融入幾何先驗的圓柱表面三維應變場雙目視覺測量方法

摘要：針對現有基于雙目視覺的圓柱表面三維應變場測量方法從位移場計算應變場效率低下的問題，將圓柱結構幾何先驗信息融入子域投影法理論，利用圓柱標準坐標變換替代大量冗余的局部切平面最小二乘擬合求解，提出了一種融合圓柱擬合和子域投影的表面三維應變場計算方法；然后采用數值模擬方式，在不同應變區域和位移場噪聲條件下，將所提方法與一般曲面子域投影法進行對比分析；最后開展圓柱拉伸實驗，分別從單點和全場兩個角度將所提方法的應變計算結果與應變片測量結果進行了對比。研究結果表明：在保證計算精度和位移場噪聲魯棒性的同時，所提方法將計算效率提高了約20%，且與應變片實驗測量結果吻合較好，驗證了該方法能夠實現圓柱結構表面三維應變場的高效測量，也為規則結構表面三維應變場的計算提供了新思路。

關鍵詞：雙目視覺；子域投影；三維應變場；圓柱擬合；最小二乘擬合

中圖分類號：O348.1 文獻標志碼：A

DOI：10.7652/xjtuxb202406015 文章編號：0253-987X（2024）06-0162-12

A Binocular-Vision-Based Method for Measuring the 3D Strain Field on

Cylindrical Surfaces Integrating Geometric Prior Knowledge

ZHANG Yiming1，2， LI Guang1，2， XU Zili1，2， WANG Jun3， YAN Song3

（1. School of Aerospace Engineering， Xi’an Jiaotong University， Xi’an 710049， China; 2. State Key Laboratory for

Strength and Vibration of Mechanical Structures， Xi’an Jiaotong University， Xi’an 710049， China;

3. Xi’an Aerospace Propulsion Institute， Xi’an 710100， China）

Abstract：Aiming at the low computational efficiency of existing binocular-vision-based methods for measuring the three-dimensional strain field on cylindrical surfaces from the obtained three-dimensional displacement field， a method of calculating the three-dimensional strain field on a cylindrical surface by integrating cylinder fitting and subdomain projection is proposed. The method integrates the geometric prior information of cylindrical structures into the theory of subdomain projection， replaces a large number of redundant local tangent plane least squares solutions by cylindrical standard coordinate transformation. Then， numerical simulation was used to compare and analyze the proposed method with the general surface subdomain projection method under different strain regions and displacement field noise conditions. Finally， cylindrical tensile experiments were conducted， and the strain calculation results of the proposed method were compared with the strain gauge measurement results from both single point and full field perspectives. The results show that while ensuring calculation accuracy and robustness to displacement field noise， the proposed method improves calculation efficiency by about 20% and is in good agreement with the experimental measurement results of strain gauges. The proposed method can achieve efficient measurement of the three-dimensional strain field on the surface of cylindrical structures， and also provides a new approach for calculating the three-dimensional strain field on regular structural surfaces.

Keywords：binocular vision；subdomain projection; three-dimensional strain field; cylinder fitting; least square fitting

數字圖像相關算法（digital image correlation， DIC）最早由Yamaguchi［1］和Peters等［2］于20世紀80年代提出，是一種融合機器視覺與數字圖像處理的全場變形測量方法［3］，具有非接觸式、全場、高空間分辨率等優點［4-6］。該方法一經提出，便得到了廣泛的關注和研究［7-9］，并在計算速度和精度上不斷進步，近年來已逐漸成為光測實驗力學的一種有效手段［10］。隨著雙目視覺技術的發展以及測量曲面物體位移的需要，三維數字圖像相關方法（3D-DIC）應運而生［11-12］，其克服了二維數字圖像相關方法（2D-DIC）無法測量離面位移的固有缺陷，較大程度上擴展了數字圖像相關方法的應用范圍，能夠實現任意物體表面的三維位移場測量，目前在各種力學實驗研究及工業測量中［13-17］得到了較多應用。

在變形條件下，材料的應變是尤為關鍵的力學參數［18-19］，對評估物體的材料特性、監測結構壽命與安全、優化結構設計與制造等均具有重要意義。因此，從測得的離散位移場中計算應變場顯得尤為必要。根據位移與應變的數值關系，對離散位移場進行差分可以直接獲得應變場，但由于測得的位移場中包含了一定成分的噪聲，得到的應變場并不可靠［20］。在二維的應變場計算問題上，局部最小二乘擬合方法［21］應用最為廣泛，該方法采用完全二維多項式對離散位移數據的一個局部子域（也稱計算窗口）進行分片逐點擬合，利用最小二乘法得到中心點導數值作為該點的應變可靠計算值。然而，三維表面的應變場計算問題則相對復雜。夏瀚笙等［22］、顧筠［23］以及高越［24］均采用一般曲面的子域投影方法進行三維應變場計算，即逐點建立曲面局部子域，利用最小二乘算法擬合切平面，并將子域內各點的坐標以及位移投影至切平面內的局部坐標系，從而將三維應變場問題轉化為切平面內的二維應變場問題，最終采用局部最小二乘擬合法計算得到應變場。一般曲面子域投影法雖然具有普適性，能夠實現一般曲面的三維應變場計算，但在計算過程中需要逐點擬合最小二乘切平面，特別是在計算點較多和計算窗口較大時，需要大量的最小二乘切平面求解運算，計算復雜度高。尤其地，在眾多工業測量場景中，往往需要測量高幀率且大面積區域的結構表面全場三維應變，造成該方法的求解效率較低。因此，對于一些規則結構，可以考慮從結構本身的幾何先驗信息出發，從而減少非必要的計算量。

圓柱結構作為一種基本的幾何結構，在航空航天、船舶、電力等諸多工業領域中都得到了廣泛的應用，眾多大型核心工業設備也都以圓柱結構作為關鍵組成部件，例如航天工程中的姿軌控動力系統，其液路環管就是典型的圓柱結構。因此，對圓柱結構表面三維應變場進行快速且準確地測量，是工程中的迫切需求。

本文針對圓柱結構，提出了一種基于圓柱擬合和子域投影的表面三維應變場計算方法，該方法利用圓柱結構表面的幾何先驗信息，避免大量的切平面最小二乘求解，從而降低了計算復雜度。首先，介紹了圓柱擬合和子域投影法的基本原理；然后，選取工程中常見的典型各向同性圓柱結構，在拉伸條件下對其彈性變形階段進行算法的數值驗證，分別在不同應變區域和位移場噪聲條件下開展了三維應變場計算，對比了該方法和一般曲面子域投影法的計算精度和計算效率；最后，開展圓柱試件拉伸實驗，對試件表面進行三維應變測量，驗證了所提方法的有效性。需要特別強調的是，本文所提方法不限定材料的加載條件和變形階段，材料是否各向同性也不影響方法的具體實施。

1 圓柱表面三維應變場的高效計算方法

1.1 基于坐標變換的圓柱曲面擬合算法

圓柱擬合算法主要從測量坐標系與圓柱標準坐標系之間的坐標變換關系入手［25］，其中測量坐標系是指測量設備在測量過程中采用的直角坐標系，對于三維數字圖像相關方法而言，測量坐標系即是相機坐標系；圓柱標準坐標系是指以圓柱中心軸線上任意一點為原點、以圓柱中心軸線為z軸的直角坐標系，兩坐標系之間的位置關系如圖1所示。

通過對非線性誤差的線性化處理，將原本的非線性優化問題轉化為了線性優化問題，從而不依賴于非線性優化方法。將所有測量點的線性誤差表達式組成方程組，進行最小二乘迭代求解。線性迭代求解十分穩定，一般迭代5次左右即可得到足夠精度的變量解。將求得的（x0， y0， z0， θx， θy， θz， r）代入式（1），可將相機坐標系下的測量點坐標Xc轉化為圓柱標準坐標系下的標準坐標Xn。采用同樣的方法，可將相機坐標系下的測量點位移Dc轉化為圓柱標準坐標系下的標準位移Dn。

1.2 基于子域投影和局部最小二乘的三維應變場計算方法

在圓柱標準坐標系下，圓柱表面測量點P0的標準坐標為（xn0， yn0， zn0），標準位移Dn=（un，vn，wn）T。以P0為中心建立曲面局部子域（計算窗口），設子域內包含（2N+1）×（2N+1）個均勻分布的數據點，其中（2N+1）為計算窗口尺寸。過點P0的切平面為π，在切平面內建立以P0為原點的二維局部坐標系，如圖2所示，其中Pi為局部子域內的任一數據點，s、t分別表示切平面內局部坐標系的兩正交坐標軸方向，n表示切平面的法方向。

2 算法的數值驗證

在采用三維數字圖像相關方法獲得三維位移場的過程中，一個必要的步驟就是將測量區域劃分為離散測量點網格，即最終獲得的位移場是測量網格點的離散三維位移場。有限元數值仿真在劃分單元時具有相同的網格點劃分效果，且有限元模擬可以輸出所有網格節點的三維位移場數據，便于對其添加可控的噪聲條件。基于以上分析，采用有限元仿真對離散三維位移場和應變場進行數值模擬。考慮到實際進行視覺測量時，獲得的表面三維位移場空間分辨率較高，因此進行數值模擬時，劃分的有限單元應當具有足夠數量，節點分布應當足夠密集，以獲取與視覺測量相當的三維位移場的空間分辨率。

利用商業有限元分析軟件，在不具備任何特殊性的一般坐標系下（將其作為相機坐標系），建立圓柱拉伸模型，模型的幾何尺寸和材料參數如表1所示。在圓柱表面劃分結構化單元網格，設置最大單元尺寸為1 mm，節點數約為42萬，以滿足數值模擬的空間分辨率要求。圓柱下底面施加固定約束，上底面施加均勻拉伸應力，如圖3所示。為保證圓柱結構的變形始終在彈性范圍內且仍具有一定量級的應變，設置拉伸應力為10 MPa。

在均勻應變區域內，有限元的應變計算結果與理論值完全一致，而在靠近固定約束端的非均勻應變區域，理論值求解較為困難。由于本文中有限元單元劃分的足夠密集，有限元解的精度也足夠高，因此以下均以有限元數值模擬計算得到的應變作為理想真實應變。

對上述模型進行有限元數值仿真計算，可得到圓柱表面應變云圖，如圖4所示。提取圓柱表面網格節點的三維坐標和位移，作為相機坐標系下的測量點坐標和位移，由于模型變形在彈性小變形范圍內，采用柯西應變張量表達式計算應變。同時，提取圓柱表面網格節點的應變作為測量點的真實應變，以下將基于該真實應變對計算結果進行誤差分析。

2.1 均勻應變區域

在圓柱表面的均勻應變區選取一感興趣區域（region of interest， ROI）作為目標計算區域，如圖5所示。分別采用本文提出的圓柱表面三維應變場計算方法（下文中均簡稱為本文方法）以及一般曲面的子域投影法（下文中均簡稱為子域投影法），對該區域的三維應變場進行計算。為了評價計算得到的應變場，定義應變平均絕對誤差e和應變標準差σ分別如下

e=1n∑ni=1|εi-εi，true|

σ=1n∑ni=1（εi-εaverage）2

（9）

式中：n為應變場測量區域內包含的總數據點個數；εi為數據點i的應變測量值；εi，true為數據點i的應變真實值；εaverage為所有數據點的應變測量平均值。

2.1.1 無噪聲條件下的應變場計算誤差分析

將圖5中節點的坐標和位移作為輸入，不添加位移場噪聲時2種方法在不同計算窗口尺寸下的結果對比如表2所示。

由表2可見，2種方法得到的軸向、切向應變的平均絕對誤差和標準差均非常小，表明無噪聲條件下，在表面均勻應變區域采用本文方法和子域投影法均可達到較高精度，得到的應變場也都十分均勻。

2.1.2 不同噪聲條件下的應變場計算誤差分析

為研究本文方法以及子域投影法在均勻應變區域位移場存在噪聲時的表現，對離散位移場數據添加不同等級的噪聲后，對比2種方法在不同計算窗口尺寸、不同位移場信噪比條件下的應變平均絕對誤差和標準差，結果如圖6～圖8所示。

從圖6～圖8中可以看到，在圓柱表面均勻應變區域，位移場的信噪比越低，2種方法計算得到的應變平均絕對誤差和標準差就越大，但2種方法均能夠通過增大計算窗口的尺寸對位移場進行平滑，從而降低由于位移場存在噪聲帶來的誤差。在同一信噪比條件下，隨著計算窗口尺寸的增大，兩者計算結果趨于一致，即具有相同的計算精度。

2.2 非均勻應變區域

在圓柱表面的非均勻應變區域，選取一感興趣區域作為目標計算區域，如圖9所示，分別采用本文方法以及子域投影法對該區域的三維應變場進行計算。

2.2.1 無噪聲條件下的應變場計算誤差分析

將圖9中節點的坐標和位移作為輸入，不添加位移場噪聲時2種方法在不同計算窗口尺寸下的結果對比如表3所示。

由表3可知，2種方法計算得到的軸向和切向應變的平均絕對誤差較小，均不超過0.05×10－6，表明無噪聲條件下，在圓柱表面非均勻應變區域采用本文方法和子域投影法均可達到較高精度。

2.2.2 不同噪聲條件下的應變場計算誤差分析

為研究本文方法以及子域投影法在非均勻應變區域位移場存在噪聲時的表現，對離散位移場數據中添加不同等級的噪聲，對比2種方法在不同計算窗口尺寸、不同位移場信噪比條件下的應變平均絕對誤差，結果如圖10～圖12所示。

從圖10～圖12可以看到，在圓柱表面非均勻應變區域位移場存在噪聲的條件下，信噪比越低，2種方法計算得到的應變平均絕對誤差越大。同樣地，可以通過增大計算窗口的尺寸對位移場進行平滑，從而降低由于位移場存在噪聲帶來的誤差。在同一信噪比且計算窗口尺寸較小時，本文方法計算得到的切向正應變的平均絕對誤差略低于子域投影法，而軸向正應變的平均絕對誤差略高于子域投影法，產生該現象的原因在于窗口尺寸較小時包含的計算點較少，最小二乘擬合的結果尚不穩定，2種算法對應變的計算均存在一定誤差，而隨著計算窗口尺寸的增大，兩者計算結果趨于一致，即具有相近的計算精度。

在實際應用中，應當根據測量要求以及實際噪聲情況，對計算窗口尺寸進行合理選擇。較大的窗口尺寸可以對噪聲進行濾除，提高信噪比，但也會使應變場計算結果更加平滑；較小的窗口尺寸可以保留應變場更多的細節，但對噪聲的抵抗能力較差。在對較均勻的應變場進行測量或位移場噪聲較強時，采用較大的計算窗口較為合適；而在復雜應變場的測量場景下，若位移場噪聲在可接受的范圍內，則應傾向于選擇更小的計算窗口。

2.3 計算效率分析

分別選取不同的計算窗口尺寸，對不同大小的目標區域進行三維應變場計算，計算過程均在同一臺計算機（Intel i5-10500 CPU）上完成。對比本文方法與子域投影法的計算效率，結果如圖13所示。

從圖13中可以看到，在目標計算區域較小且計算窗口尺寸也較小時，2種方法的計算消耗時間較為接近；而隨著目標計算區域的增大以及計算窗口尺寸的增大，2種方法的差距越來越大。本文方法的計算耗時明顯低于子域投影法的計算耗時，效率提高了約20%。

本文方法在計算三維應變場的過程中，通過引入圓柱幾何先驗信息，避免了逐點的切平面最小二乘求解步驟，有效降低了計算復雜度，實現了圓柱表面三維應變場的高效計算。同時也應注意到，在提升效率的同時，由于需要對坐標系進行變換，本文方法的計算精度在一定程度上受到被測結構幾何形貌的限制，即結構的不規則性以及試件表面的加工誤差情況會對本文方法造成一定的影響，但在誤差允許范圍內，本文方法在工程中常見的管道等規則圓柱結構的應變測量場景下，仍然具有適用性。

3 算法的實驗驗證

為了驗證本文方法的有效性，開展標準圓柱試件拉伸實驗，實驗平臺如圖14所示，測試系統主要由雙目相機、光源、計算機終端、應變采集儀等組成。圓柱試件直徑為6 mm，材質為20鋼，兩端夾持在MTS-880電液伺服試驗機的夾頭上。

根據視場大小，選取4 mm間距的標準棋盤格作為靶目標，采用張正友標定法［29］對雙目相機系統進行標定，獲取2臺相機的內參數以及兩者之間的相對外參數，如圖15所示。由圖可知，平均重投影誤差為0.09 像素，表明標定結果的精度能夠滿足要求。

控制試驗機對圓柱試件進行單軸拉伸平臺式加載，圓柱試件發生變形，加載歷程如圖16所示，共有4個加載平臺期，平臺期內加載載荷保持不變。拉伸過程中，通過雙目相機系統對試件變形前后圖像進行采集，并傳輸至計算機終端。采用雙目DIC算法，計算參量為：子區尺寸為51×51像素，網格節點步長為3 像素。對圓柱表面計算區域的三維坐標進行計算，并獲取三維位移場。同時，圓柱表面的應變片連接應變采集儀，實時顯示應變片的應變測量結果。以下分別從單點、全場兩個角度，將本文方法的應變計算結果與應變片測量結果進行對比，驗證其可靠性和有效性。考慮到圓柱試件在彈性小變形范圍內，采用柯西應變張量表達式計算應變值。

3.1 單點三維應變計算

首先，選取用于圓柱擬合的計算點區域，并在圓柱試件表面任選一點作為應變計算目標點，如圖17所示。選取應變計算窗口尺寸為17×17像素，采用本文方法分別對4個平臺期內的單點拉伸應變進行計算，不同時刻下的標準圓柱坐標系參數保持不變。圖18給出了計算拉伸應變與應變片測量拉伸應變的對比結果。

由圖18可見，在每個加載平臺期內，采用本文方法計算所得的應變與應變片測量結果基本一致。為了定量地對單點應變計算結果進行評價，計算每個平臺期內的應變計算結果與應變片測量結果的平均絕對誤差，以及平均絕對誤差與應變片測量結果的比值（定義為平均相對誤差er），如表4所示。可以看出，單點應變的平均絕對誤差均在50×10－6以內，且最大平均相對誤差不超過7%，表明采用本文方法計算單點應變是精確可靠的。

3.2 全場三維應變計算

在圓柱試件表面選取一矩形區域作為應變計算目標區域，如圖19所示。選取的應變計算窗口尺寸為21×21像素，分別在4個加載平臺期內選取一時刻，采用本文方法對全場拉伸應變進行計算，計算得到的拉伸應變場如圖20所示。

從圖20中可以看出，在每個加載平臺期內，采用本文方法計算得到的應變場均較為均勻，且與應變片測量結果吻合較好。為了定量地對全場應變計算結果進行評價，計算得到每個平臺期內的應變計算結果與應變片測量結果的平均絕對誤差、平均相對誤差以及全場應變的應變標準差，如表5所示。

由表5可以看出，全場應變的平均絕對誤差和應變標準差均在60×10－6以內，且最大平均相對誤差不超過8%，表明采用本文方法計算全場應變是可靠的，且獲得的應變場也較為均勻。

4 結 論

基于圓柱結構表面的幾何先驗信息，提出了一種融合圓柱擬合和子域投影的圓柱表面三維應變場計算方法。相比于一般曲面的子域投影法，本文方法能夠避免大量的切平面最小二乘求解，從而降低了圓柱結構表面三維應變場的計算復雜度。在不同應變區域和不同位移場噪聲條件下，將本文方法與一般曲面子域投影法進行了三維應變場計算精度和效率對比。然后，開展標準圓柱試件拉伸實驗，分別從單點、全場兩個角度，將本文方法的應變計算結果與應變片測量結果進行對比。結果表明：本文方法具有與一般曲面子域投影法相當的應變計算精度和位移場噪聲魯棒性，且計算耗時明顯降低，效率提高了20%左右；計算得到的應變結果與應變片測量結果吻合較好，驗證了本文方法的有效性和可靠性。本文所提方法為規則結構表面三維應變場的計算提供了一種新思路。

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（編輯 李慧敏 劉楊）