滲透數學思想，提升思維能力

【摘要】本文從滲透分類討論思想、數形結合思想、化歸思想和方程思想四個方面討論在教學中滲透數學思想的方法，以提升教學的有效性.

【關鍵詞】數學思想；初中數學；課堂教學

數學知識中蘊含著豐富的數學思想，領會數學思想是提升思維的基礎.在課堂教學中教師要著重在知識講授中挖掘數學思想，使學生的思維真正參與學習活動，在觀察和分析問題中體會數學方法，感悟問題背后隱含的思想內涵，從而真正發展思維能力，提升核心素養，促進學生的終身發展.

1 立足基礎知識，滲透分類討論思想

分類討論思想在解決數學問題中有著廣泛的應用，是指對一個問題的多種情況進行分別討論的思想［1］.在教學中滲透分類討論的思想，使學生養成分類意識和習慣，對于提升學生對問題地正確認識就顯得尤為重要.

案例1 有理數

師 假設a為有理數，請問-a一定為負數嗎？

生 -a一定為負數.

師 大家都同意這個觀點嗎？我們不妨想一想有理數的定義，哪些數是有理數？

生 有理數有三種情況，可能是正數、負數或者為0，所以我們要進行分類討論.若有理數a為正數，那么-a為負數，若有理數a為負數，那么-a為正數，若有理數a為0，那么-a為0.

本例中教師以問題設計考查學生對有理數定義的理解，以具體的實例引導學生從知識點的定義出發進行思考，開展分類討論，從而正確解答.經過課堂教學中的多次訓練，能夠促進學生形成分類討論的思維習慣，實現思維能力的突破，強化對知識定義的理解.

2 巧用圖象資源，滲透數形結合思想

數與形是數學研究的兩大對象，在解決數學問題過程中常常需要將數與形進行相互轉化，從而使問題迎刃而解.滲透數形結合思想能夠將圖片與文字相結合，實現形象思維與抽象思維的相互轉化，有效提高解決問題的效率.

案例2 絕對值

師 今天我們學習了絕對值的概念，請你根據圖1說一說a和b的含義.

生1 根據絕對值的定義，a表示的是a到原點的距離，b表示b到原點的距離.

師 很好，那么請大家根據圖1，計算a-b和a+b的值.

生2 根據圖1可以看到agt;0，blt;0并且alt;b，所以a-b=a-b，a+b=-（a+b）.

在教學中滲透數形結合的思想能夠發展學生思維的靈活性，培養學生的創新意識.本例中教師借助數軸幫助學生理解絕對值的概念，讓學生養成借助圖象解題的習慣，學會將抽象知識具體化，提升解題能力.此外，有理數加法法則和乘法法則的學習也可以應用數軸進行數形結合，幫助學生更加直觀地理解抽象數學符號的具體含義，強化學生對知識的理解，達到事半功倍的效果.

3 建構數學模型，滲透數學化歸思想

化歸思想是轉化與歸結的總稱，是指將那些不易解決的陌生問題通過類比、聯想、推理等數學方法轉化為熟悉的和易于解決的問題.應用化歸思想可以引領學生將復雜的綜合性問題轉化為學生已經解決過的問題，即用學生已經掌握的數學模型解決新出現的問題.

案例3 如圖2，以AB為直徑的半圓上有一點C，將AC、BC進行連接，AB等于10，tan∠BAC=34，求陰影部分的面積.

圖2

解題分析 本題中的陰影部分為兩個弓形，在初中數學學習階段沒有學習直接計算弓形面積的公式，因此解決這道題需要使用化歸的思想，引導學生將不能直接解決的問題進行轉化.

師 觀察圖形我們知道陰影部分是兩個弓形，雖然我們沒有辦法直接進行求解，但是我們學過圓和三角形面積的計算，那么我們是否可以將陰影部分的面積進行轉化，從而尋找解題路徑呢？

生 我們可以用半圓的面積減去△ABC的面積就能得到陰影部分的面積.

解 因為AB等于10，所以半圓的面積等于

12×πr2=252π，

因為AB2=AC2+BC2，AB=10，tan∠BAC=34，

所以AC、BC的長度分別為8和6，

所以△ABC的面積等于12AC·BC=24，

陰影部分的面積則等于252π-24.

化歸思想是運用學生已知的數學模型將不能直接解決的問題向學生已經會解決的問題進行轉化［2］.在解決較為復雜的幾何問題時，教師要引導學生尋找熟悉的規則圖形，將不規則的圖形進行轉化、拆解、割補等，使看似難以解決的問題迎刃而解.

4 發展逆向思維，滲透方程解題思想

方程解題思想是從求解問題入手分析數量關系，并通過數學語言將數量關系轉化為數學模型，進而建立方程或者方程組進行問題求解的思想.方程思想是初中數學解題以及考查中的重要內容，滲透方程思想可以促使學生的思維從記憶型向理解型轉化.

案例4 方程解題思想

我校運動會舉行跳繩比賽項目，分為男生和女生兩支隊伍進行比賽，七（3）班在“單搖”項目中，男生和女生分別平均每人每分鐘跳80下和60下，計時一分鐘，則男女生一共跳了1560下.在“雙搖”項目中，男生和女生分別平均每人每分鐘跳42下和26下，計時一分鐘，則男女生一共跳了764下.求七（3）班派出的跳繩隊伍中，男女生各多少人？

師 本題要求解男女生人數各為多少人，我們不妨將這兩個未知數作為已知量，按照題目給出的等量關系進行反向推理，列方程進行求解，有沒有同學能夠嘗試一下？

生 我們設男女生人數分別為x和y，按照題意可以列方程80x+60y=156042x+26y=764，解方程組可得x和y分別為12和10.因此七（3）班派出的跳繩隊伍中，男生為12人，女生為10人.

方程思想可以幫助學生解決那些通過正向推導無法直接找到答案的問題，發展學生的逆向思維能力［3］.本例中教師從學生的實際生活出發編制試題，引導學生采用反向推導的方法，將求解的問題設為未知數x和y，并且按照題意整理出x和y的等量關系，進而通過列方程進行求解.

5 結語

分類討論、數形結合、化歸與方程解題思想是初中數學中的常用思想，掌握這些數學思想和方法能夠提升學生的解題能力，深化學生對知識的理解，感悟數學學習的價值.提升學生的思維能力，發展核心素養.

參考文獻：

［1］劉敏.試析化歸思想在初中教學中的應用［J］. 中國校外教育，2019（35）：81-82.

［2］薛海林.例談數學思想方法的滲透：以“有理數”的章節教學為例［J］.中學數學.2019（22）：19-20.

［3］高峰官.關注隱性課程資源中數學思想方法的運用：“分類討論思想運用專題復習”設計與思考［J］.中學數學，2019（20）：30-32.