巧用圖示建構(gòu)模型

李繼紅 王好

《怎樣通知最快》是人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容，旨在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系和優(yōu)化思想在生活中的應(yīng)用，以提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。教學(xué)中，教師如何利用學(xué)生熟悉的生活情境，通過畫圖、填表等方式引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)事物隱含的規(guī)律，找到打電話通知的最優(yōu)方法？如何滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生借助圖形解決問題的意識(shí)？如何設(shè)計(jì)實(shí)踐探究過程，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)量呈幾何倍數(shù)增長的情況，對(duì)“怎樣通知最快”作出合理推斷和解釋？本期，我們討論如何更好地教學(xué)《怎樣通知最快》。

《怎樣通知最快》主要探討“倍增問題”，是繼“烙餅問題”“沏茶問題”之后又一次向?qū)W生滲透運(yùn)用統(tǒng)籌思想解決實(shí)際問題的內(nèi)容，旨在培養(yǎng)學(xué)生解決問題的綜合能力，加深學(xué)生對(duì)優(yōu)化思想的體悟。

一、多樣圖示，用數(shù)學(xué)眼光辨識(shí)信息

用數(shù)學(xué)視角發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵信息，思考問題與已知信息之間的聯(lián)系，有助于我們發(fā)現(xiàn)問題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。教師可以引導(dǎo)學(xué)生用圖示表征思考過程，讓思維可視化助力學(xué)生理解問題情境。

課始，筆者創(chuàng)設(shè)以下問題情境：“一個(gè)應(yīng)急小隊(duì)接到緊急任務(wù)，隊(duì)長需要盡快將任務(wù)通知到3名隊(duì)員。任務(wù)必須一對(duì)一進(jìn)行傳達(dá)，每分鐘通知1人，請(qǐng)你幫助隊(duì)長設(shè)計(jì)一個(gè)最快的通知方案。”筆者要求學(xué)生自主探究，并用圖示把通知方案表示出來。全班交流、展示環(huán)節(jié)，筆者呈現(xiàn)學(xué)生設(shè)計(jì)的如下3種方案（如圖1）。

筆者引導(dǎo)：方案2與方案1和方案3相比，節(jié)省了1分鐘，這1分鐘省在哪里？學(xué)生發(fā)現(xiàn)第2分鐘處有變化：方案1和方案3在第2分鐘只通知了1個(gè)人，而方案2通知了2個(gè)人。筆者順勢(shì)追問：為什么方案2在第2分鐘能通知2個(gè)人呢？學(xué)生討論后得出：一個(gè)一個(gè)地通知，會(huì)有人空閑，浪費(fèi)了時(shí)間；只有每分鐘每個(gè)人都不空閑，才能節(jié)省時(shí)間。

以上教學(xué)，筆者通過多樣的圖示呈現(xiàn)不一樣的思維成果，達(dá)到化繁為簡的教學(xué)效果，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)優(yōu)化思想。

二、多階聯(lián)系，用數(shù)學(xué)思維串聯(lián)模型

課堂上，教師要關(guān)注學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程，引導(dǎo)學(xué)生在溝通與聯(lián)系中逐步建構(gòu)模型。這種連貫而有梯度的思考有利于學(xué)生深度學(xué)習(xí)。本節(jié)課，筆者緊扣問題的核心設(shè)計(jì)了以下三個(gè)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生有層次地感悟“倍增”的本質(zhì)。

活動(dòng)一：圖形聯(lián)系算式，感知數(shù)學(xué)符號(hào)的魅力

課堂上，筆者引導(dǎo)：像方案2這樣打電話，隊(duì)長和隊(duì)員都不空閑，3分鐘能通知幾個(gè)人呢？請(qǐng)用圖示的方法表示出打電話的過程。學(xué)生獨(dú)立畫示意圖（如圖2）。

筆者結(jié)合上圖追問學(xué)生：第3分鐘是怎樣通知的？第3分鐘新接到通知的有幾人？為什么是4人，而不是5人或6人？知道消息的總?cè)藬?shù)是幾人？一系列的問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生深入思考“倍增”的過程。接著，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考能否用一個(gè)算式表示這3分鐘通知到的總?cè)藬?shù)。一名學(xué)生回答：第1分鐘接到電話的有1人，第2分鐘接到電話的有2人，第3分鐘接到電話的有4人，所以用“1+2+4=7”得出3分鐘通知7人。另一名學(xué)生用“2×2×2-1=7”得出同樣的答案，并說明減去的1人是隊(duì)長。

基于以上經(jīng)驗(yàn)，筆者提出進(jìn)階問題：第4、第5分鐘能通知幾個(gè)人？在圖中怎樣表示？學(xué)生回答：第4分鐘的時(shí)候可在圖2的外面再畫一圈，正好是8個(gè)人（如圖3）。學(xué)生列出不同算式：1+2+4+8=15（人）；2×2×2×2-1=15（人）；4×4-1=15（人）。對(duì)于第5分鐘接到電話的人數(shù)，學(xué)生畫圖時(shí)發(fā)現(xiàn)人數(shù)又翻了一倍。

活動(dòng)二：平面聯(lián)系三維，體會(huì)數(shù)學(xué)模型“生長”的規(guī)律

筆者再次引導(dǎo)：你們有沒有在圖中表示出第5分鐘接到電話人數(shù)的好方法？經(jīng)過思考、討論，學(xué)生的思維有了突破，他們猜想可以在圖3的基礎(chǔ)上再加一層，形成一個(gè)長方體樣態(tài)的圖示。此時(shí)，筆者出示圖4。

學(xué)生受到啟發(fā)后很快發(fā)現(xiàn)，第6分鐘的人數(shù)可以在這個(gè)長方體圖示上再加一層。此時(shí)，筆者出示長方體累加模型。依此類推，學(xué)生發(fā)現(xiàn)以后的每一分鐘都可以在前一分鐘的基礎(chǔ)上加上一層相同的立體圖示。后續(xù)，通過回顧模型建構(gòu)的過程，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維逐步進(jìn)階，模型逐步成型。

活動(dòng)三：模型聯(lián)系表格，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律生成的過程

有了模型做支架，筆者引導(dǎo)學(xué)生試著填如下表格，依次記錄第1～第5分鐘新接到通知的隊(duì)員數(shù)和接到通知的隊(duì)員總數(shù)，并讓學(xué)生說一說有什么發(fā)現(xiàn)，按照這個(gè)規(guī)律，第6分鐘新接到通知的有幾人，為什么？怎樣列式計(jì)算？第6分鐘接到通知的總?cè)藬?shù)是多少？（1+2+4+8+16+32=63人）

借助表格，模型中數(shù)據(jù)倍增的規(guī)律通過數(shù)學(xué)符號(hào)有序呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生對(duì)“幾何級(jí)數(shù)的增長”有了初步體驗(yàn)。

三、多維優(yōu)化，用數(shù)學(xué)語言解釋本質(zhì)

得出結(jié)論之后，筆者問學(xué)生能否看懂教材上的三種打電話方案。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：第一種是隊(duì)長一個(gè)人打電話，第二種是隊(duì)長調(diào)動(dòng)組長打電話，第三種則是調(diào)動(dòng)每個(gè)人打電話。筆者又問學(xué)生能否為三種方案分別取一個(gè)合適的名稱。學(xué)生想到了“隊(duì)長打”“分組打”“人人打”三種名稱。筆者讓學(xué)生比較這三種打電話方案，思考為什么通知時(shí)間會(huì)變短。學(xué)生思考后明確：從一個(gè)人打電話到少數(shù)人打電話，再到全員打電話，時(shí)間當(dāng)然會(huì)縮短；只有當(dāng)打電話的權(quán)力不再集中在一個(gè)人或少數(shù)人的手中，每個(gè)人都打電話，才是最優(yōu)策略。

筆者有意識(shí)地通過“打電話”問題的教學(xué)，滲透民主、平等的思想，并引導(dǎo)學(xué)生思考相似的生活實(shí)例。學(xué)生思維敏捷，舉出了很多生活中的例子，如浮萍的生長、細(xì)胞的分裂、病毒的傳播、核裂變反應(yīng)、諺語“一傳十，十傳百”等。這些例子都與本課的核心思想契合，學(xué)生由此更加深刻地感受到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，提升了用優(yōu)化的數(shù)學(xué)眼光看待問題的素養(yǎng)。

（作者單位：武漢經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)三角湖小學(xué)）

責(zé)任編輯 ?張敏