一類帶有奇異項和臨界增長的Schrdinger-Possion次橢圓方程正解的存在性

朱怡穎，索洪敏*，安育成, 張 鵬

(1.貴州民族大學 數據科學與信息工程學院,貴州 貴陽 550025；2.貴州工程應用技術學院 理學院,貴州 畢節 551700；3.遵義師范學院 數學學院，貴州 遵義 563006)

一、引言和主要結果

文中我們在Heisenberg 群上考慮具有奇異和臨界增長的Schr?dinger-Possion 系統

Loiudice在文獻[2]中考慮了如下的次橢圓方程

最近, Heisenberg 群上的微分方程的研究已經引起了許多學者的關注. 這是因為Heisenberg 群在力學,復變量,調和分析和偏微分方程中扮演了一個重要的角色,參見文獻[7-10,13,14].

特別地, 在文獻[1]中,An 等人在Heisenberg 群上研究了以下的Schr?dinger-Possion 型系統

值得一提的是,在文獻[21]中An 考慮了下列的奇異次橢圓方程

二、預備知識

本節介紹Heisenberg 群的相關知識, 更完整的敘述可以參見文獻[15,16].記是拓撲維度為3 的Heisenberg Lie 群,即以R3作為背景流形的Lie 群,賦予如下運算法則

這里

其中

這里

左不變向量場的Lie 代數由以下向量場生成

在H1上的左不變距離dH定義如下

由文獻[22]知函數

是方程

的正解.設r0是一個固定的正常數,使得,設

令

在證明定理1.1 之前,我們先回顧以下引理.

引理2.1[1]對每一個,存在唯一解滿足

且有

(5)設是函數并且對任意的

設

令

并且

由上可得

設,有

使得

并且

從(2.4)和(2.5)可得

另一方面,通過(2.6),有

引理2.3 泛函I 在N 中是強制的并且是有下界的.

使得

證明:證明的方法與文獻[20]的引理3.1 相似,下面給出證明.

成立.這里

由(2.8)式,有

并且

通過(2.14)式和Brézis-Lieb 引理可以得出

由Sobolev 不等式,有

一方面,通過(2.16)式和Young 不等式,得出

另一方面, 通過Brézis-Lieb 引理和(2.16)式, 有下式

由Fatou 引理,有

此外

系統1.1 存在第二個正解

證明：由[1]可知

可得

這里

由[1],有

設

有

使得

因此