高中數學函數的多元化解題技巧探討

【摘要】高中數學課堂教學中，教師需重點強化學生解題能力，通過多元化解題技巧教學，全面提高學生解題方法的應用能力.函數是描述兩個變量之間關系的數學模型，廣泛應用于各個領域.在高中階段，學生需要掌握基本的函數概念、性質和圖像，并能夠運用這些知識解決實際問題.但在解決函數問題時，學生往往面臨思維固化、方法單一等問題，導致解題效率低下或無法得出正確答案.本篇文章將通過具體案例分析，展示如何運用發散思維、創新性思維和反面求證法等策略來提升解題能力.

【關鍵詞】多元化解題技巧；教學實踐

從高中數學學科中關于函數定義的解釋來看，其強調函數關系的深入理解，包括函數X與函數Y之間的對應關系，對于高中學生來說，這些知識內容較為復雜，尤其高中階段對函數關系的探究是建立在非空幾何當中，針對X與Y之間的互相變化問題進行求解.新課標中強調對學生核心素養及問題解決能力的訓練和培養，這就要求學生充分掌握函數知識體系，并運用不止一類的解題思路與技巧變化去解決函數問題.

1" 從創新思維出發，開展函數解題技巧運用

創新性思維是指打破傳統思維模式，尋求新的解題思路和方法.在解決函數問題時，學生可以嘗試創新性思維，探究新的解題技巧.例如，對于函數的奇偶性判斷，學生可以嘗試利用定義法、圖像法和性質法等多種方法進行判斷.在探究過程中，學生可以嘗試對問題進行變形或構造新的函數，從而發現新的解題技巧.通過創新性思維，學生可以培養自己的創新能力，提高解決復雜問題的能力［1］.

例1" 已知a＞0且a≠1，討論fx=a－x2+3x+2的單調性.

分析" 這是一道與指數函數有關的復合函數討論單調性題，指數－x2+3x+2=－x－322+174，當x≥32時是減函數，x≤32時是增函數，而fx的單調性又與0＜a＜1和a＞1兩種范圍有關，所以實際教學中教師要引導學生進行分類討論.

解析"" 設u=-x2+3x+2=x-322+174，則當x≥32時，u是減函數，當x≤32時，u是增函數，又當a＞1時，y=au是增函數，當0＜a＜1時，y=au是減函數，所以當a＞1時，原函數fx=a－x2+3x+2在32，+∞上是減函數，在-∞，32上是增函數.

當0＜a＜1時，原函數fx=a－x2+3x+2在32，+∞上是增函數，在-∞，32上是減函數.

一般情況下，兩個函數都是增函數或都是減函數，則其復合函數是增函數；如果兩個函數中一增一減，則其復合函數是減函數，但一定注意考慮復合函數的定義域.

實際教學中教師需注意不可只是照本宣科的進行某一單獨題目的解析，而是要在一種解題方法之后，融入多元化教學思路啟迪，鼓勵學生采用不同方法進行解題思考，如采用類比思維方法，其是通過比較兩個事物的相似性和差異性，將一個事物的性質或規律應用到另一個事物上.在指數函數中，可以利用類比思維法將指數函數的性質和圖像與其他函數進行比較，從而加深對指數函數的理解.另外還可以運用構造思維方法，通過構造一個新的對象或模型來解決問題的方法.在指數函數中，可以通過構造新的函數或模型來簡化問題，如在比較不同指數函數的單調性時，可以構造一個新的函數并進行比較，引導學生總結解題經驗，形成適合自己的解題技巧.

2" 借助發散性思維，實現函數解題技巧開發

發散思維是指從一個點出發，沿著不同方向思考問題的方法.在解決函數問題時，學生可以嘗試從多個角度思考問題，運用不同的知識點和方法來解答.如對于指數函數的解題，指數函數是高中數學的重要組成部分，其描述了一個變量隨另一個變量增長而快速增長或減小的關系.對于學生來說，掌握指數函數的性質和圖像，并能夠運用這些知識解決實際問題至關重要［2］.學生可以通過因式分解或求根公式等方法來求解，選擇不同的方法需要根據具體問題的特點來判斷，通過多角度思考可以拓展學生的思路，提高解題效率.

例2" 在△ABC中，如果A1，0，B－1，0，C1，－2，已知AB⊥BC，那么Kab×Kbc=1，這一題是否正確，如果錯誤，請說明理由.

例3"" 已知A－2，0，B2，0，平面上的點F到A，B兩點之間的距離的和為4，那么F點的活動軌跡是以A，B為焦點的橢圓嗎？

如此提問的方式能夠切實帶動學生切實的學習思路方法，兩種不同的提問邏輯在潛移默化間引發了學生不同的思考，即帶動了學生的發散思維養成和鍛煉.同時，多元化考慮函數問題的角度也能夠幫助學生突破固化的解題思路，并在原有的知識內容體系中找尋不同的內涵，幫助學生進一步提升對函數學習的積極性，為后續更多的發散、多元化函數解題內容教學奠定基礎.

3" 運用反面求證法，解決數學函數求解難題

反面求證法是一種通過否定問題的反面情況來證明原命題的策略.在解決函數問題時，學生可以嘗試運用反面求證法來尋找解題思路，如對于函數單調性的判斷問題，學生可以通過假設不單調進行反證法來證明函數的單調性.通過反面求證法，學生可以從問題的反面入手思考問題，開拓解題思路，提高解題的正確性和效率.

例如" 對于“函數與方程”的相關題目解題技巧教學設計，函數與方程是高中數學的重要內容，涉及到函數的性質、圖像、最值等問題以及一元二次方程的求解等.對于一些復雜的函數問題，正面求解可能比較困難，此時運用反面求證法可以取得較好的效果［3］.

例4" 證明方程fx=0至多有一個實根.

證明" 假設方程fx=0有兩個不相等的實根x1和x2，則有fx1=0且fx2=0.由于fx是連續函數，根據中值定理，在x1和x2之間存在一點ξ，使得fξ=0，這與fx至多有一個實根矛盾，因此假設不成立，原命題成立.

在上述案例中，通過反面求證法，證明了方程fx=0至多有一個實根.如果正面求解這個命題比較困難，運用反面求證法可以簡化問題，得到更好的解題效果.在教授反面求證法時，教師應首先向學生介紹反面求證法的原理，即通過否定問題的反面情況來證明原命題，如此有助于學生理解反面求證法的思想和應用.

3" 結語

結合上文所述，多元化解題技巧對于高中數學函數的解答至關重要.學生可以通過發散思維、創新性思維和反面求證法等策略來拓展思路、開發新的解題技巧和提高解題效率.在學習過程中，學生也要注重鍛煉自己的思維方式和方法論意識，不斷探索和總結適合自己的解題技巧，進而提高自己的數學思維能力.同時，教師也應該注重引導學生探索多元化的解題技巧，培養學生的創新意識和思維能力.

參考文獻：

［1］孫雷.關于高中數學函數解題思路多元化的方法［J］.中學生數理化（教與學），2020，0（1）：85-85.

［2］單長松．高中數學函數解題思路多元化的方法分析［J］．文理導航·教育研究與實踐，2021，000（4）：129.

［3］謝波.高中數學函數的多元化解題思路［J］.數理天地：高中版，2022，10（15）：66-68.