復習中聚焦本質意義關聯中建構模型意識

趙云平

“分數、比、百分數乘除法實際問題”是數學人教版教材六年級上冊中第一、三、四、六單元簡單的分數（比、百分數）乘除法解決問題和稍復雜的分數（比、百分數）乘除法解決問題。對于簡單的分數乘除法解決問題，教材是安排在分數乘除法計算后進行教學的，稍復雜的分數除法解決問題是安排在百分數單元里進行教學的。這幾種題型聯系緊密，但涉及四個單元，且教學時間跨度比較長，對部分學生達到綜合掌握是比較困難的問題。本文以第三學段數學人教版教材六年級上冊分數（比、百分數）乘除法解決問題的復習課為例，將知識點進行關聯、對比和融合，使學生進一步理解分數乘法和除法的意義，對如何在解決問題復習課中引入“數學建模”策略進行探討。讓學生進一步掌握分數乘除法解決問題的結構特點和數量關系，提高解決問題的能力。

一、數形結合，準確分析數量關系

舊知識的呈現、延伸、生長是一節復習課的重要環節，復習課的作用不僅僅是對已學知識的鞏固，更多的是通過整理串聯形成整體的知識網絡體系，激活學生思維的功能。分數（比、百分數）解決問題最大的特點在于描述兩個量的關系，在開課時出示線段圖，尋找兩個量之間的關系，以關鍵句作為復習的引領，引發學生觀察并積極思考，通過數形結合，充分調動學生思維的積極性和主動性，可以幫助學生厘清數量關系，找到復習課的生長點。

師：果園里有60棵蘋果樹和45棵梨樹，根據線段圖，你能用什么方式表示出蘋果樹和梨樹之間的關系？

生1：梨樹是蘋果樹的。

生2：蘋果樹是梨樹的。

生3：蘋果樹比梨樹多。

……

二、聯系對比，聚焦數量本質意義

1.橫向對比，延伸本質

引導學生觀察比較，以線段圖演示數形結合，進一步明晰分數乘除法問題中數量之間的本質聯系，通過單位“1”的辨別與確定，讓學生在觀察中總結出“對應量與單位‘1的量互換位置，分率互為倒數”。同時以每一段量為標準，進行可視化比較，歸納總結出“同一個量在不同的單位‘1中所占的分率不同”。通過這兩種實際問題的認識對比，理解其本質意義，有利于學生溝通知識之間的聯系，形成良好的認知結構，促進學習遷移和知識的融會貫通以及解決問題方法策略的提高。

師：同學們觀察很仔細，通過線段圖找出了很多兩者之間的關系，這節課我們來分類整理歸納蘋果樹與梨樹的關系。

師：梨樹是蘋果樹的，把誰的棵數看作單位“1”？

生：把蘋果樹的棵數看作單位“1”。

師：你是怎么理解“梨樹是蘋果樹的”？

生：就是把60棵蘋果樹看作單位“1”，平均分成4份，梨樹棵數占這樣的三份，所以說梨樹是蘋果樹的。

師：“蘋果樹是梨樹的”你又是怎樣理解的？

生：就是把45棵梨樹看作單位“1”，平均分成3份，蘋果樹棵數占這樣的四份，所以說蘋果樹是梨樹的。

師：你有什么發現？

生：梨樹和蘋果樹的量交換位置時，它們所占分率就互為倒數。

師：所以，確定誰是單位“1”至關重要。對應量與單位“1”的量互換位置，分率互為倒數。

師：誰能舉例說一說“對應量與單位‘1的量互換位置，分率互為倒數”？

生1：我們班男生人數是女生的，女生人數是男生的。

生2：桃樹棵數是梨樹的，梨樹棵數是桃樹的。

生3：甲數是乙數的，乙數是甲數的。

……

師：請同學們觀察，為什么梨樹和蘋果樹相差15棵，所占分率卻不同呢？

生1：因為梨樹比蘋果樹少，是把蘋果樹看作單位“1”;蘋果樹比梨樹多，是把梨樹看作單位“1”，單位“1”不同。

生2：也就是同一個量在不同的單位“1”中，分率是不一樣的。

師：誰能舉例說一說對“同一個量在不同的單位‘1中所占的分率不同”的理解嗎？

生1：比如說，雞的只數比兔的只數多，則兔的只數比雞的只數少。

生2：甲數比乙數少，則乙數比甲數多。

……

2.滲透歸一，總結提升

“求一個數的幾分之幾是多少？”和“求比一個數多或少幾分之幾的數是多少？”在本質意義上是不同的，前者是用單位“1”的量乘對應分率，后者有兩種思路：一種是用單位“1”的量乘相差分率求出相差量，再用單位“1”的量與相差量進行加減，求出未知量;第二種是先求出對應分率，再用單位“1”的量乘對應分率。本環節將數形結合思想深入滲透其中，讓學生通過上述兩類題型本質意義的理解，通過線段圖、解題思路和解題方法的綜合應用，發現“求一個數的幾分之幾是多少？”和“求比一個數多或少幾分之幾的數是多少？”結構不一樣，但解題方法是一樣的。從而建構分數乘除法不同意義、相同解法的“類”的模型，初步建構數學模型意識，鍛煉學生解決問題方法的應用意識和能力。

師：如果我們把60棵蘋果樹棵數看作單位“1”，觀察線段圖，怎樣解答？你是怎么想的？

生1：我們把60棵蘋果樹棵數看作單位“1”，梨樹是蘋果樹的四分之三，求梨樹有多少棵？

生2：也就是求蘋果樹棵數的是多少？列式為：60×=45（棵）。

師：同樣我們把60棵蘋果樹棵數看作單位“1”，“梨樹比蘋果樹少”又應該怎樣解答？

生1：我們把60棵蘋果樹棵數看作單位“1”，梨樹比蘋果樹少，求梨樹有多少棵？

生2：梨樹比蘋果樹少，說明梨樹占蘋果樹的（1-），列式為：60×（1-）=45（棵）。

師：觀察兩幅線段圖，剛才我們解答的兩個問題是相同問題，還是不同問題？

生1：這是不同問題，一個是求一個數的幾分之幾是多少，另一個是求比一個數少幾分之幾是多少。

生2：我不同意你的理解，我認為是相同問題。

生3：梨樹比蘋果樹少，說明梨樹占蘋果樹的（1-）=，最后還是求一個數的幾分之幾是多少。

師：雖然表面上看是求比一個數少幾分之幾是多少，其實也是求一個數的幾分之幾是多少。因為（1-）=，它們最終都是求60的是多少？也就是：60（單位“1”的量）×（對應分率）=（分率對應量）。

3.舉一反三，類比建構

在分數解決問題中，首要關鍵是確定單位“1”。已知單位“1”就是求“一個數的幾分之幾是多少（求對應量）”。未知單位“1”：首先，分率對應量和對應分率都已知，求單位“1”的量，也就是“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”，直接用對應量除以對應分率;其次，已知對應量和相差分率，求單位“1”的量是多少？有兩種思路：一種按照已知單位“1”的量和相差分率，求對應量;第二種思路是先求出對應分率，再用對應量除以對應分率來解答。

在學生已經掌握已知單位“1”，求對應量的基礎上，深入掌握對應量、對應分率和單位“1”的量三者關系時，通過舉一反三，建構數學模型意識解決分數除法的相關問題，求單位“1”的量。舉一反三的方法能幫助學生對各數量之間的關系深入理解和記憶。所以，當我們理解掌握分數的乘法解決問題思路和方法后，就可以將其運用到除法中，反之亦然。舉一反三，我們可以通過類比和對比的方法來加深對分數乘除法解題思路的理解和應用。

師：“蘋果樹是梨樹的”是把梨樹看作單位“1”，梨樹棵數是未知的應該怎樣解答？你有什么發現？

生1：60÷=45（棵）。

生2：梨樹的等于蘋果樹，也就是梨樹的棵數乘等于60，兩個因數的積等于60，求其中一個因數等于積除以另一個因數。

師：“蘋果樹比梨樹多”怎樣解答？你是怎樣想的？

生1：60÷（1+）=45（棵）。

生2：梨樹的（1+）等于蘋果樹，也就是梨樹的棵數乘（1+）等于60，兩個因數的積等于60，求其中一個因數等于積除以另一個因數，所以是45棵。

師：這兩題是相同的問題，還是不同的問題？

生：蘋果樹比梨樹多，說明蘋果樹占梨樹的（1+）=，最后還是已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數。

師：雖然表面上看是已知比一個數多幾分之幾是多少，其實也是已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數，因為（1+）=，他們最終都是求一個數的是60，這個數就等于60÷。

師：你們有什么發現？

生：未知單位“1”的量——用除法解決，用60（分率對應量）÷（對應分率）=（單位“1”的量）。

師：看來同學都很善于觀察并總結，通過比較，解決分數乘法除法問題的關鍵是什么？

生1：找準單位“1”的量。

生2：還要知道單位“1”的量是已知，還是未知？

三、總結延伸，關聯中建構模型意識

分數、比和百分數之間的聯系主要體現在它們都可以用來表示兩個量之間的關系，即它們都可以表示一個數是另一個數的幾分之幾或百分之幾的問題。它們在意義、表示方式上存在區別，但解題思路是相同相通的，學生在學習分數乘法除法、比、百分數各單元知識時，掌握的知識是單一零碎的，達不到深入融合的梯度，難以建立同類知識網絡體系，并形成綜合應用整體知識的能力。只有對各單元知識進行整合分析，將零散的知識串聯，對各類知識點進行歸類對比，引導學生形成新的綜合認知結構，在應用相關知識解決實際問題的基礎上，進一步培養學生分析、比較、抽象、概括、歸納、推理的能力，增強數感，發展數學思維，建構數學模型意識和應用意識。

師：如果把剛才兩類問題中的分率變成百分數，怎樣解答？

生1：解決的方法一樣的。

生2：都是求一個數的幾分之幾（百分之幾）是多少？另外一種是已知一個數的幾分之幾（百分之幾）是多少，求這個數。唯一區別是一種是分數形式表示，另一種是用百分數形式表示。

師：把剛才的問題用比的形式表述，解題思路還一樣嗎？

生：一樣，他們還是表示一個數的幾分之幾是多少。

四、深入探索，關聯中融會貫通

為了幫助學生透徹理解知識點間的關系，發展思維，建構模型意識和實際問題解決的應用意識，練習中設計了三組信息，兩組條件和一組問題，學生根據復習內容，自選條件的問題，自編問題，創造更多問題并解決，幫助學生根據分數解決問題的模型豐富外延，內化模型，融會貫通。通過這個完整層層遞進的建模過程，讓學生緊緊抓住知識的關鍵特征，溝通聯系，從而完善、更新數學認知體系。

師：同學們能根據老師出示的條件和問題，自編題目嗎？

生1：我編的題目是——我們班男生有20人，男生人數是女生的，女生有多少人？女生人數是單位“1”，這題也就是已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數用除法，即20÷=25（人）。

生2：我編的題目是——全班有45人，男生人數占全班人數的，男生有多少人？列式計算：45×=20（人）。

……

小結：在解決分數、比、百分數解決問題時，找單位“1”是關鍵。已知單位“1”的量時就用“單位‘1的量×對應分率=分率對應量”;當未知單位“1”的量時就用“分率對應量÷對應分率=單位‘1的量”。