新高考背景下數列板塊命題與解題策略初探

【摘要】數列是高中數學核心內容之一，也是新高考數學必考內容，深受高考命題的青睞，且常考常新.近幾年數列主要考查通項求法、數列求和等核心概念及方法，重在對學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養進行考查.在考查形式上也推陳出新，有結構不全，開放試題，板塊間知識交匯等，通過研究命題與解題策略，希望能對高考復習中的學生有一定幫助.

【關鍵詞】新高考;數列;命題與解題;策略

新高考從2014年在浙江和上海試點啟動，2017年浙江和上海首屆新高考，至今新高考已七個年頭.面對新高考復習備考，很多省市仍然是新課題，經驗不足，研究不夠，需要廣大一線教師共同探討，深耕細作，交流分享才能共同提高，在新高考中占有一席之地.

1" 2021—2023年新高考數列解答題考點統計

總體來說，數列板塊在高考試題中難度不高，除2023年新課標Ⅰ卷，位置都較為靠前，對考生來講較為友好，具體情況如表1.

通過對數列板塊解答題考點梳理，不難發現解答題對數列考查知識點覆蓋不夠全面，命題者往往還會通過一個選擇題或填空題進行補充，以盡可能多地將數列核心概念、基本思想方法納入考查范圍來彌補解答題知識點覆蓋較少的不足.

結合2024九省聯考分析，新高考弱化對數列常規解答題的考查，不代表數列內容推出高考舞臺，可能會改變題型，在選填小題中會加大考試力度，但依然會注重數列基礎知識的考查，但也不排除將數列與高數背景結合考解答題，這樣數列的難度還會加大，我們更應在基礎知識和方法上下足功夫.

2" 數列命題規律探析

從2021—2023年高考試題來看，數列通項公式和前n項和的考查是主旋律，但是在載體的選擇上往往推陳出新，涉及集合、不等式證明、解不等式、解方程等內容.

2.1" 數列核心概念唱響主旋律

回顧近三年共6套新高考真題數列的解答題，其中5套都考查了通項公式，4套第（2）小題還考查了數列前n項和，充分體現數列核心概念的考查仍然是新高考的主旋律.數列核心概念還包括數列概念，等差、等比數列等特殊數列，挖掘數列核心概念對高中育人價值，有助于體現高中數學學科素養的重要意義.

例如" 2021新課標Ⅰ卷第17題，該題除對數列通項公式、前n項和進行考查，還注重對學生分類討論思想進行考查，對學生綜合能力要求起到一定的考核作用.面對這類題目，學生既需要掌握核心概念、基本方法，又需要具備一定的數學素養.

2.2" 突出數列與不等式的融合

數列與不等式從高考命題考試就連在一起了，數列是考查不等式很好的載體，不等式是考查學生思維能力不可或缺的一部分.數列中的項可涉及不等式，前n項和也可涉及不等式，既有解不等式，證明不等式，還有涉及不等式的最值問題.

例如" 2023新課標Ⅱ卷第18題，第（2）小題關于不等式的證明有一定難度，學生不易想到通過分奇偶證明，在證明過程中容易受定勢思維的影響.

2.3" 關注數列與概率統計重現

2019年高考新課標Ⅰ卷21題史無前例的將概率統計板塊作為壓軸題驚呆了眾多學生，尤其是第（3）題將數列與概率統計結合令一線教師也十分詫異，新課標Ⅰ卷也刷新了一線教師和學生對高考數學的理解.究其根本在于教師們在復習備考時思想不夠解放，對高考作為國家育才選材重要方式不夠理解.

數列與概率統計并不矛盾，在新高考的復習備考中仍然要注意這類題在高考中的重現，同時還要舉一反三，關注或預測數列與其他知識的在融合，如三角函數、解析幾何等.

2.4" 重視數列與文化育人功能

中國古代數學家們有許多關于數列方面的成就，如郭守敬關于等差數列的三次內插法，《九章算術》《孫子算經》等都有關于數列的問題.通過這些成就一方面可以使數學課堂更加有趣，另一方面也是對學生的文化自信的培養.數學不僅是一門自然科學，也是實現育人功能的重要學科，以數學為載體，教育學生愛國，培養學生民族認同感，是一線教師共同的責任.

2.5" 重視從函數角度認識數列

數列是自變量為離散型的特殊函數，在復習備考時要重視函數思想的應用，解題時要求學生多從函數角度思考.從函數角度考查數列是高考命題常見形式，把握函數的本質，理解數列與函數的特殊關系，培養學生思考知識背后邏輯的能力.

3" 解題策略

3.1" 理解核心概念

例1" 記Sn為數列an的前n項和，已知Sn=2an－2n+1，求數列an的通項公式an.

解析" 當n=1時，得a1=1.

當n≥2時，

an=Sn－Sn－1=2an－2an－1－2，

可得an+2=2an－1+2，

利用等比數列可知an=3×2n－1－2（經檢驗n=1也滿足）.

本題重在理解前n項和公式得理解，很多學生搞不清楚什么要檢驗，什么時候不檢驗，就是沒有理解an=a1n=1Sn－Sn－1n≥2這個概念.

3.2" 掌握基本方法

例2" 在等差數列an中，a1=29，S10=S20，求數列an的前n項和Sn的最大值.

解析" 由題意，記等差數列an公差為d，

則290+45d=580+190d，

解得d=－2，

則Sn=29n－nn－1=－n－152+225.

所以當n=15時，Sn取最大值225.

數列中涉及通項an和前n項和時，采用的基本方法是解方程方法，雖因題目不同，過程的難易程度不一樣，但方程思想基本能解決絕大多數涉及通項an和前n項和的題目，解方程方法應屬基本思想方法.

3.3" 抓住本質特征

例3" 已知數列an的前n項和Sn=2n2+2n，數列bn的前n項和Tn=2－bn.設cn=a2n·bn，證明：當且僅當n≥3時，cn+1lt;cn.

解析" 由Sn=2n2+2n，

當n=1時，a1=4，

當n≥2時，an=Sn－Sn－1=4n，

當n=1時也符合，

所以an=4n.

又Tn=2－bn，

當n=1時，b1=1，

當n≥2時，bn=Tn－Tn－1=－bn+bn－1，

可得bn=12bn－1，

所以bn=21－n.

由cn=a2n·bn=n225－n，

得cn+1－cn=24－n－n－12+2

當且僅當n≥3時，cn+1－cnlt;0，

即cn+1lt;cn.

數列的本質就是函數，要學會用函數的觀點思考數列問題.本題就是通過做差，運用函數的思維解決證明問題.

3.4" 注重題型歸納

數列通項公式與前n項和的求法題型很多，具有較強的規律性.前n項和的求法如公式法、倒序相加、錯位相減、裂項相消、分組求和等，數列中類似這些問題通過題型歸納能很快有效解決.

例4" 已知數列an滿足a1=1，an+1=2an+1，其中n∈N*.

（1）求數列an的通項公式；

（2）令bn=2n－1an+1，求數列bn的前n項和Sn.

解析" （1）由題意，an+1+1=2an+1，可得an+1+1an+1=2，n∈N*

所以數列an為等比數列.

由a1=1知an+1=a1+1·2n－1，可得an=2n－1.

（2）由題意，bn=2n－1·2n，

可知Sn=2+3·22+5·23+…+2n－1·2n，

2Sn=22+3·23+5·24+…+2n－1·2n+1

則－Sn=2+2·22+2·23+…+2·2n－2n－1·2n+1

－Sn=2+231－2n－11－2－2n－1·2n+1

Sn=2n－3·2n+1+6.

當數列遞推公式滿足一次函數模型時，可通過在等式兩邊加（減）常數構造等比數列模型求解數列的通項公式，主要考查學生是否具有構造能力和意識.當數列由等差數列與等比數列相乘構成時，可采用錯位相減求數列前n項和，這些題型在高考命題中比較常見，也是數列板塊中的基礎知識，學習過程中應注意歸納.

參考文獻：

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