從一題多解中探尋一般規律
——由2019年全國卷Ⅱ文科第12題引發的思考

甘肅

焦永垚

(作者單位：甘肅省蘭州市第六中學)

2019年全國卷Ⅰ和全國卷Ⅱ中的小題壓軸題都考到了雙曲線的知識，全國卷Ⅰ理科第16題和全國卷Ⅱ文科第12題從表面上看似乎沒有聯系，但是經過深入挖掘會從全國卷Ⅱ文科第12題的一些解法中發現一般性的結論，并且用此結論可以解決全國卷Ⅰ理科第16題.本文將通過對這兩道題的多解探尋總結出解決高考圓錐曲線小題的一般方法，讓學生輕松突破解決這類問題的思維瓶頸.

一、題目

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2018年1月，《普通高中數學課程標準(2017年版)》正式發布，其中提出數學六大核心素養，并界定了數學核心素養的含義，本題就是邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學核心素養的具體體現.

從上述解法可以看出，解法1是通法，而由解法2和解法3可以得出以下重要的結論.

(1)直線PQ為雙曲線的準線；

(2)點P,Q在雙曲線的漸近線上.

再來看2019年全國卷Ⅰ理科第16題，雖然表面上看與2019年全國卷Ⅱ文科第12題沒有關系，但是經過挖掘可以發現，這兩道題有著本質的聯系，并且該題可以應用上述結論來解決.

【點評】有意思的是從解法2中可以發現，點B恰好是直線x=±a,y=±b所圍成的矩形的頂點.另外，直接運用向量的坐標運算也是解決本題的通性通法.

教師應該把教學的重心放到探索問題的過程上，放在揭示問題蘊含的規律上，讓學生通過對問題的感知、概括、應用，去發現和掌握規律.上述兩道高考題及所蘊含的規律就是這一過程的具體體現.通過進一步挖掘我們還可以找到上述問題的源頭.

二、追本溯源

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A.30° B.45°

C.60° D.90°

答案：D

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A.2 B.3

答案：C