兩版教材中“分?jǐn)?shù)的意義”內(nèi)容的比較研究

俞人靖 章勤瓊

摘? 要：從概念維度和模型維度，結(jié)合年級(jí)分布和環(huán)節(jié)分布，對(duì)中國(guó)北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材和新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)教材My Pals Are Here中的“分?jǐn)?shù)的意義”內(nèi)容進(jìn)行分析比較，發(fā)現(xiàn)：兩版教材中“分?jǐn)?shù)的意義”內(nèi)容的編排和呈現(xiàn)基本符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，新加坡版教材運(yùn)用大量的度量模型突出分?jǐn)?shù)的“度量”意義，北師大版教材運(yùn)用大量的面積模型突出分?jǐn)?shù)的“整體中的部分”意義。由此提出教學(xué)建議：明確分?jǐn)?shù)的多種意義，重視“度量”意義；豐富分?jǐn)?shù)的表征模型，增加度量模型；突出單元的核心目標(biāo)，引領(lǐng)課時(shí)學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；教材比較；分?jǐn)?shù)的意義；概念維度；模型維度

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本文系國(guó)家社科基金2020年度一般項(xiàng)目“大數(shù)據(jù)支持下的中小學(xué)合作型課堂組織形式建構(gòu)研究”（編號(hào)：20BGL127）、福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度基礎(chǔ)教育高質(zhì)量發(fā)展重點(diǎn)專項(xiàng)課題“高質(zhì)量發(fā)展視域下課堂教學(xué)的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系構(gòu)建研究”（編號(hào)：FJGHZD22-06）的階段性研究成果。章勤瓊為本文通訊作者。

不論對(duì)學(xué)生還是對(duì)教師來(lái)說(shuō)，分?jǐn)?shù)都是一個(gè)充滿疑惑和困難的數(shù)學(xué)模塊［1］，所以，在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，分?jǐn)?shù)內(nèi)容受到大量關(guān)注。解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題時(shí)，依靠概念性知識(shí)的學(xué)生會(huì)比依靠程序性知識(shí)的學(xué)生表現(xiàn)得更好［2］，所以，理解分?jǐn)?shù)的概念（意義）位于首要且關(guān)鍵的位置。然而在現(xiàn)實(shí)中，學(xué)生進(jìn)行分?jǐn)?shù)運(yùn)算的能力遠(yuǎn)強(qiáng)于理解其意義的能力，如學(xué)生會(huì)運(yùn)用分?jǐn)?shù)運(yùn)算規(guī)則計(jì)算34×12，但不能說(shuō)明是什么意思。［3］本研究對(duì)我國(guó)北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材和新加坡大部分政府學(xué)校使用的小學(xué)數(shù)學(xué)教材My Pals Are Here（Marshall Cavendish出版社出版）中的“分?jǐn)?shù)的意義”內(nèi)容進(jìn)行分析比較，以期對(duì)教學(xué)實(shí)施（包括教材完善）提出合理建議。

一、 研究框架與方法

小學(xué)階段的分?jǐn)?shù)內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)、分?jǐn)?shù)意義的理解、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算以及有關(guān)分?jǐn)?shù)的問(wèn)題解決。本研究分析比較的是兩版教材中體現(xiàn)分?jǐn)?shù)意義的分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)、分?jǐn)?shù)的理解、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)內(nèi)容，不包括體現(xiàn)分?jǐn)?shù)意義的應(yīng)用的分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算和有關(guān)分?jǐn)?shù)的問(wèn)題解決內(nèi)容。

數(shù)學(xué)內(nèi)容在教材中有兩個(gè)維度值得關(guān)注：首先是概念維度，即數(shù)學(xué)內(nèi)容中的不同概念；其次是模型維度，即表征數(shù)學(xué)概念的不同模型。本研究從概念維度和模型維度，結(jié)合年級(jí)分布（北師大版的12冊(cè)教材中，共有3冊(cè)涉及分?jǐn)?shù)的意義，分別是三年級(jí)上冊(cè)、五年級(jí)上冊(cè)和六年級(jí)上冊(cè)；新加坡版的12冊(cè)教材中，共有5冊(cè)涉及分?jǐn)?shù)的意義，分別是二年級(jí)下冊(cè)、三年級(jí)下冊(cè)、四年級(jí)下冊(cè)、五年級(jí)上冊(cè)和六年級(jí)上冊(cè)）和環(huán)節(jié)分布（將兩版教材的編排劃分為四個(gè)環(huán)節(jié)：主題部分、學(xué)習(xí)部分、活動(dòng)部分和練習(xí)部分。北師大版教材中，目錄頁(yè)上每個(gè)單元的標(biāo)題及標(biāo)題旁的插圖為主題部分；每個(gè)課時(shí)中要求學(xué)生操作、探究的活動(dòng)為活動(dòng)部分，其余為學(xué)習(xí)部分；每個(gè)課時(shí)后的“練一練”和單元“練習(xí)”為練習(xí)部分。新加坡版教材中，單元標(biāo)題頁(yè)為主題部分，每個(gè)課時(shí)中的Before you learn和Hands-on Activity中的Work in groups為活動(dòng)部分，Hands-on Activity中的Try和Chapter Review為練習(xí)部分，其余的Learn為學(xué)習(xí)部分），對(duì)“分?jǐn)?shù)的意義”內(nèi)容進(jìn)行分析比較。

就概念維度而言，不同學(xué)者對(duì)分?jǐn)?shù)的概念有不同的理解。Kieren指出分?jǐn)?shù)具有部分整體概念、度量概念、乘法運(yùn)算子概念、商的概念以及比的概念，并認(rèn)為部分整體概念是學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)，同時(shí)應(yīng)整體、全面地從各種概念難度去理解分?jǐn)?shù)。［4］Hansen將分?jǐn)?shù)的意義分為整體中的部分、集合中的部分、數(shù)線上的數(shù)（兩個(gè)整數(shù)間的數(shù)）、商和比，并認(rèn)為教學(xué)應(yīng)根據(jù)其對(duì)學(xué)生認(rèn)知挑戰(zhàn)的程度，從低到高進(jìn)行。［5］Forrester在Kieren的基礎(chǔ)上增加了等值分?jǐn)?shù)，并說(shuō)明了分?jǐn)?shù)作為算子能使一個(gè)量變大或減小。［6］總體而言，對(duì)分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行整理，主要有整體中的部分意義、度量意義、商意義、比意義以及算子意義。［7］將國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解進(jìn)行整合，可以對(duì)分?jǐn)?shù)的意義做如表1所示的分類和描述。

需要說(shuō)明的是，對(duì)分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行劃分是為了從學(xué)科本質(zhì)上審視教材編排和教學(xué)活動(dòng)，最終目的是讓學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解更為全面和深入，避免因?yàn)樗季S定式造成認(rèn)知障礙，因此，不能孤立地去理解分?jǐn)?shù)的各種意義。［8］事實(shí)上，意義之間也存在著些許重疊，如在“度量”意義中，分?jǐn)?shù)單位是將1平均分得到的，其中的一份就是一個(gè)分?jǐn)?shù)單位，這就涉及“整體中的部分”意義。劃分后的每個(gè)意義強(qiáng)調(diào)其側(cè)重的那一方面，如教材中用類似“五個(gè)三分之一”這樣的語(yǔ)言描述分?jǐn)?shù)，體現(xiàn)出分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)單位的累加這一“度量”意義。另外，“乘法運(yùn)算子”這一意義在分?jǐn)?shù)的乘除計(jì)算中體現(xiàn)，更偏向于程序性知識(shí)，因此在教材比較中，不對(duì)這一意義進(jìn)行編碼。編碼時(shí)，以每個(gè)問(wèn)題為單位，考慮該問(wèn)題側(cè)重傳達(dá)分?jǐn)?shù)的何種意義，進(jìn)行相應(yīng)的編碼；若一個(gè)題目中包含多個(gè)小題，且體現(xiàn)不同的意義，則分別計(jì)數(shù)。

就模型維度而言，Mohan和Tricia指出在分?jǐn)?shù)教學(xué)中常用到的幾個(gè)模型，包括面積模型、離散模型和度量模型。［9］此外，Sitti等人在研究中發(fā)現(xiàn)，數(shù)線對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)有很大的支持作用。據(jù)此，將表征分?jǐn)?shù)的模型分為四類，如表2所示。

面積模型強(qiáng)調(diào)一個(gè)整體被平均分成多份后，涂色部分的大小或其與整體的關(guān)系。離散（集合）模型是指以多個(gè)事物組成的集體為一個(gè)整體，用分?jǐn)?shù)表示其中一個(gè)或多個(gè)與整體的關(guān)系。度量模型側(cè)重分?jǐn)?shù)單位的識(shí)別和累加，即先確定分?jǐn)?shù)單位，再通過(guò)分?jǐn)?shù)單位的累加形成分?jǐn)?shù)。數(shù)線模型可以看成度量模型的進(jìn)一步抽象，同樣強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)單位的識(shí)別，在此基礎(chǔ)上確定分?jǐn)?shù)在數(shù)線上的位置，并將整數(shù)與分?jǐn)?shù)相聯(lián)系。結(jié)合表征分?jǐn)?shù)的模型和分?jǐn)?shù)的意義來(lái)看，面積模型和離散（集合）模型更側(cè)重“整體中的部分”意義，度量模型和數(shù)線模型更側(cè)重“度量”意義。編碼時(shí)，若同一個(gè)問(wèn)題中呈現(xiàn)不同的模型，則分別計(jì)數(shù)；若同一個(gè)問(wèn)題下多次出現(xiàn)某個(gè)類別的模型，則多次計(jì)數(shù)。

二、 研究結(jié)果與分析

（一） 概念維度

兩版教材中分?jǐn)?shù)不同意義的占比如圖1所示?？梢?jiàn)，新加坡版教材中，“整體中的部分”意義和“度量”意義占比較大（分別為33.0％和45.3％），“商”意義占比最?。▋H為9.4％）；北師大版教材則將重點(diǎn)放在“整體中的部分”意義上（占62.0％），相對(duì)忽視了“度量”意義（僅占15.0％）。

兩版教材中分?jǐn)?shù)不同意義的年級(jí)分布如下頁(yè)表3所示。

可見(jiàn)，新加坡版教材中，“整體中的部分”意義集中于二、三年級(jí)，四至六年級(jí)雖然也有涉及，但是明顯減少。另外，在二年級(jí)剛接觸分?jǐn)?shù)時(shí)，新加坡版教材就開(kāi)始向?qū)W生滲透“度量”意義，且從二年級(jí)到四年級(jí)越來(lái)越多，直至四年級(jí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)。五年級(jí)開(kāi)始介紹“商”意義，但是“商”意義占比最小，六年級(jí)便不再繼續(xù)滲透和應(yīng)用?！氨取币饬x集中于六年級(jí)：此前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生處理的對(duì)象僅限于一個(gè)；而六年級(jí)時(shí)，學(xué)生需要用分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，并用分?jǐn)?shù)表示比值，同時(shí)需要識(shí)別分子和分母分別代表哪個(gè)量。由此推測(cè)，在新加坡版教材編寫(xiě)者看來(lái)，學(xué)生對(duì)“整體中的部分”意義和“度量”意義的理解是并駕齊驅(qū)的，“商”意義對(duì)學(xué)生的認(rèn)知能力（特別是抽象能力和聯(lián)系能力）要求較高，“比”意義挑戰(zhàn)性最強(qiáng)。

北師大版教材在三年級(jí)初次引入分?jǐn)?shù)時(shí)，大篇幅集中呈現(xiàn)“整體中的部分”意義。到五年級(jí)，介紹“度量”意義；同時(shí)，“整體中的部分”意義還在延續(xù)，且數(shù)量接近“度量”意義的兩倍?！吧獭币饬x安排在五年級(jí)，但所占篇幅同樣很小，且只用一個(gè)字母式表示分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。另外，在五年級(jí)雖然沒(méi)有明確介紹“比”意義，但是能在一些練習(xí)中發(fā)現(xiàn)“比”意義，即用分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)量之間的關(guān)系，如“山娃家一共養(yǎng)了6只羊，8只鴨子，20只兔子，羊的只數(shù)是鴨子的幾分之幾？羊的只數(shù)是兔子的幾分之幾？”。真正介紹“比”意義是在六年級(jí)，但更多的是用分?jǐn)?shù)表示比值，用分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)比值?？梢?jiàn)，北師大版教材著重于“整體中的部分”意義，在“比”意義方面更關(guān)注分?jǐn)?shù)表示、化簡(jiǎn)比的程序性作用。

兩版教材中分?jǐn)?shù)不同意義的環(huán)節(jié)分布如表4所示。從中也能看出兩版教材對(duì)分?jǐn)?shù)不同意義的重視程度。新加坡版教材明顯體現(xiàn)出主題部分的引導(dǎo)作用，每一單元的主題頁(yè)中都有說(shuō)明性的單元大觀念及課時(shí)安排，重點(diǎn)突出，階段明確；同時(shí)，單元內(nèi)每一個(gè)環(huán)節(jié)集中體現(xiàn)的意義與主題頁(yè)呈現(xiàn)的意義相符。此外，學(xué)習(xí)部分和活動(dòng)部分是新加坡版教材體現(xiàn)分?jǐn)?shù)意義的主要環(huán)節(jié)，而學(xué)習(xí)部分和練習(xí)部分是北師大版教材體現(xiàn)分?jǐn)?shù)意義的主要環(huán)節(jié)。

（二） 模型維度

兩版教材中表征分?jǐn)?shù)不同模型的占比如圖2所示。新加坡版教材中，面積模型與度量模型占比相近，都接近50％，離散模型和數(shù)線模型占比很小。可見(jiàn)，它更偏向于運(yùn)用連續(xù)量的平均分模型幫助學(xué)生理解部分與整體之間的關(guān)系——只于四年級(jí)用分?jǐn)?shù)表示一個(gè)集體中的一部分時(shí)采用離散模型；更多采用度量模型幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)單位的累加——雖在三、四年級(jí)將度量模型進(jìn)一步抽象成數(shù)線模型，要求學(xué)生將分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)到數(shù)線上的點(diǎn)，但是數(shù)線模型出現(xiàn)的頻次相比于度量模型少得多。北師大版教材中，面積模型占比最大（為63.3％），離散模型其次，而度量模型和數(shù)線模型占比非常小。其中，度量模型和數(shù)線模型占比基本持平，而離散模型、度量模型、數(shù)線模型的總占比遠(yuǎn)低于面積模型的占比。

圖2

兩版教材中表征分?jǐn)?shù)不同模型的年級(jí)分布如表5所示。可見(jiàn)，新加坡版教材中，面積模型在二、三年級(jí)占比最高，度量模型在三、四年級(jí)占比最高；三年級(jí)是轉(zhuǎn)折點(diǎn)，度量模型

的應(yīng)用遠(yuǎn)高于面積模型；度量模型貫穿學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的整個(gè)階段。北師大版教材在三年級(jí)呈現(xiàn)面積模型和離散模型，并以面積模型為主；五年級(jí)時(shí)面積模型的數(shù)量減少，離散模型的數(shù)量基本不變，且面積模型和離散模型的總和接近度量模型和數(shù)線模型總和的三倍。

兩版教材中表征分?jǐn)?shù)不同模型的環(huán)節(jié)分布如下頁(yè)表6所示。橫向看，新加坡版教材重視面積模型和度量模型，在主題部分和活動(dòng)部分更多地采用面積模型，在學(xué)習(xí)部分和練習(xí)部分更多地采用度量模型，而離散模型和數(shù)線模型較少；北師大版教材不論在學(xué)習(xí)部分、活動(dòng)部分還是練習(xí)部分，都使用大量的面積模型?？v向看，新加坡版教材在學(xué)習(xí)部分和活動(dòng)部分使用的模型數(shù)量都大于或接近練習(xí)部分；而北師大版教材中的模型更多地體現(xiàn)于練習(xí)部分，即通過(guò)題目呈現(xiàn)模型。

三、 研究結(jié)論

綜合上述兩個(gè)維度的研究結(jié)果，可以得到兩版教材比較研究的結(jié)論：

（一） 共同點(diǎn)：兩版教材中“分?jǐn)?shù)的意義”內(nèi)容的編排和呈現(xiàn)基本符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平

兩版教材初次引入分?jǐn)?shù)時(shí)，都采用“整體中的部分”這一意義，引導(dǎo)學(xué)生從部分與整體關(guān)系的角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。體現(xiàn)“整體中的部分”意義的“平均分”情境在生活中非常常見(jiàn)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)挑戰(zhàn)較小。以此引入，符合學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)的規(guī)律，同時(shí)能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，支撐學(xué)生直觀地理解分?jǐn)?shù)。

此外，在學(xué)生初次接觸分?jǐn)?shù)的二、三年級(jí)，兩版教材都利用大量的表征模型，結(jié)合大量的生活情境，幫助學(xué)生順利地認(rèn)識(shí)這一相對(duì)整數(shù)來(lái)說(shuō)較為“奇怪”的數(shù)的意義，比如讓學(xué)生將代表一塊比薩的圓平均分成4份，得到1份就是14塊比薩，也是整塊比薩的14。學(xué)生在操作圖形的過(guò)程中與分?jǐn)?shù)的意義相聯(lián)系，順應(yīng)具體形象的認(rèn)知發(fā)展水平。而在五年級(jí)學(xué)習(xí)“商”意義、六年級(jí)學(xué)習(xí)“比”意義時(shí)，兩版教材中表征模型的呈現(xiàn)次數(shù)都顯著減少，特別是在學(xué)習(xí)“商”意義時(shí)。其原因可能與五、六年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平向形式運(yùn)算階段過(guò)渡，抽象概括、想象能力進(jìn)一步發(fā)展有關(guān)，也可能與將整數(shù)除法算式寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式這一較為程序性的操作有關(guān)。

（二） 不同點(diǎn)：新加坡版教材運(yùn)用大量度量模型突出分?jǐn)?shù)的“度量”意義，北師大版教材運(yùn)用大量面積模型突出分?jǐn)?shù)的“整體中的部分”意義

新加坡版教材十分重視“度量”意義，從“整體中的部分”意義引入分?jǐn)?shù)后，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的第二階段就將“度量”意義放在主要位置。編排上，一方面，體現(xiàn)分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的連續(xù)性，即從二年級(jí)開(kāi)始，每個(gè)年級(jí)都有分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，且不同年級(jí)有不同的側(cè)重點(diǎn)；另一方面，體現(xiàn)“度量”意義教學(xué)的一貫性，即二年級(jí)以“整體中的部分”意義為主，同時(shí)伴有“度量”意義的認(rèn)識(shí)，此后每個(gè)年級(jí)都將“度量”意義的理解和運(yùn)用滲透到學(xué)習(xí)內(nèi)容中。另外，新加坡版教材使用了大量的表征模型（總數(shù)接近北師大版教材的兩倍），即格外重視幾何直觀對(duì)學(xué)生思維的支持作用。同時(shí)，教材中的活動(dòng)部分和學(xué)習(xí)部分通常與表征模型相結(jié)合，幫助學(xué)生在活動(dòng)中建構(gòu)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，理解分?jǐn)?shù)的意義。在四種表征模型中，使用最多的是度量模型，它不僅貫穿學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的整個(gè)階段，還在三、四年級(jí)占主體地位。

北師大版教材偏好通過(guò)“整體中的部分”意義幫助學(xué)生在不同階段理解分?jǐn)?shù)，在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的三個(gè)階段，幾乎都將“整體中的部分”意義置于關(guān)鍵位置。這一做法在初學(xué)分?jǐn)?shù)時(shí)，能夠讓學(xué)生快速地建立“平均分”情境，更容易接受和理解分?jǐn)?shù)；但在后期學(xué)習(xí)假分?jǐn)?shù)及分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系時(shí)，則容易造成學(xué)生的認(rèn)知障礙。此外，北師大版教材更多地使用面積模型和離散模型，因此，學(xué)生會(huì)對(duì)“整體中的部分”意義掌握得較好。同時(shí)必須注意到，教材運(yùn)用的表征模型數(shù)量較少，常常使用單一的文字語(yǔ)言描述問(wèn)題及其情境，且學(xué)生的實(shí)際操作活動(dòng)較少，這就要求學(xué)生具備較高的抽象能力，才能理解分?jǐn)?shù)的意義、解決問(wèn)題。特別是六年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)“比”意義時(shí)，幾乎不采用表征模型引導(dǎo)學(xué)生直觀地體會(huì)兩個(gè)量的關(guān)系，這會(huì)使原本就抽象的分?jǐn)?shù)放到問(wèn)題情境中時(shí)更加抽象和難以理解。

值得一提的是，新加坡版教材很好地體現(xiàn)了目標(biāo)導(dǎo)向作用，每個(gè)單元起始都有能夠體現(xiàn)本單元核心內(nèi)容和目標(biāo)的主題頁(yè)，其中的大觀念即本單元的核心目標(biāo)。如二年級(jí)分?jǐn)?shù)單元主題頁(yè)中的大觀念為“分?jǐn)?shù)可以用來(lái)描述平均分的部分是如何與整體相聯(lián)系的”，這表明本單元中分?jǐn)?shù)的“整體中的部分”意義是重點(diǎn)。相比之下，北師大版教材缺乏能夠引領(lǐng)整個(gè)單元的大觀念，如五年級(jí)同時(shí)呈現(xiàn)了“整體中的部分”“度量”“商”“比”四種意義，但可惜的是，無(wú)論是“度量”“商”還是“比”意義，都沒(méi)能在新一個(gè)階段取得主角的地位。

四、 教學(xué)建議

基于上述研究結(jié)論，可以得到關(guān)于“分?jǐn)?shù)的意義”內(nèi)容的教學(xué)建議（從某種角度看，也是對(duì)我國(guó)教材修訂的建議）：

（一） 明確分?jǐn)?shù)的多種意義，重視“度量”意義

分?jǐn)?shù)的意義內(nèi)涵豐富，將其分類并明確表述，學(xué)生才能對(duì)分?jǐn)?shù)有更為全面的理解，以避免只關(guān)注“整體中的部分”意義這一隅，導(dǎo)致無(wú)法延續(xù)后面假分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的學(xué)習(xí)。同時(shí)，需要考慮分?jǐn)?shù)的各種意義及其聯(lián)系在年級(jí)上的合理分布，盡可能在每一學(xué)年都讓學(xué)生見(jiàn)到“熟悉”的分?jǐn)?shù)，通過(guò)更有連續(xù)性的學(xué)習(xí)幫助學(xué)生螺旋式上升地理解較為抽象的分?jǐn)?shù)。

可以認(rèn)為，“度量”意義是最能夠體現(xiàn)分?jǐn)?shù)作為數(shù)的本質(zhì)的意義，在學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)起貫通作用。例如，假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)就可以由“度量”自然地過(guò)渡，用14作為單位量，量3次有3個(gè)14，就是34，量5次有5個(gè)14，就是54。因此，教師需要認(rèn)識(shí)到“度量”意義在學(xué)生后續(xù)分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中的解釋作用，在教學(xué)中提升“度量”意義在所有意義中的比重，并且讓“度量”意義貫穿學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的整個(gè)階段。

教學(xué)時(shí)，為了厘清分?jǐn)?shù)的多種意義，需要把握每種意義的學(xué)習(xí)目標(biāo)和核心。比如，“整體中的部分”意義的學(xué)習(xí)目標(biāo)是理解平均分的部分與整體的關(guān)系，其核心是將分?jǐn)?shù)的表示與平均分后取份數(shù)的過(guò)程相對(duì)應(yīng)；“度量”意義的學(xué)習(xí)目標(biāo)是理解分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)在數(shù)本質(zhì)上的一致性，其核心是分?jǐn)?shù)單位累加得到分?jǐn)?shù)；“商”意義是分?jǐn)?shù)的真正來(lái)源［10］，即分?jǐn)?shù)源于兩個(gè)整數(shù)相除不能得到整數(shù)時(shí)數(shù)系擴(kuò)充的需要，其核心是理解整數(shù)除法可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的原因，不能只是簡(jiǎn)單地將整數(shù)除法中的被除數(shù)和除數(shù)與分?jǐn)?shù)的分子和分母相對(duì)應(yīng)。此外，當(dāng)“整體中的部分”意義過(guò)渡到“度量”意義后，就應(yīng)常用“度量”意義來(lái)建構(gòu)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的深刻理解。如學(xué)習(xí)“商”意義，即為什么a除以b可以寫(xiě)成ab，可以做如下解釋：a除以b也就是將a中每個(gè)1除以b，則1b就是一個(gè)單位，一共有a個(gè)，就是ab。

（二） 豐富分?jǐn)?shù)的表征模型，增加度量模型

在現(xiàn)實(shí)中，不少學(xué)生無(wú)法利用圖示表征分?jǐn)?shù)問(wèn)題，特別是六年級(jí)分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)量之比時(shí)；此外，有學(xué)生能運(yùn)用運(yùn)算法則或解題技巧快速進(jìn)行分?jǐn)?shù)計(jì)算和問(wèn)題解決，卻無(wú)法說(shuō)明為什么要這樣算，為什么能這樣算。小學(xué)高年級(jí)學(xué)生的思維雖然逐漸向抽象水平發(fā)展，但是仍然以具體形象思維為主導(dǎo)，因此，面對(duì)抽象的分?jǐn)?shù)問(wèn)題，仍然需要直觀模型來(lái)輔助。對(duì)此，教師首先需要呈現(xiàn)大量的直觀模型，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用豐富的表征模型理解分?jǐn)?shù)的多種意義。

通常，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”，即“整體中的部分”意義時(shí)，教師會(huì)選擇大量的面積模型來(lái)幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)。這種方式到了學(xué)習(xí)假分?jǐn)?shù)等內(nèi)容時(shí)，便有可能成為學(xué)生理解的阻礙。對(duì)此，后續(xù)教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，教師應(yīng)該更多地選取度量模型，通過(guò)分?jǐn)?shù)單位向?qū)W生呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)，從而幫助學(xué)生跳脫出“平均分”情境，從數(shù)的一致性上理解分?jǐn)?shù)。在此基礎(chǔ)上，還要逐步地過(guò)渡到更為抽象的數(shù)線模型，從而幫助學(xué)生真正理解分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)的一致性，對(duì)數(shù)系有更完整的理解。

當(dāng)然，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的不同表征反應(yīng)了其對(duì)分?jǐn)?shù)意義理解的水平層次。因此，在重視度量模型和數(shù)線模型的同時(shí)，也要關(guān)注表征的豐富性，從分?jǐn)?shù)意義的不同方面理解分?jǐn)?shù)，解決問(wèn)題。例如，教學(xué)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時(shí)，既可用面積模型，從部分與整體關(guān)系的視角解釋，也可用度量模型，從分?jǐn)?shù)單位的視角解釋。

（三） 突出單元的核心目標(biāo)，引領(lǐng)課時(shí)學(xué)習(xí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了“整體把握教學(xué)內(nèi)容”“重視單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)”的建議。為此，明確單元核心目標(biāo)尤為關(guān)鍵。明晰了分?jǐn)?shù)的多種意義后，教師可以對(duì)各種意義做整體思考和規(guī)劃，在每個(gè)單元的教學(xué)中突出核心目標(biāo)，從而引領(lǐng)課時(shí)教學(xué)的方向。具體地，首先要以整體化的視角審視單元知識(shí)之間以及當(dāng)前階段知識(shí)與下一階段知識(shí)之間的聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上將核心目標(biāo)分解成具體的可評(píng)價(jià)的表現(xiàn)性目標(biāo)，即達(dá)成這一目標(biāo)時(shí)學(xué)生需要有什么樣的表現(xiàn)，然后便可以設(shè)計(jì)出與目標(biāo)相對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，包括探究經(jīng)驗(yàn)、互動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、游戲經(jīng)驗(yàn)等，都是其自主建構(gòu)知識(shí)的豐富土壤。在單元核心目標(biāo)的引領(lǐng)下，可以設(shè)計(jì)豐富多樣的學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)踐、探究、體驗(yàn)、合作、交流中感悟分?jǐn)?shù)的基本思想，積累關(guān)于分?jǐn)?shù)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而促進(jìn)學(xué)生全面、深刻地理解分?jǐn)?shù)。比如，在“度量”意義的教學(xué)中，設(shè)計(jì)度量活動(dòng)讓學(xué)生重走古人之路：以1張紙條為單位來(lái)測(cè)量物體的長(zhǎng)度，當(dāng)不能剛好用“幾張紙條”來(lái)表示物體的長(zhǎng)度，且紙條太長(zhǎng)時(shí)，將紙條對(duì)折，產(chǎn)生幾分之一的分?jǐn)?shù)做測(cè)量單位，得到測(cè)量結(jié)果。再如，設(shè)計(jì)將分?jǐn)?shù)大小比較與撲克牌游戲相結(jié)合的活動(dòng)、找朋友合成“1”的活動(dòng)等。

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（俞人靖，浙江省嘉興市實(shí)驗(yàn)小學(xué)。章勤瓊，福建師范大學(xué)教育學(xué)院，教授，博士生導(dǎo)師。）