高中數學“閱讀與思考”欄目的教學實踐與思考

摘? 要：貫徹課程標準精神，有效發揮閱讀材料的育人功能，深入挖掘閱讀材料的教育價值，取決于一線教師對閱讀材料的態度和實踐. 目前，存在一線教師對“閱讀與思考”欄目高評價、低應用的問題. 文章以“函數概念的發展歷程”為例，探析“閱讀與思考”欄目的教學實踐與思考.

關鍵詞：閱讀與思考；教學實踐；函數概念

中圖分類號：G633.6? ? ?文獻標識碼：A? ? ?文章編號：1673-8284（2024）03-0046-06

引用格式：趙文博. 高中數學“閱讀與思考”欄目的教學實踐與思考：以“函數概念的發展歷程”為例［J］. 中國數學教育（高中版），2024（3）：46-51.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）在“教學建議”中提出：“在教學活動中，教師應有意識地結合相應的教學內容，將數學文化滲透在日常教學中，引導學生了解數學的發展歷程，感悟數學的價值，提升學生的科學精神和人文素養.”并指出將數學史融入教學“有利于激發學生的數學學習興趣，有利于學生進一步理解數學，有利于開拓學生視野、提升數學學科核心素養”.

對此，人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“教材”）除了在各章節的引言或旁白中嵌入一些數學文化內容，還設置了蘊含數學文化的“閱讀與思考”“探究與發現”“文獻閱讀”與“數學寫作”等欄目. 這些閱讀材料將探究性學習、數學文化和數學建模活動等融為一體，有助于學生理解、學習相關數學知識，突出了數學的人文背景，讓學生了解到數學并不是枯燥的符號公式，而是一門具有深厚人文底蘊的學科，調動了學生探究學習的欲望，其對中國古代數學成就的介紹有利于激發學生的民族自豪感，培養學生的愛國精神.

能否貫徹落實《標準》精神，有效發揮閱讀材料的育人功能，取決于一線教師對閱讀材料的態度和實踐. 然而，在教學實踐中，對閱讀材料高評價、低應用的現象普遍存在，很多教師對閱讀材料的教學僅停留在帶領學生讀一讀、看一看的階段，缺乏深度和廣度. 如何對“閱讀與思考欄目”進行加工，以使其更好地為教學服務，增加教學的彈性，體現其教育價值，是一個亟須解決的問題. 為此，筆者以“函數概念的發展歷程”為例，探析“閱讀與思考”欄目的教學實踐與思考.

一、教學設計構架

“函數概念的發展歷程”是教材必修第一冊第三章“函數的概念與性質”的“閱讀與思考”欄目的內容. 在此之前，學生已經學習了函數的概念和表示方法，學習過程一直經歷著對初高中相關數學知識的融合和比較，很多學生對函數的概念的理解停留在“能寫出解析式的就是函數”和“函數就是兩個變量之間的關系”上，對高中階段函數概念的“集合對應”理解不到位，以致在定量刻畫函數的單調性、奇偶性時存在困難，導致學生在解決函數問題時更傾向于從容易理解的水平進行判斷.

學生對函數的理解過程，與歷史上數學家對函數的探究過程具有相似性. 因此，“函數概念的發展歷程”內容的教學對學生理解函數的概念具有極大的促進作用.

從數學知識的角度來看，不僅可以讓學生了解函數概念的發展歷程，更重要的是讓他們體會函數概念發展的歷史原因，跨越認知障礙，從數學文化的角度進一步理解函數的概念；從數學育人的角度來看，不僅是讓學生了解函數在生活生產、科學技術、社會發展中的作用，以及函數的概念表述的變化，體會數學概念抽象的層次性，更重要的是讓他們感受數學精神和數學文化，培養學生的直觀想象和數學抽象素養；從教學評價的角度來看，參照歷史坐標，可以對學生的函數概念理解水平進行診斷，也可以對已經完成的函數概念教學進行反思，從而對后續函數性質的教學進行調整.

“函數概念的發展歷程”這一閱讀材料介紹了函數概念產生和發展的背景，函數一詞的來歷，函數概念發展歷程中由解析式到變量再到對應，并提出問題：你能以函數概念的發展為背景，談談從初中到高中學習函數概念的體會嗎？

將“閱讀與思考”欄目內容中的一段史料設計成一節課，既有挑戰更有樂趣，沒有既定的教學案例可以參考，可以更靈活地采用課題研究、論文撰寫、展示交流等多種教學方式體現其價值.

本節課以課前閱讀、課上交流、課下寫作的思路進行教學設計，流程如圖1所示.

二、教學過程分析

1. 前置閱讀任務

課前閱讀“函數概念的發展歷程”材料，并查閱和搜集有關函數概念發展歷程的素材，通過查閱和搜集素材，獨立思考以下問題.

（1）函數概念產生的背景是什么？

（2）函數概念經歷了哪些發展歷程？

（3）從數學史的角度來看，初中階段和高中階段對函數概念的定義有什么不同？

（4）中文“函數”一詞是如何引入的？

【設計意圖】讓學生閱讀材料，在閱讀中思考，在思考中閱讀.

2. 師生活動，展示交流

活動1：闡述函數概念的發展背景.

問題1：函數概念產生的背景是什么？

針對閱讀材料的描述，研究運動過程需要明確變量之間的關系，這是函數概念產生和發展的背景. 由此引導學生進一步思考，17世紀的科學家為什么要計算天體的位置，為什么要遠距離航海，為什么要計算炮彈的射程，讓學生站在歷史的角度思考一個數學概念的產生背景，了解數學是推動社會進步的工具.

【設計意圖】讓學生體會一個數學概念的產生不僅源于數學本身，還源于社會發展和生產的需要.

活動2：梳理函數概念的發展階段.

問題2：函數概念經歷了哪些發展歷程？

學生通過交流整合資料，對函數概念發展的歷史進程進行簡單重構，明確函數概念發展的五個時期為：幾何起源—解析式說—變量依賴—對應說—關系說.

【設計意圖】“函數概念的發展歷程”閱讀材料介紹的是函數概念發展的簡史，重點闡述了初高中需要學生掌握的函數變量說和對應說，但是對函數概念發展的必然性、演變的復雜性和概念的進階性介紹得不夠詳細. 學生通過交流分享整合資源，梳理函數概念發展的線索，增長數學見識.

活動3：展示函數概念的發展歷程.

思考1：如圖2，在平面直角坐標系xOy中，曲線C上的任意一點P運動時，你能找出哪些幾何量也隨之變化嗎？

學生很容易想到點[P]到[x]軸、[y]軸和原點的距離都在變化，[∠xOP]的大小也在變化，如果過點[P]作切線，與[x]軸交于一點，則點[P]到這個交點的距離也在發生變化.

由這些幾何量的變化與函數的關系，引出函數概念的幾何起源.

學生展示：展示內容如表1所示.

生1：原來函數概念起源于幾何，是隨著點的橫坐標變化的幾何量，學習函數圖象很重要.

師：是的，幾何起源不僅是函數圖象的雛形，后續大家所學習的一些數學定義都源于對幾何圖形的抽象，數形結合思想是我們理解數學概念的重要工具.

生2：應該如何刻畫變量之間的關系呢？

師：這是個好問題，歷史上數學家們在解決微積分問題時也遇到了同樣的問題，他們是如何解決的呢？

學生展示：展示內容如表2所示.

生3：數學家們通過解析式刻畫了兩個變量之間的關系.

師：函數概念的發展經歷了從對幾何圖形的理解到對代數式的表達的過程. 對此，你有什么想法嗎？

生4：解析式能夠更精確地表達兩個變量之間的關系.

生5：所有的函數都有解析式嗎？所有的函數都有函數圖象嗎？

師：大家的想法特別棒，提出的問題也是當時困惑數學家們的問題.

思考2：18世紀中期，數學家們一直在爭論振動弦問題，即撥動一根兩端固定的彈性弦，使其具有某種初始形狀，然后將其釋放出來振動. 如何用函數描述某一時刻弦的形狀？

生6：如果把弦的振動看成一段音樂的話，可以用簡譜描述聲音的變化.

生7：聲音是連續的，可以用弦離開平衡位置的位移來描述弦的變化，但是時間和位移之間的解析式怎么寫呢？

師：當弦振動時，數學家們對任意一段曲線是否有函數解析式展開了討論，從而推進了函數概念的發展.

學生展示，展示內容如表3所示.

生8：也就是說，函數不一定能用函數解析式來表達，只要兩個變量之間有依賴關系，那就是函數.

師：是的，歐拉和柯西定義函數的方式樸素地反映了函數概念中蘊含的辯證思想，體現了從自變到因變的過程，自此函數的“變量依賴”定義登上了歷史的舞臺.

思考3：1829年，德國數學家狄利克雷因為傅里葉級數創造了一個新函數：[y=1，x∈Q，0，x∈?RQ，] 這個函數用“變量依賴”定義如何解釋呢？

生9：這個函數不能用變量依賴定義解釋，也不能畫出它的函數圖象.

師：用高中學習的函數定義能解釋嗎？

生10：可以用高中學習的函數定義來解釋. 有兩個集合分別是[A=R，B=1，0]，[A]中的任意一個元素在[B]中都有唯一確定的一個元素與它相對應，所以這是從集合[A]到集合[B]的函數.

師：狄利克雷自圓其說了他創造的函數.

學生展示：展示內容如表4所示.

師：從變量對應到集合對應，函數對應說擺脫了變量的約束，將函數概念置于集合映射這一更加一般的框架之中，較清楚地說明了函數的內涵，使函數的適用范圍更廣泛.

生11：原來對應說經歷了變量對應和集合對應，集合對應就是我們高中學習的吧.

生12：從狄利克雷創造函數到他對這個函數的解釋，我覺得他特別有創造力.

師：是的. 歷史上很多數學家都是逆境成才、永不言棄的典范，也都是勤學不怠、百折不撓的楷模. 我們要汲取榜樣的力量，錘煉堅強的意志，向數學家學習.

學生展示：1939年，法國的布爾巴基學派還給出了十分形式化、抽象化的函數定義. 設[A]與[B]是給定的數集，[f]是笛卡兒乘積集[A×B=x，yx∈A，y∈B]的一個子集（也稱[A]與[B]的一個關系），如果對于任意[x∈A]，存在唯一[y∈B]，使得[x，y∈f] （等價于若[x，y∈f， x，z∈f，] 則必有[y=z]），則稱[f]是定義在[A]上、取值在[B]中的函數. 這個定義是在集合論的基礎上，消除了變量、對應的用語，是完全數學化的定義. 這個定義被稱為“集合關系說”.

師：至此，數學家對函數概念的討論并沒有完結，函數空間、泛函、廣義函數概念、超廣義函數概念還在不斷地豐富和涌現，而且隨著研究的深入，函數概念得以不斷嚴謹化、精確化.

思考4：在函數概念發展的五個階段中，歷史動因是什么？概念的進階性又體現在哪里？

經過師生討論，得到如表5所示的內容.

【設計意圖】教材中“函數的概念”一課基于知識結構和邏輯關系的需要，根據現實生活中列車運行、工資標準、空氣質量指數、恩格爾系數創設情境建立函數集合對應關系. 僅憑對教材內容的學習，學生難以獲得數學知識的原貌和全景，忽視了那些被歷史淘汰掉的、但對現實科學有用的數學背景. 因此，從數學史上曾讓數學家感到困惑的問題出發，設計同樣或類似的問題情境，激發學生學習數學的興趣，并通過學生展示后的師生互動，讓學生自己提出困惑和問題，深入分析、理解數學知識的本質. 最后通過總結，讓學生從根源上理解概念為何這樣規定，從而實現對數學概念的深層次理解. 同時，教師可以對學生對函數概念的理解水平進行診斷.

活動4：以史為鑒，理解函數概念.

問題3：從數學史的角度來看，初中階段和高中階段對函數概念的定義有什么不同？

生13：初中階段的函數定義是變量說，高中階段的函數定義是集合對應說. 高中階段的函數定義更抽象了.

生14：不對，初中階段的函數定義也是對應說，x是自變量，y是因變量，高中階段的函數定義中增加了x的取值范圍A叫作函數的定義域；與x的值相對應的y值叫作函數值，函數值的集合[fxx∈A]叫作函數的值域.

生15：初中階段的函數定義只說y是x的函數，高中階段的函數定義表達的是f：A→B為從集合A到集合B的一個函數（function），記作[y=fx，x∈A].

師：大家說得都很好，從數學史的角度來看，初中階段動態的描述性定義是歐拉的變量依賴說與黎曼的變量對應說的產物，生動直觀，突出了函數變化的特征，又蘊含著對應的本質. 高中階段靜態的表述定義是維布倫的集合對應說與戴德金的映射定義結合在一起演變而來的，形式化和精確化的集合論語言凸顯了函數是一個整體概念，普適性更強.

【設計意圖】從數學史的角度解釋初中階段和高中階段函數定義的不同.

問題4：中文“函數”一詞是如何引入的呢？

生16：1859年，清代著名數學家李善蘭和英國傳教士偉烈亞力合譯《代微積拾級》，首次把“function”翻譯成“函數”. 在中國古代“函”與“含”通用，都有“包含”的意思. 書中定義為“凡式中含天，為天之函數”，中國古代用天、地、人、物四個字表示四個不同的未知數或未知量，因此該定義翻譯成現代文就是“凡公式中含有變量[x]，則該式子稱為[x]的函數”. 書中又解釋道：“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”，即一個量中包含另一個量，則這個量就是另一量的函數. 李善蘭所譯的函數概念是解析式說.

【設計意圖】介紹中文“函數”一詞引入的過程，增強學生的民族自豪感.

3. 歸納總結，布置作業

（1）以時間軸、圖表或思維導圖的形式整理函數概念的發展歷程.

（2）通過查閱書籍、上網等方式搜集素材，進一步了解函數概念的發展歷程，選擇自己感興趣的一個主題形成數學小論文，在班里交流討論.

參考選題：函數產生的社會背景；函數符號的故事；數學家與函數.

【設計意圖】整理函數概念發展的歷史線索，布置數學寫作的任務，發揮“閱讀與思考”欄目的作用，課內知識和課外拓展相結合深化學生對函數發展歷程的了解.

三、教學思考

1. 借助數學史料，培養閱讀能力

“閱讀與思考”欄目是教材內容的一個重要組成部分，數學文化滲透其中，數學史浸潤延伸，閱讀是積淀，思考是升華. 因此，對其相關內容的教學可以分為兩個階段：先讀，目的是培養學生的自學能力，個別不懂之處可以請教老師；再思考，正所謂“學而不思則罔”，讀懂了不是目的，應用、思考、探索，開闊視野，拓寬思維，以材料為“酵母”讓學習“發酵”，才是欄目設置的初衷和教學的出發點. 因此，要在讀與思的過程中，讓學生讀懂文化背景，獲取數學信息，理解數學內涵，應用數學知識，解決實際問題. 例如，在“函數概念的發展歷程”教學過程中，學生在閱讀史料時會遇到很多數學專業術語，如狄利克雷函數、傅里葉級數、積分等，這些術語會極大地激發學生的學習興趣和創造力，有些學生還在課后專門購買了高等數學的書籍，想進一步了解這些術語背后的數學知識，這就是閱讀的魅力. 通過閱讀數學史料，讓學生實現從掌握閱讀方法到提升閱讀技能的跨越，并將閱讀技能遷移至日常的數學閱讀中，逐步形成良好的數學閱讀習慣，積累數學閱讀經驗，發展數學核心素養.

2. 應用數學史料，彰顯教育價值

函數概念的建立從直觀到抽象，從模糊到嚴謹，從樸素到深入，逐步完善，符合我們認識事物的一般規律. 初中階段到高中階段函數定義的進階是函數概念發展歷程的一個縮影，函數的由來是數學家理解數學概念的一個真實寫照. 學生學習數學知識的過程具有相似性，這是一種數學精神的傳遞. 在思考中閱讀“函數概念的發展歷程”閱讀材料，滲透數學文化，凸顯了數學的人文情懷，讓學生了解到數學不是冷冰冰的公式和符號，這背后有著很多數學家為之思考和探索的經歷；讓學生感受到前人對科學執著探索的精神，激發學習熱情；讓學生參考數學家的思考方式，認識函數概念發展的來龍去脈，幫助學生更加系統地理解函數概念的發展歷程. 帶領學生從數學史的角度理解函數的概念，了解不同的定義方式體現了函數概念的進階，也體現了時代的進步和發展. 當一個概念以歷史的發展過程呈現時，揭示的是知識發展的自然與和諧. 所以從數學史的角度呈現數學概念，賦予了數學概念鮮活的生命力，打開了學生學習數學的另外一扇大門. 通過這種方式，學生會更深刻地理解概念、理解思想、理解歷史，這就是史料的育人價值.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］章建鋒. 人教A版新教材中“閱讀材料”的內容分析與教學思考［J］. 中學數學教學參考（上旬），2023（1）：38-41.

［3］李兵. 高中數學“閱讀與思考”欄目教學研究［J］. 中學數學教學參考（上旬），2021（11）：30-32.