建模思想促大單元視角下的課程整合

沈妮 陳靜

大單元視角下，教師可抓住一個(gè)融通單元知識(shí)的、可遷移的數(shù)學(xué)模型，按照一定的邏輯和教學(xué)需要組織相應(yīng)的課程內(nèi)容，確保單元課程內(nèi)容的連貫性和遞進(jìn)性，從而優(yōu)化單元教學(xué)設(shè)計(jì)，助力學(xué)生從解決一個(gè)問(wèn)題到解決一類(lèi)問(wèn)題，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。

一、在比較中建模，建立知識(shí)結(jié)構(gòu)

教師可通過(guò)比較課程內(nèi)容的外部形式、知識(shí)本源、探究方法等，從中提煉出具有相同數(shù)學(xué)本質(zhì)的模型，引導(dǎo)學(xué)生在類(lèi)比探究中貫通地理解相關(guān)聯(lián)的課程內(nèi)容，建立結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系。

1.對(duì)比外部形式

在人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《小數(shù)加減法》的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧整數(shù)的運(yùn)算律，猜測(cè)整數(shù)加法運(yùn)算律在小數(shù)加法中是否適用。學(xué)生通過(guò)舉例驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)整數(shù)加法運(yùn)算律在小數(shù)加法中同樣適用，從而推測(cè)整數(shù)的減法、乘法、除法運(yùn)算律在小數(shù)的減法、乘法、除法運(yùn)算中同樣適用，還有學(xué)生猜測(cè)整數(shù)運(yùn)算律在分?jǐn)?shù)運(yùn)算中也適用。教學(xué)時(shí)，教師可以“加法交換律”為例，引導(dǎo)學(xué)生理解“不論相加的兩部分是什么數(shù)，加法都要把兩部分合起來(lái)，所以整數(shù)加法交換律可以推廣到小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加法運(yùn)算中”，進(jìn)而用同樣的方式（模型）自主探究整數(shù)的減法、乘法、除法運(yùn)算律在小數(shù)、分?jǐn)?shù)的減法、乘法和除法運(yùn)算中的適用性。這樣整合設(shè)計(jì)與實(shí)施課程，學(xué)生可整體構(gòu)建整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算知識(shí)結(jié)構(gòu)。

2.對(duì)比知識(shí)本源

數(shù)學(xué)知識(shí)之間有著緊密的關(guān)聯(lián)，許多新知是已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識(shí)的延伸與組合。這些知識(shí)可能形式上有所不同，但本質(zhì)上都反映了相同的原理，也就是說(shuō)它們的本源相同。教學(xué)新的數(shù)學(xué)概念時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生回顧知識(shí)本源，利用學(xué)習(xí)遷移理論把握新知的本質(zhì)。例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)《有余數(shù)的除法》時(shí)，在學(xué)生探究用9根小棒和10根小棒擺三角形的情況后，教師抓住“用10根小棒擺三角形，還是平均分嗎？為什么？”這一緊扣知識(shí)本質(zhì)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生觀察擺出的兩種情況的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。學(xué)生借助圖形進(jìn)行辨析，明確了“每個(gè)三角形都由3根小棒擺成，只要每份分得同樣多，就是平均分”。在此基礎(chǔ)上，探究有余數(shù)除法橫式的寫(xiě)法時(shí)，教師先讓學(xué)生自主用除法記錄用10根小棒擺三角形的過(guò)程和結(jié)果。隨后，在生生互評(píng)活動(dòng)中，學(xué)生建立起有余數(shù)除法橫式的模型，進(jìn)而通過(guò)對(duì)比表內(nèi)除法和有余數(shù)除法，理解有余數(shù)除法的含義。

一系列學(xué)習(xí)活動(dòng)讓學(xué)生在探尋異同中體會(huì)平均分物的兩種情況，感受到無(wú)論分的結(jié)果是否有余數(shù)，分的過(guò)程都是平均分，都可以用除法表示，同時(shí)理解了兩個(gè)數(shù)相除后的兩種情況——沒(méi)有余數(shù)和有余數(shù)。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中打破了思維定勢(shì)，厘清了表內(nèi)除法與有余數(shù)除法的內(nèi)在聯(lián)系和相同本源，更新了知識(shí)體系，建立起對(duì)除法的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知。

3.對(duì)比探究方法

隨著學(xué)習(xí)的深入、經(jīng)驗(yàn)的積累，學(xué)生的思維水平、抽象能力不斷提高，逐步對(duì)數(shù)學(xué)探究方法有了一定的把握，會(huì)主動(dòng)遷移已有的問(wèn)題解決思路與方法來(lái)解決新問(wèn)題。教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比相關(guān)知識(shí)的探究方法，提高學(xué)生的抽象能力。例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《四邊形的面積》時(shí)，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比三角形面積公式的探究方法（主要方法是將兩個(gè)完全相同的三角形拼成一個(gè)平行四邊形），探究梯形面積公式，即將兩個(gè)完全相同的梯形拼成一個(gè)平行四邊形，通過(guò)計(jì)算平行四邊形的面積獲得梯形的面積，進(jìn)而推導(dǎo)出梯形面積公式。教師可根據(jù)不同的探究方法設(shè)計(jì)適應(yīng)學(xué)生多樣化需求的結(jié)構(gòu)化教學(xué)方案。這種教學(xué)方案要關(guān)注知識(shí)的傳授，更要重視學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，支持學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)。

二、在遷移中建模，內(nèi)化知識(shí)結(jié)構(gòu)

整數(shù)運(yùn)算的教學(xué)離不開(kāi)小棒、計(jì)數(shù)器、方塊圖等結(jié)構(gòu)化學(xué)具，這些學(xué)具能輔助學(xué)生理解算理、掌握算法。在開(kāi)展大單元教學(xué)時(shí)，教師通過(guò)操作、觀察、演示等數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生遷移已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，建立直觀的運(yùn)算模型，可促進(jìn)知識(shí)之間的聯(lián)結(jié)，幫助學(xué)生內(nèi)化知識(shí)結(jié)構(gòu)。

1.在直觀建模中實(shí)現(xiàn)橫向遷移與同類(lèi)聯(lián)結(jié)

人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)《除數(shù)是一位數(shù)的除法》上承《表內(nèi)除法》和《有余數(shù)的除法》，下接《除數(shù)是兩位數(shù)的除法》，在整數(shù)除法大單元中具有承上啟下的作用，是構(gòu)建筆算除法知識(shí)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。大單元教學(xué)中，教師應(yīng)借助直觀學(xué)具，引導(dǎo)學(xué)生理解算理和算法，構(gòu)建筆算除法的基本模型，以促進(jìn)有余數(shù)除法、除數(shù)是一位數(shù)的除法筆算和除數(shù)是兩位數(shù)的除法筆算之間橫向遷移，形成對(duì)整數(shù)除法筆算方法的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知。

以《兩位數(shù)除以一位數(shù)》的教學(xué)為例。教師可充分發(fā)揮小棒的直觀建模作用，引導(dǎo)學(xué)生在操作中初步構(gòu)建筆算除法模型，理解直觀模型可以表征運(yùn)算含義，表達(dá)運(yùn)算算理，表示運(yùn)算方法。

表征運(yùn)算含義?！捌骄帧笔浅ㄟ\(yùn)算的核心。教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)操作小棒，表征除法算式的含義。如根據(jù)除法算式“42÷2”，實(shí)際操作把4捆和2根小棒平均分成2份，使每份有2捆和1根小棒的過(guò)程。

表達(dá)運(yùn)算算理。算理的理解是運(yùn)算教學(xué)的重難點(diǎn)。在運(yùn)算大單元教學(xué)中，算理是聯(lián)結(jié)相關(guān)知識(shí)的核心，理解算理是形成知識(shí)結(jié)構(gòu)的重要環(huán)節(jié)。教學(xué)“42÷2”時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的口算除法計(jì)算方法，遷移有余數(shù)除法豎式計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)操作小棒，學(xué)會(huì)用豎式表達(dá)口算“42÷2”的過(guò)程，在操作中直觀地理解豎式中每一步的含義，進(jìn)而溝通口算除法與筆算除法，初步形成除法運(yùn)算模型。

具體來(lái)說(shuō)，學(xué)生可先用小棒直觀表示用被除數(shù)十位上的數(shù)除以除數(shù)的含義。如豎式中，在被除數(shù)42的十位數(shù)字4上商2后余2的過(guò)程，可用把4捆小棒平均分成兩份，每份分得2捆小棒后剩余2根小棒來(lái)表示。然后，學(xué)生繼續(xù)分小棒，直觀表示用被除數(shù)個(gè)位上的數(shù)除以除數(shù)的含義。如豎式中，在被除數(shù)42的個(gè)位數(shù)字2上商1后余0的過(guò)程，可用把剩余的2根小棒平均分成兩份，每份分得1根小棒后沒(méi)有剩余來(lái)表示。兩次直觀操作促使口算過(guò)程與豎式計(jì)算達(dá)成聯(lián)結(jié)，使口算除法與筆算除法共同納入學(xué)生的除法運(yùn)算知識(shí)結(jié)構(gòu)中。

表示運(yùn)算方法。豎式計(jì)算本質(zhì)上是口算程序化的過(guò)程，是運(yùn)算本質(zhì)的具體表現(xiàn)?！?2÷2”的教學(xué)是第一次將口算除法的過(guò)程用豎式表示，在學(xué)生充分理解算理的基礎(chǔ)上，教師可通過(guò)直觀建模將筆算方法程序化，幫助學(xué)生初步構(gòu)建除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法模型——“除—乘—減—落”（如下圖）。

這樣的直觀建?？梢赃w移到后續(xù)三位數(shù)除以一位數(shù)的學(xué)習(xí)中。雖然《除數(shù)是兩位數(shù)的除法》單元教材的編排脫離了直觀操作，我們?nèi)匀豢梢詸M向遷移除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法模型來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)內(nèi)容，以促進(jìn)單元內(nèi)容的聯(lián)結(jié)，幫助學(xué)生搭建整數(shù)除法運(yùn)算的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

2.在模型對(duì)比中實(shí)現(xiàn)縱向遷移與同質(zhì)關(guān)聯(lián)

在運(yùn)算教學(xué)中，我們常常關(guān)注不同運(yùn)算模型之間的關(guān)聯(lián)。例如，“口算除法”模型和“口算乘法”模型在運(yùn)算本質(zhì)上具有一致性，在開(kāi)展運(yùn)算大單元教學(xué)時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)比兩種運(yùn)算模型，建立不同運(yùn)算之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)習(xí)的縱向遷移，幫助學(xué)生進(jìn)一步構(gòu)建運(yùn)算知識(shí)結(jié)構(gòu)。

例如，學(xué)習(xí)“66÷3”時(shí)，學(xué)生通過(guò)操作學(xué)具理解了算理，形成了兩位數(shù)除以一位數(shù)的口算方法模型“拆—除—合”（如下圖）。

學(xué)習(xí)“16×3”時(shí)，學(xué)生仍然可通過(guò)操作學(xué)具理解算理，并形成兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算方法模型“拆—乘—合”（如下圖）。

在教材編排上，兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算編排在兩位數(shù)除以一位數(shù)的口算之后。因此，教師教學(xué)口算乘法時(shí)，可通過(guò)乘除法口算方法模型的對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種運(yùn)算模型具有一致性，直觀建立口算乘法與口算除法之間的關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)不同單元內(nèi)容的縱向遷移，以及運(yùn)算大單元知識(shí)的結(jié)構(gòu)化。

（作者單位：沈妮，武漢市漢陽(yáng)區(qū)墨水湖小學(xué)；陳靜，武漢市漢陽(yáng)區(qū)鐘家村明德小學(xué)）