關于拋物線焦半徑問題的解法探究

【摘要】拋物線是中學數學中常見的重要知識點，考查拋物線的題型和形式多種多樣，焦半徑問題就是其中一部分.焦半徑是指焦點到曲線上任意點的連線線段，可考查該線段的長度、比值等相關問題，拋物線的焦半徑問題也不例外.本文對一道拋物線的焦半徑問題做出分析，并結合其他變式說明不同解法的具體應用過程與特點，幫助學生拓展解題思路.

【關鍵詞】高中數學；拋物線；焦半徑；參數方程

例題" 已知F是拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點，過點F且斜率為2的直線l與C交于A，B兩點，若AF·BF=20，則p=.

1" 坐標法

坐標法是指通過假設動點的坐標，得到與坐標有關直線解析式，聯立拋物線后消元得到一元二次方程式，憑借韋達定理得到點坐標之間的關系，并用坐標表達焦半徑，從而解答問題.運用坐標法解題，通常會對拋物線上動點做出假設，具體解題步驟為：（1）假設動點坐標，得到經過動點和焦點的直線解析式，聯立拋物線得到一元二次方程式；（2）憑借韋達定理，用公式表示焦半徑可為PF=p2±x1（p是拋物線焦距，x1是假設點的橫坐標）；（3）用焦半徑坐標公式表示相關條件，解答問題，可得到完整答案.

解法1" 由題意可得，點Fp2，0，

故直線l方程為：x=y2+p2，

聯立拋物線C方程，可得y2－py－p2=0，可知Δ＞0，

假設點Ax1，y1，點Bx2，y2，

則有y1+y2=p，y1y2=－p2，

所以x1+x2=y1+y22+p=3p2，

x1x2=y1+py2+p4=p24，

因為AF=P2+x1，BF=P2+x2，

所以AF·BF=p2+x1p2+x2=20，

因為p24+p2x1+x2+x1x2=5p24=20，

所以p=4.

2" 參數方程法

參數方程法主要是引入參數構建焦點弦所在直線的參數方程，由于直線與拋物線存在交點，可將參數方程代入拋物線中得到只含引入參數的方程式，用單一的參數表示焦點弦并解答問題，有助于提高解題效率.運用參數方程法解答問題的具體步驟為：（1）假設經過焦點的直線傾斜角，引入參數t得到直線對應的參數方程式；（2）將參數方程代入拋物線，得與參數有關的方程式，并且用參數表示焦點弦；（3）運算求解相關等式，即可對問題做出完整解答.

解法2"" 直線l斜率為2，設其傾斜角為α，

則有tanα=2，

sinα=255，

cosα=55，

直線l的參數方程為：x=p2+55ty=255t（t為參數），

代入y2=2px，

整理可得4t2－25pt－5p2=0，

因為Δ=0，

所以設方程的實數根為t1，t2，

則t1t2=－5p24，

因為AF·BF=t1t2=5p24=20，

所以p=4.

變式" 設點F是拋物線y2=4x的焦點，點A是拋物線上第一象限點，過點A作準線l的垂線交準線于點M，直線MF交拋物于D，B兩點，點D在線段MF上，若直線AB的斜率等于－3，則BFDF=.

解析" 解法1" 參數方程法

設直線MB參數方程為：

x=1+tcosαy=tsinα（t為參數），

代入y2=4x，

可得t2sin2α－4tcosα－4=0，

可知tB=2cosα－1sin2α，

tD=2cosα+1sin2α，

則yA=yM=－2sinαcosα，xA=sin2αcos2α，

yB=2cosα－1sinα，

xB=1+2cosαcosα－1sin2α，

因為kAB=yB－yAxB－xA=4yB+yA=－3，

即6cos2α+2sinαcosα－3cosα－3=0，

解方程得cosα=－35或cosα=1±74，

因為6cos2α－3cosα－3=－2sinαcosα＞0，

所以cosα＞1（舍去）或cosα＜－12，

即cosα=－35，

所以BFDF=－tBtD=4.

解法2" 坐標法

假設點Dx1，y1－1＜x1＜1，Bx2，y2，

Ay2A4，yA，M－1，yA，

由題意可知，直線MF經過定點F1，0，

故假設直線解析式為y=kx－1，

因為直線MF經過點M－1，yA，

所以yA=－2k，xA=k2，

因為直線AB斜率為－3，

所以yA－y2xA－x2=－2k－kx2－1k2－x2=－3，

解得x2=3k2－kk+3，

聯立直線MF和拋物線y2=4x，

可得y=kx－1，y2=4x，

消去y可得關于x的方程式：

k2x2－2k2+4x+k2=0，

根據韋達定理可知x1x2=12，

所以x1=12x2=k+32k3k－1，

因為BF=1+x2=3k2+3k+3，

DF=1－x1=3k－12k+12k3k－1，

所以BFDF=4.

3" 結語

通過例題和變式可以對拋物線的焦點弦相關問題解法有一定了解，即坐標法和參數方程法都能表示焦點弦并解答問題，使用坐標法可通過假設動點和公式對問題做出解答，參數方程法則使問題轉化為與參數有關的表達式求解，解題更加直接.每種方法具備不同特點，需要學生觀察并理解運用.同樣，掌握基礎知識和準確運算也是準確解題的基礎所在.

參考文獻：

［1］周榮榮.拋物線焦半徑問題的一題多解［J］.學苑教育，2019（22）：71.

［2］謝榮.解決拋物線焦半徑問題的三種方法［J］.數理天地（高中版），2023（09）：8-9.

［3］屈大海.拋物線焦半徑的新算法及其應用［J］.高中數學教與學，2021（11）：16-18.