HPM視域下的初中數學教學研究

［ 關鍵詞 ］ HPM；教學設計；正切

當前，數學教材中出現了不少與教學內容相關的數學史材料，但有些教師認為這與教學測評沒有太大關系，因而在教學時就一句話帶過.殊不知，數學史與數學教育有著密不可分的聯系，基于HPM視角的數學教學不僅能啟發學生的思維，還能促進學生更好地理解學科體系，提升探究能力［1］ .

HPM 的形成與發展

19世紀，法國的泰爾凱、英國的德摩根等人關注到數學史在數學教學中的價值；20世紀上半葉，法國的龐加萊、美國的史密斯與卡約黎等人，都倡導在數學教學中滲透數學史；1972年的國際數學教育大會，首次創建了數學史與數學教育聯合國際研究小組（簡稱HPM） .時至今日，乃至今后的很長一段時間，HPM的價值都是國際數學教育研究的重要方向［2］ .

教學設計與實施

（一） 教學分析

“正切”是初中階段重要的教學內容之一.對學生而言，從線段長轉化到線段比的認識，屬于一次“質”的飛躍.學生理解正切的概念時，確實存在一定的困難.實踐發現，學生在接觸“正切”之前，已經感知到三角形角角間、邊邊間的關系，也就是說，“邊角關系”是研究三角形不可或缺的部分.

結合教情、學情與考情，本節課的教學目標主要有如下兩點：①掌握正切的概念，能自主求出直角三角形中銳角的正切值，并能用正切來解決一些簡單的問題；②帶領學生親歷正切概念的歷史進程，讓學生從中感知知識背后的人文精神，樹立學習信心.

（二） 教學簡錄

1. 史料導入，激發興趣

教師借助信息技術手段，展示我們日常用的手表、手機等能夠計時的物品，根據這些物品引入我國古代的計時工具——日晷.要求學生觀察視頻中晷影長度（見圖1） 的變化情況，說一說在晷影變化的過程中，哪些屬于常量，哪些屬于變量.

結合問題與生活現實，學生一致認為圖1中的常量為晷針BC 的長與∠ BCA 的大小；變量有AB，AC 的長，以及∠ A 與∠ ABC 的大小.

設計意圖 此環節主要彰顯相似三角形在正切概念研究中的重要作用，能讓學生明確正切的形成過程，理解正切的本質與內涵. 若教師只告訴學生正切就是銳角所對直角邊比鄰邊，學生很難從真正意義上理解其內涵.

“線段比—函數觀點—符號表達”經歷了數十載，將此作為課堂教學內容，不僅能促進學生認知的飛躍，還能讓學生自主鑒別正切與一次函數、二次函數模型的區別，體驗正切的重要性與必要性.課程至此，學生親歷了正切概念“線段—線段比—角定比定—函數觀”的研究過程.

3. 借助史料，應用提升

如圖5，在公元前3世紀，天文學家阿里斯坦克斯（古希臘） 在月亮處于半圓的時候，測出“日、地、月”三者的中心“S，E，M”恰好可組成一個直角三角形，且∠ MSE=3°.根據這些條件，是否能獲得月亮與太陽的距離約是月亮與地球距離的多少倍？要求寫出方案.

設計意圖 此問是根據“阿里斯坦克斯問題”改編而來，旨在激發學生的探究興趣，深化學生對正切概念的理解與認知，讓學生進一步掌握“正切值僅和角的大小有關，和距離并沒有關系”的本質，幫助學生獲得“化大為小”的解題策略.

4. 課堂總結，感悟提升

教師帶領學生回顧整節課的教學，并讓學生從如下幾方面進行總結：①研究銳角三角函數的意義是什么？②正切是怎么研究的？③怎樣應用正切知識來解決實際問題？④關于正切，你還有什么想知道的？

設計意圖 本節課的教學，主要是為了讓學生充分感知正切的概念形成經歷了艱辛的探索歷程，正切概念的形成與發展與數學史的發展是同步的，學生從這幾個問題中發現了“正切并不是簡單的兩直角邊相比的問題，更是源于生活且高于生活，蘊含豐富內涵的數學學科知識”.

（三） 教學思考

1. 創設合適的教學情境

本節課是基于數學史料，順應知識的發展所設計的，教學情境的選擇是筆者經過深思熟慮的， 以“日晷”作為情境素材，源自對史料的復制、重構與順應，每個情境都將數學史、圖形、數學思考融于一體，這對促進學生數學抽象素養、邏輯推理能力、直觀想象素養的發展均有重要意義.

2. 注重“過程化”教學

如圖6， 正切的概念經歷了“啟蒙—發展—深化”三個階段，其概念的三次抽象分別是從幾何觀到代數觀，再到函數觀的發展過程，并抽象為符號tanA 的發展歷程.學生在此過程中，不僅經歷了正切概念的形成與發展過程，還積累了活動經驗，為進一步掌握概念屬性奠定了基礎.

3. 根據學情擇取史料

教師在數學史料的選擇上應從“通俗易懂、便于理解、具有典型代表性”等方面著手，過于抽象、復雜，學生難以理解的史料反而會增加學生的學習負擔，久而久之，會消減學生學習的積極性，讓學生對數學學科望而生畏［3］ .因此，對于“雙減”政策背景下的數學教學，我們應充分認識到數學史的應用是為了減輕學生的學習負擔，而非增負.