《幾何原本》在初中數學留白創造式教學中的應用

彭純莉 汪曉勤

【摘 要】初中數學教科書中的幾何概念和命題大多可以在古希臘數學典籍《幾何原本》中找到源頭，《幾何原本》中的有關內容能為留白創造式教學提供問題源泉和思想啟迪。本文通過具體的例子來分析《幾何原本》中的有關定義、公理、命題和思想方法在留白創造式教學中的具體運用，初步總結了六種留白策略：留陳述之白，促定義創新；留方法之白，助表征轉化；留論證之白，引思維延伸；留發現之白，致新知創獲；留問題之白，激探究興趣；留超越之白，啟思想升華。

【關鍵詞】《幾何原本》；留白創造式教學；HPM；初中數學

一、引言

如何在教學中培養學生的創新意識和創新能力，是擺在當今教師面前的重要課題。近年來，“留白創造式”這一新的教學方式被提出，強調在課堂教學中為學生留出足夠的思維空間和探究機會，讓他們在自主學習過程中創獲新知、陶熔品性。［1］在留白創造式教學中，教師的留白通常包含陳述之白、方法之白、論證之白、發現之白、問題之白和超越之白等六種形式，而數學史為留白的設計提供了問題源泉和思想啟迪。［2-4］

古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》是一部傳播幾何學知識的偉大著作，是數學史上最早用公理化思想鑄造完整演繹邏輯體系的經典，具有重要的地位和深遠的影響，被譽為“數學圣經”。19世紀以前，《幾何原本》是學校數學教育的主要內容，歐幾里得幾乎成為幾何學的代名詞；20世紀初，在培利運動的影響下，此書逐漸失去了往日的輝煌；到了今天，中學數學課程的目標和內容都已發生巨大的變化，此書的教育價值更加不受重視。

歐幾里得的留白啟發了后世數學家的創新——新的方法、新的命題甚至新的學科，《幾何原本》這部名著對于創新意識和創新能力的培養依然有獨特的參考價值。目前，《幾何原本》中的部分內容已被運用于HPM教學之中。基于此，本文通過具體的例子來分析歐幾里得的有關定義、公理、命題和思想方法在留白創造式教學中的運用，為教學提供參考。

二、留陳述之白，促定義創新

數學概念是導出數學定理和法則、分析和解決問題的基礎，李邦河院士曾說：“數學玩的是概念，而不是純粹的技巧。”［5］根據新課程標準的要求，需要培養學生對數學概念的理解和運用能力。

同一個數學概念，古今定義往往不同。在教學中，教師可以參考歐幾里得對某個幾何概念的定義，讓學生嘗試自己下定義，從而留下“陳述之白”。

《幾何原本》卷一根據邊和角對四邊形進行分類，其中長方形的定義是：在四邊形中，四個角都是直角，但四邊不全相等的，叫作長方形。卷二又給出矩形的定義：有兩鄰邊夾直角的平行四邊形稱為矩形。在第一個定義中，長方形不包含正方形，而在第二個定義中，矩形包含了正方形。可見，在歐幾里得眼里，長方形和矩形并不完全相同。

在“矩形的判定”教學中，教師首先拋出問題：“什么樣的四邊形是矩形？”學生給出了以下回答：

·四個角都是直角的四邊形是矩形。

·由四個相等的角組成的四邊形為矩形。

·兩組對邊分別平行，且有一個角為直角的四邊形是矩形。

·兩組對邊分別相等，且有一個角為直角的四邊形是矩形。

·一組對邊平行且相等，且有一個角為直角的四邊形是矩形。

·對角線相等且互相平分的四邊形是矩形。

……

教師讓學生在黑板上展示上述定義，并將它們與歐幾里得的兩個定義進行比較。經過討論，學生得到結論：這些定義都與歐幾里得的矩形定義等價，都可以敘述成“有一個角是直角的平行四邊形稱為矩形”。

實際上，教師可以進一步留白，啟發學生提出新的定義：上述定義中，有的定義涉及四個角，有的定義涉及一個角，那么利用三個角或兩個角可以定義矩形嗎？學生可能會進一步提出：

·有三個角是直角的四邊形是矩形。

·有一組對角是直角，且有一組對邊平行的四邊形是矩形。

·有一組對角是直角，且有一組對邊相等的四邊形是矩形。

·有一組對角是直角，且兩條對角線相等的四邊形是矩形。

·有兩個鄰角是直角，且有一組對邊相等的四邊形是矩形。

·有兩個鄰角是直角，且兩條對角線相等的四邊形是矩形。

……

教師還可以讓學生進一步思考為何歐幾里得的第一個定義與今天不同，從而讓學生認識到，沒有平行線的知識，對四邊形進行分類是很不方便的。

三、留方法之白，助表征轉化

我們今天用符號來表達的代數公式或恒等式，在16世紀以前的數學文獻中往往都是以幾何圖形來表征的，這是因為在韋達（F. Viète）創立符號代數之前，人們不會用字母來表示任意數或一類數。因此，數學史為培養學生的表征轉化能力提供了參照。在代數公式的教學中，教師可以借鑒歐幾里得的幾何命題，設計剪紙、拼圖或構造無字證明等活動，讓學生自主推導或驗證有關公式，從而留下“方法之白”。

丹麥著名數學史家鄒騰（H. G. Zeuthen）曾經指出，《幾何原本》卷二采用了“幾何代數法”，即用幾何方法解決代數問題。如該卷命題3提出：若任意兩分一線段，則由整條線段與分線段之一所夾的矩形等于兩分線段所夾的矩形與上述分線段上的正方形之和。［6］用今天的代數符號表達，該命題說的就是a（a+b）=a2+ab，如圖1所示。同卷命題4提出：若一條線段被任意分成兩段，則整條線段上的正方形等于兩條分線段上的正方形之和再加上兩條分線段所構成的矩形的兩倍。［6］用今天的代數符號來表達，該命題說的就是（a+b）2=a2+2ab+b2，如圖2所示。

在課例“完全平方公式”［7］中，教師通過“已知正方形的面積，求邊長”問題引入（a+b）2的計算，在學生用代數方法推導出公式后，教師提出問題“能否用幾何方法來驗證該公式呢？”，引導學生利用歐幾里得的圖形在符號表征和圖形表征之間進行轉化。

《幾何原本》卷二命題5提出：如果把一條線段分成相等的線段，再分成不等的線段，則由兩不等線段所夾的矩形與兩分點之間一段上的正方形之和等于原線段一半上的正方形。［6］在課例“平方差公式”中，在學生應用平方差公式解決計算問題（如39.8[×]40.2、99.4[×]100.6）之后，教師提出問題“能否用字母寫出一般的等式？”，在學生給出恒等式ab=[a+b22]-[a-b22]之后，教師進一步提出問題：“古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中給出過上述等式的幾何證明，你能用幾何方法驗證這個等式嗎？”有了之前用幾何方法驗證平方差公式的經驗，學生成功地用圖3驗證了上述公式。實際上，圖3簡化了歐幾里得的原圖。

四、留論證之白，引思維延伸

現行初中數學課程中的幾何命題大多可以追溯至《幾何原本》，但由于教科書采用的邏輯體系不同于《幾何原本》，因此，對一些命題的證明也隨之不同。此外，《幾何原本》中的有關命題往往可以成為有關數學推理的依據。在命題或問題解決的教學中，教師可以參照歐幾里得的證明方法，讓學生通過小組合作對有關命題加以證明，從而留下“論證之白”。

《幾何原本》卷一命題5提出：等腰三角形的兩底角相等，將腰延長，與底邊形成的兩個補角亦相等。［6］這就是著名的驢橋定理。歐幾里得的證明如下：如圖4，作等腰△ABC，使得AB=AC，延長AB至點D，延長AC至點E，使得BD=CE，依次證明△ABE△ACD，△BCD△CBE，即得命題的結論。后世數學家對歐幾里得的證明做了改進，如3世紀末的帕普斯（Pappus）給出鏡像法：如圖5所示，將△ABC看成△ABC和△ACB的疊合，利用邊角邊定理，即得[∠B=∠C]。5世紀的普羅克拉斯（Proclus）給出攔腰法：如圖6所示，分別在AB和AC上取點D和E，使得AD=AE，依次證明△ABE△ACD，△BCD△CBE，即證得結論。

在“全等三角形判定”的教學中，教師在引導學生證明邊角邊定理之后，提出任務：利用邊角邊定理，如何證明等腰三角形底角相等？學生給出了多種不同的證明，其中包括普羅克拉斯的攔腰法和帕普斯的鏡像法，盡管沒有出現歐幾里得的驢橋法，但與歐幾里得一樣，先后兩次運用了邊角邊定理。教師利用古今聯系策略，對學生的證明做出評價。

《幾何原本》卷六命題2提出：如果一條直線平行于三角形的一條邊，那么所截的邊成比例；如果三角形的邊被截成比例，那么通過兩點的直線平行于三角形的第三邊。［6］歐幾里得運用面積的方法來證明該命題，證明如下：

（1）設在△ABC中，DE//BC，連接BE和CD。因為△BDE和△CDE有共同底邊DE，且DE//BC，所以S△BDE = S△CDE，于是得S△BDE[∶]S△ADE = S△CDE[∶]S△ADE，從而BD[∶]AD=CE[∶]AE。

（2）設△ABC的邊AB和AC被分比例為BD[∶]AD=CE[∶]AE，因BD[∶]AD=S△BDE[∶]S△ADE，CE[∶]AE=S△CDE[∶]S△ADE，故S△BDE[∶]S△ADE = S△CDE[∶]S△ADE，于是S△BDE =S△CDE，DE//BC。

在課例“三角形中位線定理”［8］中，在學生解決三角形四等分問題并通過剪紙猜想出中位線的性質之后，教師提出“證明三角形中位線”的任務。學生運用轉化思想給出各種證明，包括形與形的轉化以及線與面的轉化。后一類證明類比了歐幾里得的方法：如圖7，在△ABC中，因為BD=AD，所以S△BDE[=]S△ADE，同理S△CDE=S△ADE，所以S△BDE[=]S△CDE，又因為有公共底DE，所以DE//BC；因為S△EBC[=]S△ABE[=]2S△BDE，又因為△EBC和△BDE等高，所以BC=2DE。

《幾何原本》卷一命題21提出：以三角形一邊的兩個端點向三角形以內引兩條相交線，那么交點到這兩個端點的這兩條線段的和小于三角形余下的兩條邊的和，所形成的角大于三角形同側的內角。［6］歐幾里得的證明如下：如圖8，在△ABE中，AB+AE＞BE=BD+DE，在△CDE中，CE+DE＞CD，故得AB+AC=AB+AE+EC＞BD+DE+EC＞BD+CD。上述命題確定了三角形中兩條線段之和的單調性，成了有關幾何問題解法的依據。2019年安徽中考的一道數學題就是其中一例：如圖9，在正方形ABCD中，點E、F將對角線AC三等分，且AC=12，點P在正方形的邊上，求滿足PE+PF=9的點的個數。該題的解題思路為：取點E關于AB的對稱點E′，連接E′F，交AB于點G，則E′F=[42+82=80]＜9，因此，在AB上點G的上方和下方各有一點P，滿足PE+PF=PE′+PF=9＞E′F。

對于上述解法，教師可以向學生提出以下問題：為什么在點G的上下各只有一點滿足條件呢？學生如果能夠說明從點G開始，點P向上或向下運動過程中，PE′+PF逐漸增大，問題就得到了解決。因此，對于這道中考題的探討，可以讓學生實現與歐幾里得的“對話”。

五、留發現之白，致新知創獲

《幾何原本》中，一些命題的證明過程往往蘊含了新的命題。在教學中，教師可以讓學生對歐幾里得使用的圖形進一步加以探究，從中發現新的結論，從而留下“發現之白”。

《幾何原本》卷一命題47（勾股定理）提出：在任意一個直角三角形中，直角所對邊上的正方形，等于兩條直角邊上正方形之和。歐幾里得的證明如圖10所示，在Rt△ABC的三邊上分別作正方形ACDE、BCFG和ABMN，連接BE、AG、CM和CN，過點C作AB的垂線，垂足為點H，交MN于點K，利用△ABE△ANC和△ABG△MBC，得到正方形ACDE和BCFG的面積分別等于長方形ANKH和BMKH的面積，從而得到前兩者之和等于正方形ABMN的面積。

教師讓學生觀察圖10，進一步思考：為什么直線BE、AG和CH交于同一點？為此，分別延長ED和GF，交于點R，連接AR、BR和CR，學生可以發現許多新結論，例如：（1）Rt△CRDRt△CRF；（2）三點R、C和H共線；（3）AR//NC、BR//MC；（4）BE[⊥]AR、AG[⊥]BR；（5）EB=AR、GA=BR；（6）△AGR△BRE；（7）BE、AG和CH交于同一點O，點O是△ABR的垂心；（8）RH2=AF2+CH2；等等。作更多的輔助線，可發現更多新的結論。

六、留問題之白，激探究興趣

《幾何原本》中的許多命題都留下了進一步探究的空間。在教學中，教師可以介紹若干基于數學史的問題提出策略［9］，進而選擇《幾何原本》的某個命題作為出發點，讓學生通過條件操作、目標操作、對稱互換等策略，提出新的數學問題，從而留下“問題之白”。

對于《幾何原本》卷一命題16（在任意三角形中，若延長一邊，則外角大于任何一個內對角），運用對稱互換策略，學生可以提出問題：“如果一個多邊形的每一個外角都大于其不相鄰的內角，那么該多邊形是否一定為三角形？”又如，針對卷一命題47，運用對稱互換策略，學生可以提出問題：“在一個三角形中，如果一邊上的正方形面積等于另兩邊上的正方形面積之和，那么該三角形一定是直角三角形嗎？”運用條件操作策略，學生可以提出如下問題：

（1）若在直角三角形的三邊上分別作三個半圓，則其面積有何關系？（圖11）

（2）若在直角三角形的三邊上分別作以三邊為對應邊的相似三角形，則其面積有何關系？（圖12）

（3）如何作一個正方形，使其面積等于已知長方形的面積？（圖13）

《幾何原本》卷一命題37提出，同底且在相同的兩條平行線之間的三角形彼此相等。教師可以引導學生將該命題與軌跡問題聯系起來，進而提出如下新問題：

（1）等腰三角形的底邊固定，則其頂點的軌跡是什么？

（2）三角形的底邊固定，其頂點在運動過程中，三角形的面積保持不變，則頂點的軌跡是什么？

（3）三角形的底邊固定，其頂點在運動過程中，三角形的面積保持不變，則頂點在什么位置時三角形的周長最小？

（4）三角形的底邊固定，其頂點在運動過程中，三角形的兩腰之比始終等于2∶1，則頂點的軌跡是什么？

《幾何原本》卷二命題10提出：在一條被二等分的線段的一端按原直線方向加上一條線段，那么，總線段上的正方形與加線段上的正方形之和，等于原線段一半為邊的正方形與另一半加上加線段之和為邊的正方形的和的兩倍。［6］采用自由式策略，對給定的線段賦值，并改變目標，可以編制一道新的數學問題：

如圖14，CE[⊥]AB，CA=CB=CE，EF//AB，DF//CE，FD與EB交于點G。線段賦值：BE=[2]，DB=[12]。

（1）求線段FG的長度。

（2）設P是線段AB上的一個動點（不與點A、B重合），點P到AE與BE的距離是否為一個定值，若是，求出此定值。

（3）延長EC至點H，使得CH=EC，連接BH、GH，求點B到GH的距離。

七、留超越之白，啟思想升華

在留白創造式教學中，教師在學生完成補白之后進行古今聯系，并讓學生對命題證明或問題解決背后的數學思想加以總結，或選取《幾何原本》中的典型命題及其證明，讓學生對其背后的數學思想進行提煉，從而留下“超越之白”。

《幾何原本》中的思想方法對于今日幾何教學有重要意義。在卷一眾多命題的證明中，學生可以感受到歐幾里得對轉化思想的普遍使用。如卷一命題20提出：在任何三角形中，任意兩邊之和大于第三邊。歐幾里得的證明如下：如圖15，延長BA至點D，使得AD=AC，則AB+AC=AD，于是將△ABC的兩邊之和轉化為△DBC的一條邊，在△DBC中，利用大角對大邊（卷一命題19），即證得結論。又如，對于上文提到的卷一命題16，歐幾里得通過作倍長中線BF（圖16），將[∠A]轉化為[∠ACD]的一部分[∠ACF]，從而證得結論。

歐幾里得關于卷一命題47（勾股定理）的證明則是通過全等三角形實現正方形與長方形之間的轉化。上文提到的卷六命題2的證明則實現了線與面的轉化。除了轉化，《幾何原本》中還有許多其他思想方法，如特殊到一般、分類討論等。

此外，關于勾股定理，中國古代數學家劉徽的證明方法（圖17）與歐幾里得迥然不同，教師可以引導學生思考：當歐幾里得“遇見”劉徽，他們會如何評價對方的證明呢？從而促進學生對數學證明功能的深刻理解。

八、結語

綜上，《幾何原本》在當今初中數學課堂上大有可為：歐幾里得的定義是古今對話的素材，圖形是表征轉換的參照，命題是問題提出的起點，方法是命題證明的依據。《幾何原本》為今日初中數學留白創造式教學提供了諸多啟示。

首先，增強留白意識。雖然《幾何原本》是經典之作，內容豐富，邏輯嚴謹，但也處處留白，為后世留下廣闊的探索空間。因此，此書為初中留白創造式教學提供了思想啟迪。教師在課堂中應讓學生成為補白的主體，給學生留下足夠的探究空間。

其次，豐富留白形式。借鑒歐幾里得的有關定義，可留陳述之白；參照歐幾里得的證明，可留方法之白和論證之白；叩問歐幾里得的命題，可留發現之白和問題之白；提煉歐幾里得的思想，可留超越之白。教師在教學過程中，可以設置不同的探究活動，在新知引入、問題設計、概念辨析、定理證明、公式推導、德育實施等環節進行留白。

再次，確定留白策略。在留白創造式教學中，陳述之白、發現之白對應“是什么”，論證之白對應“為什么”，方法之白、問題之白和超越之白對應“還有什么”。因此，提出問題是留白的策略之一，典型的問題有“什么樣的四邊形是矩形”“如何證明三角形中位線定理”“可否用幾何方法驗證完全平方公式”“歐幾里得運用了什么思想方法”等；否定屬性策略改編問題是留白的另一策略，可以讓學生編制豐富多彩的數學問題，培養他們的創新能力。

最后，加強補白評價。利用《幾何原本》中的素材實施留白創造式教學時，教師可以利用古今對照的策略，對學生的補白成效做出評價，使學生得以跨越時空，與古希臘數學家“對話”，從而提升數學學習的自信心。例如，當學生用拼圖法驗證完全平方公式，用面積法證明三角形中位線定理時，教師可以稱贊他們想數學家之所想，是“小小的數學家”。

參考文獻：

［1］王華，汪曉勤.中小學數學“留白創造式”教學：理論、實踐與案例［M］.上海：華東師范大學出版社，2023.

［2］汪曉勤，鄒佳晨，王華.數學史與留白創造式教學［J］.數學通報，2023（3）：1-6.

［3］汪曉勤.數學史上的留白與創新［J］.中學數學月刊，2023（4）：1-4.

［4］汪曉勤，鄒佳晨.基于中華優秀傳統數學文化的高中數學留白創造式教學初探［J］.中小學課堂教學研究，2023（9）：1-6.

［5］李邦河.數的概念的發展［J］.數學通報，2009（8）：1-3，9.

［6］歐幾里得.幾何原本［M］.蘭紀正，朱恩寬，譯.南京：譯林出版社，2014.

［7］栗小妮，沈中宇.“完全平方公式”：從歷史中找動因、看形式［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2018（3）：46-51.

［8］沈中宇，李霞，汪曉勤. HPM課例評價框架的建構：以“三角形中位線定理”為例［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2017（1）：35-41.

［9］汪曉勤.基于數學史料的高中數學問題編制策略［J］.數學通報，2020（5）：9-15.

（責任編輯：潘安）