探尋知識本原，在數學史境脈中培育數感*

【摘 要】“數感”是《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的核心素養的11個主要表現之一，它的培育與數學史息息相關。在小學數學境脈學習中，可以讓學生沉浸在數學發展史的境脈中，借助探究性任務，經歷數學知識從提出到生成再到發展的脈絡，從而探尋數學知識的本原，提升核心素養。

【關鍵詞】小學數學；境脈學習；歷史文化境脈；數感；《分數的意義》

【中圖分類號】G623.5" 【文獻標志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2024）17-0016-05

【作者簡介】凌琦文，江蘇省蘇州市金閶新城實驗小學校（江蘇蘇州，215008）教導處副主任，高級教師，蘇州市數學學科帶頭人，蘇州市優秀教育工作者。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）明確了核心素養的11個主要表現，“數感”是其中之一。新課標指出：“數感主要是指對于數與數量、數量關系及運算結果的直觀感悟。能夠在真實情境中理解數的意義，能用數表示物體的個數或事物的順序……”從古至今，對于“數與數的意義”，勞動人民和數學家們一直在研究和探索，并不斷地更新與迭代，這才有了我們今天所認識的數。可見，數感的培育與數學史息息相關。

基于境脈學習理論展開數學課堂教學，可以讓學生沉浸在數學發展史的境脈中，借助探究性任務，經歷一場數學文化之旅，感受數學家的眼光和思維，梳理數學知識從提出到生成再到發展的脈絡，從而探尋數學知識的本原，感悟數學思想，提升核心素養。下面，本文以蘇教版五下《分數的意義》一課的教學為例，具體闡釋小學數學境脈學習的課堂教學新樣態。

一、在歷史文化境脈中，探尋分數的起源

幾千年前，人類文化剛剛起步，基于生產、生活中測量和均分的需要， 人們發明并開始使用分數。在拉丁文里，“分數”一詞源于frangere，原意為“打破、斷裂”。在我國，分數也是起源于物品的分配，《說文解字》中對“分”的解釋為：“分，別也。從八從刀，刀以分別物也。”因此，分數在很長一段時間里也曾被人們叫作“破碎的數”，現在想來就是表示整數的一部分。可見，分數的概念是在整數概念的基礎上形成的，有了整數才能有部分。整數出現后，分數的產生便成了必然。

回到數學史的境脈中，我們可以探尋到分數的起源。例如，在測量中，兩個繩結之間的一段就是“1”，但是石塊的長度不足“1”，就必然會再次細分“1”，于是分數就產生了（如圖1，選自人教版數學三上教材）。再如，在分配物品時，為了方便計數，人們通常用一塊大石頭表示一只羊，可是這只羊是兩個人合作打獵得到的，那每個人完成的打獵數該怎樣計數呢？這時分數便應運而生，把大石頭敲成兩塊同樣大的小石頭，或者選擇兩塊合起來與大石頭差不多大的小石頭來計數，細想一下，每一塊小石頭其實就是“[12]”的雛形。可見，無論是測量還是分物，都是在有了“1”之后，再通過均分得到分數的。

借助數學史明晰了分數的起源，在具體教學中就要由此出發，設計合適的情境任務，讓學生在數學史境脈中發現和探究數學問題，培育數感。

二、感悟歷史文化境脈，經歷知識生成過程

根據分數的起源——由“1”再“均分”，教師教學時便要讓學生在情境任務中充分感悟和經歷這一歷史文化的積淀過程，使其在不同的情境中加深對知識本原的理解，從而感悟數之間的聯系，增強數感。

1.提出質疑：我們需要分數嗎？

在數學史上，分數被稱為“破碎的數”，當時的人們覺得分數很難，和其他的數都不一樣，因而對分數的使用并不是那么接受，對分數有需求卻總想著遠離它。那么，我們在教學中是不是可以借助數學史中的這一情境，讓學生與情境互動，去感悟古人這一矛盾的心理和對分數的需求呢？筆者在教學伊始便設計情境任務，讓學生充分感悟分數的產生和使用是必需的。

播放互動視頻：古人為了方便，就用隨手可取的石子來計數，1個石子就表示1。（出示5個石子）你知道這個獵人打了多少只羊嗎？（出示14個石子）這又是多少？（出示堆成山的石子）這又該怎么計數？

生：排列整理，數數，使用大一些的石子表示10、100……

繼續播放視頻：是的，大家通過“數”有幾個石子，就是有幾個計數單位“1”，就能知道羊的只數。但是當數變大了，“1”作為計數單位太小了，就需要更大的計數單位，因而就產生了十、百、千等更大的計數單位，于是我們學會了很多整數。隨著時間的推移，人們學會了合作，這兩個原始人每天都合作打獵，（出示4只羊）瞧，他們這一天每人能夠獲得幾只羊？該怎樣計數？（出示1只羊）這一天呢？

生：半只羊；[12]只羊；拿小一些的石子表示；把原來的石子敲碎。

繼續播放視頻：沒錯，可以拿小一些的石子。也就是說，“1”作為計數單位太大了，古人就想到了再細分“1”，于是“分數”就產生了。但是，當時的人們總覺得分數和整數很不一樣，特別難，因而十分畏懼分數，不太愿意使用它。你覺得分數難嗎？我們需要分數嗎？

課始，借助互動視頻，讓學生在情境任務中了解計數的規則和分數的起源，激發他們的學習興趣。學生并不是第一次接觸分數，因此，視頻從分數本原介紹分數，能讓學生對分數的意義有新的感悟，從而感受整數、分數與計數單位“1”之間的聯系。創設“古人畏懼分數”這一情境，激發學生挑戰的勇氣，自然而然地引入接下來的研究和探索，使他們感受分數產生的必然性，以及分數與整數本質上相通的一致性。

2.經歷生成：在情境中體驗分數的意義

學生有了學習的動力，接下來便可以延續歷史情境的本質，讓他們結合生活情境繼續探究分數的意義，真正感悟分數的意義以及分數與整數的密切聯系。上述教學中，在探索和研究中融入情境任務，引導學生不斷思考的過程其實也是培育他們數感的過程，這便是境脈學習的魅力所在。

活動1：不滿一個計量單位（1小時），自主探究分數單位。

活動內容：（出示鐘面）一節數學課40分鐘，以小時為單位，怎么數呢？（需要更小的單位）

活動思考：（1）你找到的更小的單位是什么？（2）這個單位是怎么得到的？（3）怎樣數出一節課的時間？

活動2：不滿一個物體（1張紙條），尋找合適的分數單位。

活動內容：紅色的紙條（較長，14厘米）作為“1”，尋找更小的單位，表示出綠色的紙條（較短，10厘米）。

活動思考：（1）你找到的合適的單位是什么？（2）這個單位是怎么得到的？（3）怎樣數出綠色紙條的長度？

活動3：不滿一個整體（1盒巧克力），自主創造不同的分數。

活動內容：（出示圖片）一盒巧克力，吃了4塊，用你喜歡的分數表示吃了這盒巧克力的幾分之幾。

活動要求：和同桌說說你的想法，并說明你的分數表示什么意義。

以上是為了讓學生充分體驗分數的意義而設計的情境任務，三個活動內容分別是“不滿一個計量單位”“不滿一個物體”“不滿一個整體”的情況，對應自然數“1”的不同意義，活動內容逐層深入，學生的體驗也逐步提升。首先，經歷不滿1小時的40分鐘，根據不同的平均分的方法，得到不同的更小的單位，也就是分數單位，從而數出不同的分數，用不同的分數表示同一個40分鐘。通過這一活動，學生初步感悟不滿“1”要均分，從而得到新的分數單位，再通過數得到分數。其次，體驗不滿1張紙條，讓學生主動通過測量進行細分，得到合適的分數單位，再通過“數”得到合適的分數。最后，讓學生通過不滿1盒的巧克力，自主經歷“分→數”的過程，完整地體驗分數的意義。經歷三個活動后，學生一方面能初步感悟到分數和整數一樣，都是先使用合適的計數單位再通過數得到數，它們的本質是一致的；另一方面，借助幾個情境主動探索，也可以感受到分數學習并沒有那么難。

3.多維延展：深化計數單位的一致性

境脈學習注重知識本質的探索和深化。在學生理解了分數的意義并不是一節課的終點之后，還要引導他們繼續深化對計數單位一致性的理解和探索，使他們更深入地感受分數與整數、小數之間的聯系，真正理解不同的數在本質上的一致性。

活動1：制作分數墻。

活動內容：用同樣長的紙條作為“1”，將之前發現的分數單位排序，組成分數墻。

活動思考：（1）觀察分數單位的大小，你有什么發現？（2）你覺得最大的分數單位是什么？最小的呢？

活動2：研究分數墻。

活動內容：在分數墻中，研究分數單位與“1”的關系。

活動要求：（1）涂一涂，任選一個分數單位，涂出“1”；（2）說一說，同桌交流“1”和這個分數單位的關系。

活動3：研究計數單位。

活動要求：（1）排一排，將課堂中提到的計數單位按從大到小的順序進行排序；（2）想一想，要讓它們和整數計數單位的進率一致，還可以加上哪些分數單位？（3）說一說，分數和整數、小數之間有什么聯系？

在活動1中，讓學生經歷“分數墻”的生成過程，通過觀察和比較發現分數單位之間的大小關系，從而進一步加深他們對分數意義的認識。通過拓展提問，“延展”出最大和最小的分數單位是什么，讓學生通過觀察得到視覺表征，形成表象，真正理解分數單位的大小關系。

活動2則是讓學生在之前經歷將“1”通過“分→數”的過程得到分數的基礎上，又經歷“數分數單位→合成‘1’”的過程，使他們深刻體會到“幾個幾分之一就是1”。通過這樣的逆向任務，能讓學生更加關注知識的本質，使他們進一步升華對知識的理解。

活動3讓學生在黑板上將本課提到的計數單位、分數單位進行排序，將板書中已有的整數的計數單位“……千、百、十、一”向右延展，排列[12]到[110]以及[112]、[116]、[1100]這些在課堂中提到的分數單位。根據整數計數單位的進率是10，學生發現了“[1100]→[110]→[1]”的進率也是10，他們還會自主補上[11000]、[110000]等，并發現這些計數單位就是小數的計數單位，從而打通了分數、小數、整數之間的聯系，體會到不管是哪種數，“數”計數單位都可以得到，這就是數的一致性，對分數意義的理解實現了升華。

在任務設計上，同樣延續了數學史情境中的知識起源。借助“分數墻”這一工具設計情境任務，進一步研究分數單位，發現整數、分數、小數的一致性，真正解決了課始的“質疑”，帶領學生一步步觸摸數學知識的本質，促進了他們數感的培育。

三、延伸歷史文化境脈，體悟知識的本原

在本課教學中，教師在研究知識的起源后，設計合理的情境任務，引導學生重走數學家的探究之路，在任務情境中研究知識的本質，感受知識之間的聯系，培育數感。

其一，抓住知識的本質，設計合理的情境任務。無論是分數的意義，還是分數與整數、小數計數單位的一致性，都是本節課的重點。在合理的情境任務中，引導學生不斷體驗和探索分數，真正理解分數的意義——把“1”平均分，得到分數單位，再數分數單位（先“分”后“數”）。同時，讓學生在思考、比較、操作中感受分數與整數、小數之間的一致性。

其二，關注知識間的聯系，充分利用學生的生成。課堂教學要關注前后相關知識之間的區別和聯系，這也是新課標所提倡的。學生在認識分數之前有整數的基礎，讓學生通過情境任務回顧整數的計數方式，為后面分數與整數的對比提供了可能。同時，利用課堂上學生的生成性資源，引導他們在一步步深入的研究中觸摸知識的本質。

可見，在數學教學中，借助歷史文化情境設計合適的探究性任務，引導學生追尋知識本原，有助于學生數感等核心素養的培育。

【參考文獻】

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