追本溯源揚文化，拓形變式探通法

［關鍵詞］ 追本溯源；拓形變式；教學啟示

本文源于2023年中考數學金華卷第10 題. 選擇這道題的原因有：（1） 筆者發現這道題的圖形很熟悉，其來自教材，屬于老圖新題，這是一種命題的趨勢.學生在解決這道題時會有一種親切感，有一種強烈的想要把它解答出來的期待.（2） 由這個圖形演變出來的拓展圖形會衍生出許多新的相關圖形和結論，從而出現各種題型變式，但是本質上它們是相通的. （3） 經過研究，筆者發現這道題還可以繼續結合其他知識進行各種類型的改編，從而得到一些一般化的結論和新發現.在解決這些新問題時可以用到原題所得到的模型和中間結論. 本文從此題開始，展開一系列深入探討，包括這道題的常用解法、課本來源、原形拓展、題型變式、原題改編等.

教學啟示及反思

1. 探索最佳途徑，優化解題方法

每一個較復雜的圖形都包含著若干個基本圖形，解題時可以用到它們的性質和判定方法，由此得到一些中間結論. 或者這個復雜圖形是若干個數學基本模型的疊加，解題時先把這些模型分解出來并運用它們的一些基本結論進行突破. 在這個過程中會產生不同方向的解題思路和方法， 即通常說的一題多解. 教師在教學過程中可以引導學生從多個角度思考解題途徑，獲取新的探究經驗，豐富解題思路和方法. 學生也可以通過分享交流而博采眾長，吸取他人的解題經驗. 在眾多的解題方法中，教師可以通過對比分析，引導學生歸納出適合自己的最佳解題思路，并轉化成自己的解題方法，從而達到優化解題過程的目的.

2. 傳承數學文化，開發項目學習

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，在課程內容選擇時，要關注數學學科發展前沿與數學文化， 繼承和弘揚中華優秀傳統文化［1］ .這道中考題所延伸出來的從勾股定理到圖形面積關系的拓展，學生了解到數學家趙爽創造的弦圖，這也是勾股定理的一種證明方法.教師可以引導學生進一步深入研究弦圖中蘊含的數學結論、趙爽或其他數學家的貢獻、勾股定理的其他證明方法等.這些也可以作為項目化學習的一個主題，既可以讓學生了解我國古代數學的發展歷史，激發學生對數學學習的興趣，又可以增強學生自主查閱文獻資料和整理歸納方法的綜合能bTBR475Uo7ehWzsOaDCzVw==力.學生在這樣的過程中，理解數學，應用數學，形成和發展應用意識、模型觀念等，提升獲取信息和資料的能力、自主學習的能力，發展學習能力、實踐能力和創新意識［2］ .

3. 開展主題學習，尋求方法共性

本文所呈現的整個研究過程可以作為一個主題式的復習流程，安排3～4個課時.首先通過一道典型的中考題，通過研究它的多種解法，獲取間接結論和歸納解題方法.接著從教材或作業中找出它的題目或圖形的原型，分析新題與原題的共性和所發生的變化.然后針對這種類型的題目進行拓展延伸和變式練習，主要的題型可以取材于歷年的常考題型和中考題.在這個過程中歸納一些解題常用的基本模型和相關結論，以便在其他題目中舉一反三和靈活應用.最后嘗試對題目進行改編，挖掘原題沒有出現的新結論，或加入一些新的常用元素，適當拓展題目的深度.整個過程可以由教師組織開展并發布任務，由學生分組完成，學生的研究成果以課件、研究小論文等形式呈現.每個環節完成后開展課堂上的分享交流會，教師進行歸納總結.學生經歷這個過程后的收獲遠比單純完成幾道題目后的收獲要多得多.