例析三類抽象函數定義域問題及解題技巧

【摘要】抽象函數由于沒有給出具體函數解析式，因此沒有具體的函數圖象，對學生們解答相關的問題造成了一定難度.以求解函數的定義域問題為例，學生們并沒有具體解題方法和思路.本文探究三個抽象函數定義域問題及其解題方法和思考方式，以便幫助學生深入了解抽象函數，并提高解決類似問題的準確性.

【關鍵詞】抽象函數；定義域；解題技巧

抽象函數問題對于考查學生的知識應用和遷移能力非常有效，同時也有助于培養和提高學生的發散思維和創造性思維等能力.然而，抽象函數定義域問題往往具有一定的難度，許多學生在解答時感到棘手，即使掌握了一段時間后也容易混淆.那么，我們應該采取何種方法來幫助學生深刻理解和掌握這部分知識呢？

1" 已知fx定義域，求fgx定義域

針對已知抽象函數fx定義域求fgx的定義域這類題型，主要是理解fx的定義域等價函數gx的值域，求函數fgx的定義域對應求自變量x的范圍，則需要根據值域求x取值.具體解題思路為：①根據已知fx定義域a，b，構建不等式a≤gx≤b；②運算求出自變量x取值，等價于fgx的定義域范圍.

例1" 已知函數fx的定義域為－1，5，gx=3x－5，試求出函數fgx的定義域.

分析" 已知fx定義域和gx，求fgx的定義域，首先根據題意構建不等式－1≤gx≤5，求解得到不等式的對應解集，就能得知所求抽象函數fgx的自變量范圍，即定義域.

解" 根據題意可得fgx=f3x－5，

因為fx定義域－1，5，且gx=3x－5，

所以gx=3x－5的值域是－1，5，

故－1≤3x－5≤5，

解得x∈43，103，

故函數f3x－5的定義域是43，103.

變式" 設函數fx的定義域為0，2，a是常數，且0＜a＜12，求函數Fx=fx+a+fx－a的定義域.

分析" 問題求解Fx的定義域，而Fx是函數fgx的和差形式，故求解思路相同，首先根據題意構建0≤g1x=x+a≤2和0≤g2x=x－a≤2的不等式，其次解不等式組，求x的公共解集，對應Fx的定義域范圍.

解" 因為函數fx的定義域為0，2，

所以0≤x+a≤2，0≤x－a≤2，

即－a≤x≤2－a，a≤x≤2+a，

因為0＜a＜12，

所以－a＜a＜2－a＜2+a，

可知a≤x≤2－a，

故函數Fx=fx+a+fx－a的定義域為a，2－a.

2" 已知fgx定義域，求fx定義域

針對此類型的定義域問題問題，首先要明確的是gx的值域等于函數fx的定義域.求解fx的定義域，就需要求出gx的取值范圍.一般思路為：根據已知的fgx的定義域求解出gx的取值范圍，gx的取值范圍即為fx的定義域.具體的步驟如下：（1）確定gx值域的取值范圍；（2）確定函數fx的定義域.

例2" 已知函數f3x－5的定義域為0，3，求函數fx的定義域.

分析" 已知fgx的定義域，求fx的定義域，可知gx=3x－5的值域等價于fx的定義域，故先根據已知的定義域求出對應值域范圍，即可得知函數fx的定義域大小.

解" 令u=3x－5，

則有f3x－5=fu，

因為函數f3x－5的定義域為0，3，即1≤x≤3，

所以u=3x－5∈－5，4，

因為fu的定義域等于fx的定義域，

所以函數fx的定義域為－5，4.

3" 已知fgx定義域，求fhx定義域

已知fgx定義域，求fhx定義域問題，必須牢記gx值域與hx值域相同，即fgx和fhx可以看做不同函數值的fu和fφ，由于fx定義域不變，故gx和hx值域相同.解答該類問題，具體思路為：①根據已知fgx定義域，求出gx的值域大小；②憑借gx值域a，b，構建不等式a≤hx≤b并解答，所求解集對應抽象函數fhx定義域.

例3" 若函數fx+2的定義域是－2，0，求函數flog12x的定義域.

剖析" 已知gx=x+2和hx=log12x值域相同，首先利用fx+2的定義域求gx=x+2的值域大小，其次構建與函數hx=log12x相關的不等式，求出自變量范圍即對應問題所求.

解" 因為函數fx+2的定義域是－2，0，

所以－2≤x≤0，0≤x+2≤2，

因為fx的定義域是0，2，

令0≤log12x≤2，

解得14≤x≤1，

所以函數flog12x的定義域為14，1.

變式" 若函數gx=f2x－3，hx=f3－4x，已知gx定義域為－1，72，求hx的定義域.

分析" 該題討論的不是gx和hx的值域相同，而是函數ux=2x－3和νx=3－4x值域相同的問題，故根據已知定義域列式求出ux=2x－3的值域，結合所求值域構建νx=3－4x的不等式，運算求解得到hx的定義域.

解" 因為gx=f2x－3的定義域是

－1，72，所以－1≤x≤72，－5≤2x－3≤4，

因為－5≤3－4x≤4，

所以14≤x≤2，

故函數hx的定義域是14，2.

4" 結語

對于抽象函數求解，學生們需要清楚的是f（x）中自變量x的定義域意義，把握這個點以及熟悉?？嫉膸追N題型和對應的解題方法，求解抽象函數定義域問題就會變得簡單很多.求解函數定義域這類型問題在高考數學中出現的頻率較高，因此學生們一定要掌握這類型題目的解法.

參考文獻：

［1］孫平.例析抽象函數問題的解法［J］.中學生數理化（高二高三版），2013（Z1）：30.

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