要15分鐘，除了王主任，所有老人都閑著，最費時；“傳遞性通知”只需4分鐘，所有人都盡可能參與通知，最省時；而“分組通知”介于兩者之間。由此，學生發現“傳遞性通知”最省時，是解決問題的最佳策略。

三、解決真問題

所學知識與真實生活發生互動、鏈接時，學生才更能體會到所學知識的應用價值。筆者抓住學生的好奇心和求知欲，設計如下題目，讓學生對知識進行鞏固、遷移：一種細菌平均12秒裂變一次（由1個分裂成3個），照這樣計算，1分鐘后，每一個這種細菌可裂變為多少個？

筆者引導學生抓住關鍵信息分析：細菌平均每過12秒裂變一次，1分鐘=60秒，60÷12=5（次），即1分鐘可以裂變5次，每次分裂，細菌由1個分裂成3個后，原來的那個細菌就消失了。學生先嘗試用畫圖法解決問題，畫到第4次后，就很難畫下去了。這時，筆者提示，當數據較大時，可以用列表法解決問題。于是，學生列出如下表格。

由于“每次裂變后細菌的數量=裂變前細菌的數量×3”，所以5次裂變后細菌的數量是1×3×3×3×3×3=35=243（個）。1個細菌1分鐘裂變5次，變為243個，1小時裂變300次，可裂變為3300個細菌。由此可知，細菌裂變的速度非常驚人。

基于以上探究，筆者繼續引導學生用數學的眼光觀察現實世界：在現實生活中，人們常說的“一傳十，十傳百”“浮萍生長”等現象都蘊含著我們今天發現的規律，你還有其他類似的發現嗎？在筆者引導下，學生通過查閱資料，列舉現實生活中的真實案例，拓展課外知識。例如，印度的舍罕國王重賞國際象棋的發明人——大臣西薩·班達依爾。獎賞規則是在棋盤的第1格賞1粒麥子，第2格賞2粒麥子，第3格賞4粒麥子，每小格賞的麥子粒數都是前一小格的2倍。棋盤上64格的麥粒都賞給他。結果印度的糧食全搬來，國王也兌現不了諾言。你知道究竟是多少粒麥子呢？隨后，學生揭示答案：1+2+4+8+……+263=264-1=18446744073709551615（粒）。這就是被愛因斯坦稱為“世界第八大奇跡”的幾何倍增學的來歷。學生由此進一步感受到倍增的力量。

真情境、真探究、真問題，“三真”課堂讓學生親歷學習過程，感悟思想方法，發展數學思維，培養創新意識，提升解決問題的能力，感悟數學來源于生活又服務于生活的價值與奧妙。

（作者單位：廣水市實驗小學）

責任編輯 ?張敏