芻談“顯性零點(diǎn)”不等式恒成立問(wèn)題的解決策略

福建

陳爾明

(作者單位：福建省福鼎市第一中學(xué))

顯性零點(diǎn)，即通過(guò)觀察可以得到的函數(shù)零點(diǎn).含“顯性零點(diǎn)”的不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中常有出現(xiàn)，這類(lèi)問(wèn)題解決的策略有：(1)分離變量法，此法常伴隨幾個(gè)困難點(diǎn)：一是不易分離或要分類(lèi)才能分離；二是分離完構(gòu)造的新函數(shù)的單調(diào)性不易研究；三是新函數(shù)的單調(diào)性能研究，但最值要利用洛必達(dá)法則才能求出；(2)不分離直接構(gòu)造函數(shù)法，此法多數(shù)需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，對(duì)學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性要求較高，最大的思維障礙在于分類(lèi)點(diǎn)的確立.本文依據(jù)教學(xué)實(shí)踐將上述兩類(lèi)策略有機(jī)融合，提出了“先猜后求”的分析解決策略，既能避免使用洛必達(dá)法則求解造成失分，又能找到分類(lèi)的切入點(diǎn)，希望對(duì)大家有所幫助.

一、“洛必達(dá)法則”先行，進(jìn)而分類(lèi)解題

例1.(2019·全國(guó)卷Ⅰ文·20)已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(Ⅰ)證明：f′(x)在區(qū)間(0，π)存在唯一零點(diǎn)；

(Ⅱ)若x∈[0，π]時(shí)，f(x)≥ax，求a的取值范圍.

解析：(Ⅰ)略.

(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)-ax，即g(x)=2sinx-xcosx-x-ax，則g(x)≥0在[0，π]恒成立，

又g(0)=0，g′(x)=cosx+xsinx-1-a，設(shè)h(x)=g′(x)，則h′(x)=xcosx，

(1)當(dāng)a≤0時(shí)，g′(0)=-a≥0，

若a≤-2，則g′(π)=-2-a≥0，所以g′(x)≥0在x∈[0，π]恒成立，所以g(x)在[0，π]單調(diào)遞增，g(x)≥g(0)=0恒成立；

所以g(x)在[0，x0]單調(diào)遞增，在[x0，π]單調(diào)遞減，又g(0)=0，g(π)=-πa≥0，

所以g(x)≥0恒成立；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，g(π)=-πa<0，不合題意；

綜上所述，a的取值范圍為(-∞，0].

例2.已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax2，g(x)=ax2-ex-a+e(a∈R).

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)當(dāng)x≥1時(shí)，f(x-1)≥g(x)，求a的取值范圍.

(Ⅱ)依題意得lnx+ex-2ax+2a-e≥0在[1，+∞)恒成立，

所以φ′(x)≥φ′(1)=e-1>0，所以φ(x)在[1，+∞)單調(diào)遞增，即h′(x)在[1，+∞)單調(diào)遞增.

例3.(2017·全國(guó)卷Ⅱ文·21)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

(Ⅱ)設(shè)g(x)=(1-x2)ex-ax-1，則g(x)≤0在[0，+∞)恒成立，

又g(0)=0，g′(x)=(1-x2-2x)ex-a，設(shè)h(x)=g′(x)，則h′(x)=(-x2-4x-1)ex，

當(dāng)x∈[0，+∞)時(shí)，h′(x)<0，所以g′(x)單調(diào)遞減，且g′(0)=1-a.

(1)當(dāng)a≥1時(shí)，g′(x)≤g′(0)=1-a≤0，所以g(x)在[0，+∞)單調(diào)遞減，g(x)≤g(0)=0恒成立；

(2)當(dāng)a<1時(shí)，g′(0)=1-a>0，又g′(x)在[0，+∞)單調(diào)遞減，所以存在x0>0，當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，g(x)>g(0)=0，不合題意；

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞).

二、“邊界導(dǎo)數(shù)值”先行，進(jìn)而分類(lèi)解題

有些含“顯性零點(diǎn)”的不等式恒成立問(wèn)題，不易或不能直接分離變量，此時(shí)可以結(jié)合函數(shù)極限情況控制參數(shù)的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的必要條件即邊界導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)預(yù)測(cè)參數(shù)范圍，而后利用所得參數(shù)范圍為分類(lèi)切入點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)解題.

例4.已知函數(shù)f(x)=(x+2)ex.

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

解析：(Ⅰ)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，-3)，單調(diào)遞增區(qū)間為(-3，+∞)(過(guò)程略).

設(shè)g(x)=(x+1)ex-ax-1(x≥0)，則g(x)≥0，g(0)=0，

由(Ⅰ)知g′(x)=(x+2)ex-a在[0，+∞)單調(diào)遞增，且g′(0)=2-a.

當(dāng)0≤a≤2時(shí)，g′(x)≥g′(0)=2-a≥0，所以g(x)在[0，+∞)單調(diào)遞增，g(x)≥g(0)=0恒成立.

當(dāng)a>2時(shí)，g′(0)=2-a<0，又g′(x)在[0，+∞)單調(diào)遞增，所以存在x0>0，使得x∈(0，x0)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，2].

例5.(2015·山東卷理·21)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，其中a∈R.

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

(Ⅱ)若?x>0，f(x)≥0成立，求a的取值范圍.

分析：第(Ⅱ)問(wèn)滿足f(0)=0屬于顯性零點(diǎn)問(wèn)題，若考慮分離變量，需對(duì)x2-x進(jìn)行分類(lèi)，要分01三類(lèi)，較為煩瑣，且未能探求答案.可以利用邊界導(dǎo)數(shù)值法猜答案，f(x)≥0恒成立的一個(gè)必要條件是f′(0)≥0，可得a≤1.又關(guān)注到a<0時(shí)，x→+∞，f(x)→-∞，與f(x)≥0矛盾，故a∈[0，1].

(1)當(dāng)a=0時(shí)，由x>0知，f(x)=ln(x+1)>0恒成立；

所以f′(x)在(0，+∞)單調(diào)遞增，且f′(0)=1-a<0，故存在x0>0，當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)

(4)當(dāng)a<0時(shí)，x→+∞，f(x)→-∞，不合題意；

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，1].