基于核心素養的高考立體幾何試題分析及教學啟示

廣東

潘敬貞 駱妃景

(作者單位：廣東省汕頭市澄海華僑中學 廣東省東莞市麻涌中學)

2017年新課程標準發布征求意見稿，2018年1月正式頒布《普通高中數學課程標準(2017年版)》.隨著新課標的修訂與頒布，高考命題也發生了微妙的變化，試題的立意逐漸由能力立意轉向了核心素養立意.基于核心素養的高考試題分析，對了解高考命題動向，領會課改精神，把握高考脈搏，提高備考效率等具有重要意義.本文通過對近三年(2017-2019年)高考全國卷文理科共18套試卷中的立體幾何試題命題進行分析，提出對今后復習備考有效的建議，希望對新一輪基于核心素養的立體幾何高考復習有所裨益.

1 試題內容分析

1.1 考點分析

2017-2019年高考全國卷文理科數學共18套試卷的選擇題、填空題和解答題中的立體幾何考點分析如下表所示.

試卷題號分值考查問題題型難度2017年全國卷Ⅰ文6,16,1822線面位置關系;多面體外接球的表面積;面面垂直的證明,已知四棱錐的體積求側面積1道選擇題,1道填空題,1道解答題6題易16題難18題中理7,16,1822組合體的三視圖,梯形面積;三棱錐的體積最值;面面垂直的證明,二面角1道選擇題,1道填空題,1道解答題7題易16題難18題中2017年全國卷Ⅱ文6,15,1822殘缺體的三視圖、體積;多面體外接球的表面積;線面平行的證明,四棱錐的體積1道選擇題,1道填空題,1道解答題6題易15題中18題中理4,10,1922殘缺體的三視圖、體積;異面直線夾角;線面平行的證明,二面角2道選擇題,1道解答題4題易10題中19題中

續表

續表

1.2 試題特點分析

從題型、題量上看：近三年高考全國卷的立體幾何題仍保持了高考對立體幾何題型的考查形式，包括選擇題、填空題及解答題三種.多數試卷以“二小一大”為主，偶爾有“一小一大”，分值在17～27分之間，約占總分值的11%～18%，與新課標要求的課時比例基本吻合.

從知識點分布上看：選填題以考查點、線、面位置關系，求體積和面積為主，部分試題滲透數學文化、實際背景以及在知識交匯處命題，突出試題的思想性和知識點的實際應用價值，聚焦核心素養，考查學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算和數學抽象等核心素養.另外2019年全國卷6套試卷均未考查三視圖，這與新課改中要求刪除三視圖有一定關系，但2020年高考的命題仍按老課標與老教材進行命題，沒有任何信息表明2020年高考不考三視圖，因此在備考時一定要注意.立體幾何解答題一般位于解答題的第二題左右的位置，題型比較常規，第一小問重點考查線線、線面和面面的位置關系的證明，理科第二小問主要考查空間角，文科第二小問主要考查求錐體的體積和面積等問題，要求學生的基本概念要清晰，并且具備一定的運算能力.

從難度上看：選填題以容易題和中檔題為主，也有壓軸題，比如2019年卷Ⅰ理科第12題，2018年卷Ⅰ理科第12題，2017年卷Ⅰ理科第16題，解答題基本以中檔題為主.

其他方面：文科試題難度整體比理科試題難度要低一些，這與當下文理科生的實際情況相符，但是文理科同題的趨勢越加明顯.從具體內容上看，選填題基本屬于文理同題，解答題文科不考二面角，但文理試題的背景基本相同，這也說明文理科試題在內容上的差異越來越小.從素養考查角度來看，文理科沒有明顯差異.這說明立體幾何試題為高考不分科做了積極的探索.

1.3 考查問題分析

立體幾何題一般都是研究確定幾何圖形的問題，解決立體幾何問題關鍵是要抓住幾何圖形的本質，即一個圖形由幾個基本元素確定，要弄清楚確定這些圖形有哪幾個基本元素，根據已知的基本元素去尋找(作圖或求解)其他的基本元素，在此基礎上解決與基本問題有關的具體問題(位置關系或數量關系).

經過分析可知，選擇題與填空題常考查以下幾方面的問題：一是分析幾何體中的線面位置關系和求數量關系，主要情形有：已知一個球及其內接或外切的幾何圖形求其中的數量關系和已知一個多面體中的位置或數量關系求其他的數量關系；二是根據某幾何體的三視圖猜想其幾何特征并求該幾何體的某個數量關系，主要情形有：給出幾何體的三視圖，通過看圖、想圖或畫圖得到其直觀圖，以此確定其幾何特征并求其有關數量.而且這類問題主要考查由三視圖得到直觀圖的空間想象能力；其次是根據三視圖的條件確定直觀圖所表示的幾何體的幾何特征；計算量要求很低，一般是求幾何體本身的能反映其幾何特征的量，并且只要求代公式直接求值.

解答題常考查證明和求解其他線面位置關系和數量關系，主要情形有：一是通過推理、計算、證明和求解將已知的幾何體的部分線面位置關系及數量關系轉化為所求的線面位置關系和數量關系，具體呈現為：證明異面直線垂直、線面垂直、面面垂直、線面平行和面面平行，求幾何體的體積、表面積和點到面的距離等；二是通過建立空間直角坐標系，利用向量運算求幾何體中的空間數量關系.

1.4 試題立意分析

《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確提出六大數學核心素養，包括數學運算、數據分析、直觀想象、邏輯推理、數學抽象和數學建模.高考命題也隨之發生了微妙的變化，試題立意也逐漸從能力立意向核心素養立意轉變.試題凸顯以基本知識為載體，考查學生核心素養.近三年高考立體幾何試題主要以立體幾何基本概念、基本知識和基本幾何體為載體，通過考查學生想圖、畫圖和用圖的過程，考查學生的直觀想象與數學抽象核心素養，通過判斷或證明點、線、面的幾何元素的位置關系，考查學生邏輯推理核心素養，通過求線面的數量關系，考查學生數學運算等核心素養.由于選擇題與填空題不給幾何圖形，考生必須通過想圖、畫圖或用圖等一系列過程方可順利解決有關問題，這樣可以更好地考查學生的直觀想象與數學抽象等核心素養，由于解答題受到已知圖形的限制，因此解答題更側重于考查學生的邏輯推理、數學運算與數學建模等核心素養.當然，有的試題也有較強的綜合性，同一道試題既考查數學抽象和邏輯推理核心素養，又考查數學運算核心素養.

2 高考動向透視

2.1 分析幾何體中的位置關系

例1.(2017·全國卷Ⅰ文·6)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是

( )

A

B

C

D

答案：A.

【評析】本題以學生熟悉的基本的幾何體(正方體)為載體，判斷線面平行關系，本道試題難度不大，只需掌握正方體的基本概念與性質，由線面平行的判定定理即可快速得出答案，突出試題的基礎性.

例2.(2019·全國卷Ⅱ·文7理7)設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是

( )

A.α內有無數條直線與β平行

B.α內有兩條相交直線與β平行

C.α，β平行于同一條直線

D.α，β垂直于同一平面

答案：B.

【評析】本題結合充要條件考查面面位置關系，由于沒有已知圖形，也不需要運算，考生全憑立體幾何的基本知識通過想象解決問題，主要考查學生運用直觀感知、推理論證解決立體幾何問題的關鍵能力，突出考查學生直觀想象與數學抽象等核心素養.

例3.(2019·全國卷Ⅲ·文8理8)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則

( )

A.BM=EN，且直線BM，EN是相交直線

B.BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線

C.BM=EN，且直線BM，EN是異面直線

D.BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線

答案：B.

【評析】割補法是立體幾何中的重要思想方法，如能將該幾何體補全成長方體更有利于問題的解決.本題考查學生處理問題的基本能力，考查學生直觀想象與數學運算等核心素養.

2.2 分析幾何體中的幾何關系并求其中的數量關系

2.2.1 已知一個球及其內接或外切的幾何圖形求其中的數量關系

多面體與球的切接問題是考查球與多面體的交匯點，由于試題沒有已知圖形，需要考生通過想圖和畫圖，尋求點、線、面的位置關系與數量關系，主要考查學生直觀想象、數學抽象、數學建模和數學運算等核心素養.

例4.(2017·全國卷Ⅰ文·16)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________.

答案：36π.

【評析】解決本題的關鍵是求球的半徑，首先要想圖、畫圖，確定球心的位置，再根據幾何關系建立三棱錐與外接球的數量關系，最終解出球的半徑.主要考查學生直觀想象、數學抽象、數學建模和數學運算等核心素養.

( )

答案：B.

【評析】解答本題，首先是想圖和畫圖，再分析體積表達式中不變的量是三棱錐底面的面積，變量只有三棱錐的高，即三棱錐高的最大值是球心到底面的距離加上球的半徑，進而將問題轉化為求球心到截面的距離，構造直角三角形易得其解.主要考查學生直觀想象、數學抽象、數學建模和數學運算等核心素養.

例6.(2019·全國卷Ⅰ理·12)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為

( )

答案：D.

【評析】解決本題，首先要畫圖，分析并確定球心的位置，再根據幾何關系建立三棱錐與外接球的數量關系，最終解出球的半徑.主要考查學生直觀想象、數學抽象、數學建模和數學運算等核心素養.

2.2.2 已知一個多面體中的位置或數量關系求其他的數量關系

例7.(2017·全國卷Ⅱ理·10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為

( )

答案：C.

【評析】解決本題，首先畫圖，并把三棱柱補成四棱柱，再找異面直線AB1與BC1所成的角，最后通過運算解決問題.主要考查學生直觀想象、數學建模和數學運算等核心素養.

例8.(2018·全國卷Ⅰ文·10)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為

( )

答案：C.

【評析】本題以長方體為載體，考查線面夾角的概念，建立關于線面夾角的數學模型，求出長方體的棱長從而求出長方體的體積.主要考查學生直觀想象、數學建模和數學運算等核心素養.

例9.(2017·全國卷Ⅰ理·16)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________.

【評析】本題主要結合導數工具求三棱錐體積的最大值，首先要分析數量關系，建立關于體積的數學模型，再利用導數工具進行解決.本題具有一定的綜合性、靈活性和創新性，主要考查學生直觀想象、數學抽象、數學建模和數學運算等核心素養.

例10.(2019·全國卷Ⅱ·文16理16)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖2是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個面，其棱長為________.(本題第一空2分，第二空3分.)

圖1

圖2

【評析】滲透數學文化既可以體現學科育人價值，又可以傳承和弘揚中國優秀傳統文化，還可以讓學生逐漸感受到數學的美學價值和實際應用價值，發展學生的情感態度價值觀；更重要的是在整個思考并解決問題的過程中，可考查和發展學生的數學抽象、直觀想象和數學建模等核心素養.

2.3 根據某幾何體的三視圖猜想其幾何特征并求該幾何體的某個數量關系

例11.(2017·全國卷Ⅰ理·7)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為

( )

A.10 B.12

C.14 D.16

答案：B.

例12.(2017·全國卷Ⅱ·文6理4)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為

( )

A.90π B.63π

C.42π D.36π

答案：B.

【評析】給出幾何體的三視圖，通過看圖、想圖和畫圖得到其直觀圖，以此確定其幾何特征并求其有關數量.這類問題主要考查由三視圖得到直觀圖的空間想象能力；其次是根據三視圖的條件確定直觀圖所表示的幾何體的幾何特征；計算量要求很低，一般是求幾何體本身能反映其幾何特征的量，并且只需代入公式直接求值.主要考查學生直觀想象和數學抽象等核心素養.

2.4 證明和求解其他線面位置關系和數量關系

2.4.1 根據幾何體的部分線面位置關系及數量關系，通過轉化、推理和計算，證明和求解其他線面位置關系和數量關系

例13.(2017·全國卷Ⅰ文·18)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

(Ⅰ)證明：平面PAB⊥平面PAD；

答案：(Ⅰ)證明略.

2.4.2 通過建立空間直角坐標系，利用向量運算求幾何體中的空間數量關系

例14.(2017·全國卷Ⅰ理·18)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

(Ⅰ)證明：平面PAB⊥平面PAD；

(Ⅱ)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.

答案：(Ⅰ)證明略.

例15.(2019·全國卷Ⅰ理·18)如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.

(Ⅰ)證明：MN∥平面C1DE；

(Ⅱ)求二面角A-MA1-N的正弦值.

答案：(Ⅰ)證明略.

例16.(2019·全國卷Ⅰ文·19)如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.

(Ⅰ)證明：MN∥平面C1DE；

(Ⅱ)求點C到平面C1DE的距離.

答案：(Ⅰ)證明略.

【評析】例14考查方式與文科區別在于第(Ⅱ)問考查二面角，屬于常規題型，例15、例16與前幾年相比，第(Ⅰ)問由證明垂直關系改為證明平行關系,體現高考對核心考點命制的覆蓋性，突出主干知識.例15、例16幾何體的選取為規則圖形，以學生較為熟悉的幾何體(直四棱柱)為背景，主要考查直線與平面的平行關系，求二面角的正弦值以及求解點到平面的距離，理科試題起點較低，入口寬，有意識地引導學生利用空間向量坐標運算求解二面角，在建立空間直角坐標系時選擇面廣，不同的學生可能會建立不同的坐標系，給不同學生展開想象的空間，這在一定程度上也體現了高考試題的思想性和方法性.對于文科試題而言，既可以考慮直接找點到平面的垂線段，從而利用平面幾何知識直接求解，還可以考慮學生常用的等體積法求解，甚至可以借助空間直角坐標系用坐標運算實現解題，試題的解答具有一定的基礎性與靈活性.達到考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，考查邏輯推理、直觀想象和數學運算等核心素養的目標.

例17.(2019·全國卷Ⅱ文·17)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.

(Ⅰ)證明：BE⊥平面EB1C1；

(Ⅱ)若AE=A1E，AB=3，求四棱錐E-BB1C1C的體積.

答案：(Ⅰ)證明略.

(Ⅱ)四棱錐E-BB1C1C的體積為18.

例18.(2019·全國卷Ⅱ理·17)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.

(Ⅰ)證明：BE⊥平面EB1C1；

(Ⅱ)若AE=A1E，求二面角B-EC-C1的正弦值.

答案：(Ⅰ)證明略.

【評析】相比例15與例16，例17與例18的幾何體明顯簡單很多，從底面是菱形進一步變為底面是正方形，設問方式從證明線面平行到證明線面垂直，換湯不換藥，出發點都是考查學生對點線面位置關系的理解、應用以及語言表達，屬于學生較為熟悉的問題；文科試題的第(Ⅱ)問要求計算四棱錐的體積，理科試題要求求解二面角的正弦值，都屬于常規問題，題目入口寬有利于學生的解答，注重考查四基與四能，如能用好空間直角坐標系，還可以給試題賦予更優化的解答方法，關鍵看學生如何選擇使用. 建立空間直角坐標系常用的三條途徑:(1)利用圖形中現成的垂直關系建立坐標系，當圖形中有兩兩垂直且交于一點的三條直線時，可以利用這三條直線直接建系；(2)利用圖形中的對稱關系建系，圖形中雖沒有兩兩垂直且交于一點的三條直線，但有一定的對稱關系，可利用對稱關系建立空間直角坐標系，這是建立空間直角坐標系解決立體幾何有關問題的關鍵；(3)利用面面垂直的性質建立坐標系，圖形中有兩個互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性質定理做出兩兩垂直且交于一點的三條直線，建立空間直角坐標系.

3 教學啟示

3.1 重考綱、考題，認準命題方向

高考試題不僅是《考試說明》的具體體現，而且代表著高考考查的方向、深度與廣度.這就要求我們熟悉全國卷的出題模式，歸納總結近幾年的高考試題，并認真分析高考試題中隱含的命題規律，從而把握考點走向、考點命題形式、考點深度、廣度和難度，以及答題技巧等.備考中也應多關注其他地方卷，在對比中找差別、找共性、找聯系，排查出高考的重點和熱點，這樣復習目標更加明確.比如全國卷中客觀題經常考查與球有關的結合體的體積和表面積，文科解答題第二問經常考查棱錐的體積、表面積和側面積.

3.2 重視符號語言的理解與應用

立體幾何涉及文字語言、符號語言和圖形語言，引導學生對三種語言進行熟練轉化.(1)對課本上的定理、公理分別用三種語言表示；(2)對平行、垂直判定方法進行梳理總結，形成系統，分別用三種語言表示；(3)多設計一些命題真假判斷問題，一方面加深學生對定理的理解，另一方面培養學生將文字語言和符號語言轉化為圖形語言的能力；(4)重點復習規則幾何體中的線面位置關系.

3.3 強化學生的空間觀念，注重學生畫圖能力的培養

高考中立體幾何選填題一般都不給圖，而解答題中所給的圖又往往需要添加輔助元素，所以從某種意義上說，作出一個好圖等于題目解決了一半，因此在復習中注重對學生畫圖能力的培養，訓練中要做到(1)會畫——根據題設條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀，虛實要分明；(2)會看——根據題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關線面的位置關系；(3)會用——對圖形進行必要的分解和組合，或對其某部分進行平移、翻折、旋轉、展開或割補等.

3.4 要引導學生養成論據充分，規范解答題解題過程的良好習慣

基礎知識、基本技能、基本方法、基礎練習要到位，解題步驟要規范，注重通性通法，體現“大眾化”.從歷年備考立體幾何解答題的大體情況來看，學生“會而不對，對而不全”的問題比較嚴重，很值得引起我們的重視.因此，在平時的訓練中，我們應當培養學生規范答題的良好習慣.(1)教師要以身作則，規范板書.堅持每節課的板書至少有一個典型例題，不能只講思路，也不能用多媒體演示代替板書過程，將規范解答落到實處；(2)把典型問題的解法總結成程序化的步驟.比如用空間向量解決立體幾何問題的步驟為：合理建系——正確寫出坐標——寫出相關向量——經過向量運算——向量結論——幾何結論；(3)在批閱作業和試卷時不要只看結果，要關注步驟和過程.提出明確的要求，拿出足夠多的時間糾正過程性失誤，以督促學生養成論據充分，規范答題的良好習慣.

3.5 重視題組引領，加強變式訓練，提升基本技能，培育核心素養