核心素養視域下GeoGebra軟件在高中數學教學中的應用探究

戚晶

【摘要】GeoGebra軟件給學生提供了一個可靠的探究問題、解決問題的途徑，是一種高效的學習工具，豐富了學生的學習方式.借助GeoGebra軟件的強大功能，學生能夠直觀準確地觀察到立體幾何圖形的幾何特征和數量特征，領略數形結合的思想，發展直觀想象素養.基于此，文章對核心素養視域下GeoGebra軟件在高中數學教學中的應用展開探究，概述了GeoGebra軟件在高中數學教學中的應用意義，并以圓柱、圓錐、圓臺的表面積知識教學為例進行了案例呈現，旨在充分發揮GeoGebra軟件的教學功能，促進理論與實踐的結合，促進學生全面發展.

【關鍵詞】核心素養；GeoGebra軟件；高中數學；應用

【基金項目】本文系徐州市教育科學“十四五”規劃2022年度課題《核心素養視域下VR技術在高中數學教學中的應用研究》（編號：GH14-22-Q005）階段性研究成果.

引 言

信息技術的融入，無疑為傳統教學模式注入了新的活力.它如同一把鑰匙，打開了學生探索知識、理解概念的新世界大門.在數學教學中，這種變革尤為明顯.以往，數學課堂往往局限于黑板和粉筆的二維世界.教師在黑板上寫下公式和定理，學生則在紙上做著相應的練習.然而，這種方式在表達復雜的數學概念和問題時，往往顯得力不從心.而信息技術的融入，使得數學教學內容得以立體化、形象化.通過計算機和相關軟件，教師可以輕松地創建三維圖形和動畫，將抽象的數學概念變得直觀易懂.比如，在教授幾何體時，教師可以利用GeoGebra軟件，讓學生看到幾何體的立體形態和內部結構，從而更好地理解和掌握相關知識.信息技術融入教學，不僅豐富了教學手段，而且改變了學生的學習方式.學生不再是被動的知識接收者，而是成為主動學習的知識探索者.他們可以利用信息技術自主學習、合作學習，與他人分享知識和經驗，形成良好的學習氛圍和團隊協作精神.

一、核心素養視域下GeoGebra軟件在高中數學教學中的應用意義

GeoGebra軟件作為一種動態數學軟件，能夠有效地支持高中數學教學，并通過多種方式促進學生核心素養的全面發展.教師可以根據高中數學教材內容，合理利用GeoGebra軟件的在線資源，設計富有挑戰性和探究性的學習活動，以提高學生的綜合數學素養.教師自身可以借助GeoGebra軟件進行數學教學，提高專業能力；同時在利用GeoGebra軟件進行教學設計的過程中，教師使用計算機的能力在不斷提高，對教材的熟悉度也在逐步加深.幾何和代數能夠同時在GeoGebra軟件中處理.GeoGebra軟件分為幾何區域和代數區域，分別用于顯示圖形和相應參數.在幾何區域，用戶可以直接執行制作點、線、矢量、曲線等操作，并可以更改其屬性.例如，通過點擊工具欄上的按鈕，用戶可以輕松地創建直線、圓、橢圓等基本幾何圖形.為了確保幾何和代數區域的同步變化，GeoGebra軟件提供了兩種方法.這兩種方法使得學生在操作過程中能更加直觀地感受到數形結合的魅力. GeoGebra軟件充分發揮了高中數學數形結合的重要思想方法.教師在三維空間幾何教學中利用GeoGebra軟件，能夠幫助學生直觀地理解幾何體的特性，包括其形狀和體積等量化屬性.這種直觀的認識促進了學生“數形合一”的思維方式的發展，并鍛煉了學生的空間直覺.教師利用GeoGebra創建3D模型，引導學生分析問題，發現規律，從而提高他們的數學建模能力.通過軟件，學生能夠觀察幾何體的動態變化，這有助于他們整體理解問題，提煉問題的核心，并理解各部分知識之間的邏輯聯系.這樣的過程不僅提高了學生的數學抽象和邏輯推理能力，還全面提升了他們的核心數學素養.

二、核心素養視域下GeoGebra軟件在高中數學教學中的應用案例

（一）教材分析

文章以普通高中教科書數學必修第二冊人教A版中的第八章第3節第2小節“圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積與體積”為例，本案例的主要內容為推導圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式.

（二）學情分析

在教學之前，學生已經學習了基本立體圖形的概念，了解了基本立體圖形的結構特征，并知曉了多面體（棱柱、棱錐、棱臺）的表面積與體積計算方式，對于如何研究立體圖形的表面積與體積已形成一定的經驗.本案例將進一步從度量的角度認識圓柱、圓錐、圓臺的表面積.多面體的展開圖是比較容易理解的，但是旋轉體的展開圖對學生數學抽象能力的要求較高，如何讓學生明確理解旋轉體展開圖中的幾何元素與原立體圖形中的幾何元素之間的關系是本案例的重點.

（三）教學任務分析

1.通過直觀感知、操作確認的方式，讓學生清晰地了解圓柱、圓錐、圓臺的展開圖形狀并能理解幾何元素之間的內在關系；

2.體會在基本立體幾何結構特征與表面積的探究過程中的數形結合思想和化歸思想，感悟“降維”和“平面化”的幾何研究方法.

（四）設計思想

從教學理念上來講，本節課注重發展學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理等素養.數學核心素養是全面貫徹黨的教育方針，落實立德樹人根本任務在數學教育中的落腳點.高中數學課程應以發展學生的核心素養為導向，引導學生把握教學內容的本質，創設合適的教學情境，激發學生的學習興趣和求知欲，鼓勵學生獨立思考，自主學習，合作交流，發展實踐能力和創新意識.

從教學方法上來講，這一整節內容的處理，遵循直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算的認識過程展開，而圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式，通過具體實例與數字實驗，按照直觀感知、操作確認的方式得出，并用精確的數學符號語言進行歸納.

從教學內容上來看，首先要讓學生理解立體幾何圖形表面積計算的通法，即需要將立體幾何圖形的表面展開，從數學思想上來說就是要學會將立體問題“平面化”；其次是要讓學生理解旋轉體展開圖的詳細情況，學生從具體的實驗操作（實物實驗與基于GeoGebra軟件的數字實驗）中發現旋轉體的展開圖與原圖形之間的幾何關系與數量關系，從而提高學生直觀想象、邏輯推理的核心素養；最后是對圓柱、圓錐、圓臺之間內在關系的探究，通過基于GeoGebra軟件的數字實驗發現三者的結構關系，從而推出表面積公式之間的數量關系，充分體會數形結合思想，形成知識之間的統一性.

（五）教學目標

1.通過展開圓柱、圓錐、圓臺的側面，理解圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式；

2.通過觀察圓柱、圓錐、圓臺的結構特征，體會圓柱、圓錐、圓臺的內在聯系，理解圓柱、圓錐、圓臺表面積公式之間的關系.

（六）教學中信息技術的使用分析

在本案例中，教師首先借助GeoGebra軟件展示了圓柱、圓錐、圓臺側面的展開過程，讓學生可以調整幾何體的大小、形狀，觀察不同情況下展開圖的區別與共同點，從而總結出側面面積的計算公式；其次設計的課件中的圓臺的上底面大小是可以放大和縮小的，這樣學生就可以通過控制上底面的大小，觀察得到圓柱、圓錐、圓臺之間的內在關系.在這個過程中，學生通過親自探索，逐步加深了對知識的理解.

（七）教學過程

1.回顧舊知，導入新課

復習：基本立體圖形的結構特征與棱柱、棱錐、棱臺的表面積.

【師生活動】學生思考、回答：基本立體圖形分為多面體與旋轉體，其中多面體包括棱柱、棱錐與棱臺，旋轉體包括圓柱、圓錐、圓臺與球；并且回顧多面體表面積的探究過程.

【設計意圖】在回顧多面體的結構特征與表面積計算方式的過程中，引導學生關注旋轉體的結構特征，啟發學生思考旋轉體表面積的算法.

2.探索新知，構建概念

實驗與探究：根據已經學過的圓柱、圓錐、圓臺的概念結合它們的結構特征，從圖1中各種形狀的紙張當中選擇合適的形狀來圍成圓柱、圓錐、圓臺.

【師生活動】學生選取紙片嘗試圍出圓柱、圓錐、圓臺.不難發現圓柱側面展開圖的形狀就是矩形，圓錐側面展開圖的形狀就是扇形，圓臺側面展開圖的形狀就是扇環.

【設計意圖】學生通過自己動手操作，了解圓柱、圓錐、圓臺的形成過程，對圓柱、圓錐、圓臺的展開情況有了初步的圖像表征，在腦海中形成大致的空間觀念.

觀察與提問：觀察圓柱、圓錐、圓臺的側面展開的動態過程（如圖2所示），你能否得到圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式.

【師生活動】觀察圓柱側面展開的具體過程：沿圓柱的一條母線，將其展開，得到圓柱的側面展開圖，在這個過程中，學生不難發現所得矩形的長就是圓柱底面圓的周長，寬就是圓柱的母線長，從而得到圓柱表面積公式；觀察圓錐側面展開的具體過程，同樣，沿圓錐的母線將其展開，仔細觀察展開過程，學生很容易發現，扇形的半徑就是圓錐的母線長，扇形的弧長就是底面圓的周長，然后根據扇形面積公式，就可以得到圓錐側面面積，進而推出圓錐表面積公式；觀察圓臺側面展開的具體過程，沿圓臺的母線將其展開，就能得到一個扇環，顯然，扇環的半徑就是圓臺母線長，兩段弧長分別為圓臺上底面周長與下底面周長.扇環面積的計算是一個難點，教師引導學生借助相似三角形推出扇環面積，最后得到圓臺表面積公式.

【設計意圖】突破以往教學中學生只能憑空想象的困境，教師可以通過GeoGebra軟件的三維動力學函數，讓他們感受到圓柱、圓錐、圓臺的母線被剪切后，伸展到一個平面上的整個加工，從而使他們對側面展開的圖形與側面積的聯系有了一個更好的認識，從而提高他們的空間想象力.

實驗與探究：分析圓柱、圓錐、圓臺之間的結構關系，探究圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式之間的關系（三者之間的轉化如圖3所示）.

【師生活動】學生在GeoGebra軟件中，拉動控制上底面大小的點，觀察到如果將圓臺的上底面擴大，直到與底面一樣大，那么這個圓臺就轉換成圓柱，將圓臺的上底面縮小，直到縮小為一點，此時就變成了圓錐.結合圓柱、圓錐、圓臺的定義，學生可以將圓柱、圓錐看作圓臺的兩種特殊情況.

【設計意圖】教學中借助GeoGebra軟件動態呈現圓柱、圓臺、圓錐的相互轉化，為學生理解圓柱、圓錐和圓臺的側面積公式之間的相互聯系提供幾何直觀，讓學生體會數與形的和諧統一，也讓學生對所學知識有整體的認識，學會建立知識之間的聯系.

3.例題練習，鞏固新知

【師生活動】學生獨立思考完成題目.

【設計意圖】初步運用表面積相關公式解決問題，提高學生在解決具體問題中的實操能力.

4.小結提升，形成結構

1.請歸納一下圓柱、圓錐、圓臺表面積的推導過程以及三者之間的關系；

2.在探究學習的過程中體現了什么數學思想方法？

【師生活動】學生進行知識總結，教師點評完善并引導學生體會當中的數形結合思想與化歸思想.

【設計意圖】回顧和總結本節課的主要內容及方法，提高學生的歸納總結能力，讓學生養成多反思、多體會的學習習慣.

結 語

綜上所述，核心素養視域下，GeoGebra軟件在高中數學教學中的應用不僅能夠增強學生對數學概念的理解，而且有助于培養他們的批判性思維、創造性思維和實踐能力.隨著教育技術的不斷發展，GeoGebra軟件將成為高中數學教學中不可或缺的工具，能夠為學生核心素養的培養提供強有力的支持.未來的研究可以進一步探討如何將GeoGebra軟件與其他教學資源和方法整合，以及如何評估其在不同教學環境中的效果，從而更好地服務于教育教學改革和學生發展.

【參考文獻】

[1]張志勇.GeoGebra軟件在高中數學教學中的應用舉例[J].福建中學數學，2014（4）：6-9.

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[3]張文香.GeoGebra軟件在高中數學教學中的探究性應用[J].家長，2022（29）：55-57.