凸顯統(tǒng)計意義 培養(yǎng)數(shù)據(jù)意識

譚傲菡

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課標》）將百分數(shù)從“數(shù)與代數(shù)”領域調整到“統(tǒng)計與概率”領域，把百分數(shù)作為統(tǒng)計量進行教學。百分數(shù)是兩個數(shù)量倍數(shù)關系的表達，這兩個數(shù)量既可來源于確定數(shù)據(jù)，又可來源于隨機數(shù)據(jù)。前者指百分數(shù)的傳統(tǒng)數(shù)學意義;后者即百分數(shù)的統(tǒng)計意義?！缎抡n標》指出：“要結合具體情境，探索百分數(shù)的意義”“在簡單的實際情境中，應用百分數(shù)，形成數(shù)據(jù)意識和初步的應用意識。”這一新導向的提出，豐富了百分數(shù)的意義，同時改變了百分數(shù)教學的任務與目標，需要在理解百分數(shù)原有算術意義的基礎上，更加凸顯百分數(shù)的統(tǒng)計意義。因此，在百分數(shù)的教學中，為了讓學生更全面地認識和理解百分數(shù)，應該將百分數(shù)放到統(tǒng)計背景中去學習。

一、數(shù)據(jù)分析，體會百分數(shù)產生的必要性

教學中，教師創(chuàng)設推選投籃水平高的學生代表班級參賽的情境，讓學生在課前分析數(shù)據(jù)的過程中感受到僅從投籃“命中次數(shù)”這一個量無法判斷比較，要比較投中次數(shù)與投籃總數(shù)的關系（命中率）才能進行比較，并借助已有經驗，通過計算用小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)來刻畫投籃水平的高低。在此基礎上，利用前測生成資源，引導學生自主探究，進行小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)互化體會百分數(shù)的優(yōu)越性。

【片段一】

師：上周的投籃活動是為了選拔1名同學參加校級投籃比賽。老師帶領大家收集、整理了數(shù)據(jù)并完成了小組初選。我們先來看看，第三小組的推選情況，誰的投籃水平最高？（出示前測中學生推選結果）

生：鄧羽彤。

師：為什么都選他呢？誰能讀懂他是怎么想的？

生1：他是用投中次數(shù)除以投籃總數(shù)，算出得數(shù)（小數(shù)），比較小數(shù)的大小。

生2：他也是用投中次數(shù)除以投籃總數(shù)，算出得數(shù)（分數(shù)），通分后比較大小。

生3：他也是用投中次數(shù)除以投籃總數(shù)，算出得數(shù)（百分數(shù)），比較大小。

師：小數(shù)、分數(shù)是我們學過的，那什么是百分數(shù)呢？有待我們進一步研究。（出示課題）

師：在同學們的作品中，我們看到了小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)都可以表示投中次數(shù)除以投籃總數(shù)的商，那它們的大小一樣嗎？怎么證明？

生板演說明：

師：看來小數(shù)、分數(shù)和百分數(shù)他們之間是有聯(lián)系的。通常我們是以100為分母作為比較的標準，像這樣分母是100的分數(shù)可以寫成百分數(shù)。如果分母不能通分成100時，我們可以先把分數(shù)化成小數(shù)。

【片段二】

師：剛才我們了解到了第三小組的推選結果，再來看看其他四組的推選結果。（課件出示）誰的投籃水平更勝一籌？好比較嗎？

生：不好比較。

師：怎么辦？

生：改寫成百分數(shù)。

（學生四人小組合作將其他幾人的命中率都改寫成百分數(shù)并展示匯報）

師：誰來讀一讀這些百分數(shù)。（各命中率）

在分析數(shù)據(jù)的過程中，學生感悟到命中率可以刻畫投籃水平的高低，學生運用已有知識經驗進行小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)互化，經歷百分數(shù)產生過程從不同形式的表達——相同分母（100）的表達——百分數(shù)的表達，感受到以百分數(shù)為標準進行比較既簡單又方便，從而可以體會百分數(shù)產生的必要性。

二、關聯(lián)經驗，多維構建百分數(shù)的本質意義

1.從統(tǒng)計角度，初感百分數(shù)的意義

創(chuàng)設真實情境，以隨機數(shù)據(jù)“命中率”引入百分數(shù)的學習，使學生初步感知百分數(shù)是一個相對的數(shù)，是兩個數(shù)之比，可以用來反映某種比例關系，表示“投籃次數(shù)”與“命中次數(shù)”的倍數(shù)關系，來刻畫投籃水平。

【片段三】

師：看來，我們可以用小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)表示投中次數(shù)除以投籃總數(shù)的商來表示投籃水平。那什么是投籃水平呢？

生：投籃水平就是投籃命中率。

師：請你具體解釋一下什么是命中率？

生1：投中次數(shù)是投籃總數(shù)的幾分之幾。

生2：投中次數(shù)在投籃總數(shù)中的占比。

總結：其實命中率就是投中次數(shù)是投籃總數(shù)的幾分之幾，它可以用來判斷投籃水平的高低。

師：請你說一說60%表示什么意思？

生1：把投籃總數(shù)看成一百份，投中的占了其中的60份。

生2：也可以說成投中次數(shù)是投籃總數(shù)的百分之六十。

任選一個百分數(shù)，同桌互相說一說。

2.從生活實際理解百分數(shù)的意義

為了讓學生進一步理解百分數(shù)的意義，將百分數(shù)與學生生活經驗關聯(lián)，學生自主舉例，如：生活中衣服的羊毛含量、果汁中純果汁的含量、中獎率等，通過解釋生活中的百分數(shù)的含義，幫助學生理解其中的數(shù)量關系，從而抽象出百分數(shù)的本質意義。

【片段四】

師：那百分數(shù)只能表示命中率嗎？生活中哪里還有百分數(shù)？

生：舉例說意義。

師：看來百分數(shù)可以表示的太多了，要怎樣描述才能把它表達的意思都包含進去，百分數(shù)表示什么呢？

生：表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。

師：表示的是兩個數(shù)之間的（關系），這個關系就是我們學過的倍數(shù)關系。

在上述的教學片段中，從命中率和學生熟悉的百分數(shù)入手，關聯(lián)多元生活經驗打通百分數(shù)兩種意義的隔斷墻，即從統(tǒng)計意義（兩個隨機數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關系）和算術意義（兩個確定數(shù)據(jù)之間的倍數(shù)關系）兩個維度構建百分數(shù)的本質意義（一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾），進一步理解百分數(shù)兩個量之間的倍數(shù)關系。數(shù)據(jù)是學生理解百分數(shù)的基礎，學生在對數(shù)據(jù)認識和表達的過程中逐步地形成數(shù)據(jù)意識。

三、隨機現(xiàn)象中感悟百分數(shù)的統(tǒng)計意義

1.分析比較，感受百分數(shù)的隨機性

借助百分數(shù)來刻畫數(shù)據(jù)的分布，引導學生清晰準確地把握數(shù)據(jù)中的關鍵信息，有助于對隨機現(xiàn)象進行判斷、做出決策。本案例中選用“投籃命中率”這一現(xiàn)實世界中的隨機現(xiàn)象導入百分數(shù)，在幫助學生理解百分數(shù)統(tǒng)計意義的同時，通過對多組數(shù)據(jù)的比較體會數(shù)據(jù)的隨機性。

【片段五】

師：現(xiàn)在要在這5個人中推選一名同學代表班級參賽，該派誰去呢？

生1：張致承。

生2：單憑一次的成績還不能確定，有可能其他選手沒發(fā)揮好。

師：那該怎么辦呢？

生2：可以再比幾次。

師：都是這5個人，再多投幾次，命中率不應該是一樣的嗎？

生：不一樣，有可能高，有可能低。比如某某同學，他投中的次數(shù)可能增加，命中率就會提高;也可能投中次數(shù)減少，命中率就會下降。

師：那投籃總數(shù)改變，命中率會變化嗎？

生：會。

師：來看這是鄧羽彤后5次的投籃情況，你發(fā)現(xiàn)什么？

生：投中次數(shù)在變，投籃總數(shù)也在變，命中率也跟著變化。

師：（出示其他4人后5天的數(shù)據(jù)）好的，再看看其余4人的，每次的命中率都一樣嗎？

生：不一樣。

總結：投中次數(shù)和投籃總數(shù)的改變，都會讓命中率發(fā)生改變。由于投中次數(shù)是隨機的，所以表示投中次數(shù)和投籃總數(shù)關系的百分數(shù)它也是一個隨機數(shù)據(jù)。

2.呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，體會大數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性

對數(shù)據(jù)隨機性感悟除了知道同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，還應通過多次數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)，讓學生感受到有足夠的數(shù)據(jù)就能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

【片段六】

師：現(xiàn)在我們有了5名同學6次的投籃數(shù)據(jù)，可以選出水平最高的那一個了嗎？

生1：看看誰得第一的次數(shù)多。（有次數(shù)相同的，仍無法判斷）

生2：求6次的命中率的平均數(shù)。

（明確前6次的命中率并不是一個準確值，求出來的平均數(shù)就會與實際的命中率有所偏差）

生3：每人6次投中的總數(shù)除以投籃總數(shù)算出命中率。

師：（表格出示計算結果）現(xiàn)在我們選誰參賽？為什么第一次的命中率沒有做出決定，而現(xiàn)在就能確定了呢？

生：數(shù)據(jù)多了，算出來的命中率就更接近真實水平。

師：那如果是選拔參加奧運會的運動員，6次的數(shù)據(jù)夠了嗎？

生：不夠，要成百上千次。

師：是的，當數(shù)據(jù)越多，穩(wěn)定性越強，進而就能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，為我們做決策提供依據(jù)。

學生在理解百分數(shù)的意義后，教師通過兩次追問引發(fā)學生對一次數(shù)據(jù)做決策的合理性進行思辨，進而讓學生親近數(shù)據(jù)，喚起對更多數(shù)據(jù)的需求。通過呈現(xiàn)數(shù)據(jù)、對比分析、交流討論，學生感受到“投籃總數(shù)”和“投中次數(shù)”的不確定性決定了百分數(shù)是對隨機數(shù)據(jù)的表達和刻畫;統(tǒng)計結果的隨機性會引起百分數(shù)的變化，隨著數(shù)據(jù)的增多，命中率這個百分數(shù)穩(wěn)定性越強越能代表選手的實際水平，越具參考價值，從而為決策提供依據(jù)。進而體會百分數(shù)的統(tǒng)計意義，初步感受百分數(shù)的統(tǒng)計價值，形成百分數(shù)的數(shù)據(jù)意識。

四、應用實踐，深化百分數(shù)的統(tǒng)計價值

教師要引導學生在實踐中理解百分數(shù)，在解決問題中應用百分數(shù)，發(fā)展數(shù)據(jù)意識，在實踐中深入體會百分數(shù)的統(tǒng)計價值。

【片段七】

師：好的，孩子們，學校不僅要舉行投籃比賽，還要對六年級學生進行跳繩達標測試。我們從六年級學生中隨機抽取100名學生，記錄他們1分鐘跳繩個數(shù)，怎樣利用這些數(shù)據(jù)確定達標線呢？

生：算出全年級平均數(shù)作為達標線

追問：以平均數(shù)作為達標線，一定會有一半人達標嗎？

師：如果我們需要有一半的學生也就是50%的人達標，要怎樣確定達標線？

生：可以用成績排在第50名同學的跳繩個數(shù)作為達標線。

師：如果要讓75%的學生達標呢？怎樣確定達標線？如果以第25名同學的成績作為達標線，就有多少人達標？多少人不達標？

師：這就是百分數(shù)的統(tǒng)計價值，幫助我們做出判斷和決策。

結合“確定六年級學生跳繩達標線”實踐活動，在解決問題的過程中，學生體會到百分數(shù)這3個重要節(jié)點對判斷事物及決策的作用，進一步感悟百分數(shù)的意義，體會百分數(shù)的統(tǒng)計價值和應用價值，形成初步的應用意識。

綜上所述，《新課標》將百分數(shù)調整到“統(tǒng)計與概率”領域，作為統(tǒng)計量來進行教學，主要是為了凸顯百分數(shù)的統(tǒng)計意義。對于小學生而言，百分數(shù)的統(tǒng)計意義是比較抽象的，其對隨機數(shù)據(jù)之間關系的表達和刻畫又是以百分數(shù)的本質意義為前提。因此，在教學百分數(shù)時，可用現(xiàn)實問題中的隨機數(shù)據(jù)為素材引入學習，讓學生在理解百分數(shù)意義的基礎上，打通“統(tǒng)計意義”和“算術意義”的隔斷墻，探尋百分數(shù)從“數(shù)概念”到“統(tǒng)計量”的中間地帶，在真實情境的數(shù)據(jù)分析中體會百分數(shù)產生的必要性，在多元經驗中理解百分數(shù)表示兩個數(shù)之間倍數(shù)關系的本質意義，在隨機現(xiàn)象的表達和刻畫中感受百分數(shù)的統(tǒng)計意義，在解決問題的過程中應用百分數(shù)的統(tǒng)計意義，從而體會百分數(shù)的統(tǒng)計價值，培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)意識。