一元二次方程的應用研究

邵立兵

［摘 要］一元二次方程是反映現實世界數量關系的數學模型，它的應用體現了一元二次方程作為數學模型的價值。文章結合幾個例題，探討一元二次方程的實際應用，旨在拓寬學生的思維路徑，提升學生應用一元二次方程解決實際問題的能力。

［關鍵詞］一元二次方程；應用；初中數學

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）05-0015-03

一元二次方程是初中數學的重要內容，對于一元二次方程，學生需要掌握概念、一般形式、四種解法、根的判別式、根與系數關系和應用等。一元二次方程是反映現實世界數量關系的數學模型，它的應用體現了一元二次方程作為數學模型的價值。應用一元二次方程可以解決數字問題、商品銷售問題、增長率問題、圖形面積問題、傳播問題、循環問題和動態幾何問題等。下面筆者結合例題對一元二次方程的應用進行分析探討。

一、應用一元二次方程解決數字問題

數字問題，要用各個數位上的數字表示多位數，如一個四位數，個位、十位、百位與千位上的數字分別是[a]、[b]、[c]、[d]，則這個四位數可以表示為[1000d+100c+10b+a]，即表示一個多位數，可用各個數位上的數字分別乘以相應的計數單位再相加。

［例1］有一個兩位數，它們的十位數字與個位數字之和為8，如果把十位數字與個位數字調換后，所得的兩位數乘以原來的兩位數就得1855，求這個兩位數。

分析：設個位上的數字為[x]，則十位上的數字為[8-x]，根據十位上的數字與個位上的數字對調，則所得兩位數乘以原來的兩位數就得1855，列一元二次方程，解這個一元二次方程可求得這個兩位數。

解：設原來個位上的數字為[x]，則十位上的數字為[8-x]，由題意得[10×（8-x）+x10x+8-x=1855]，整理得[-81x2+648x-1215=0]，[x2-8x+15=0]，[（x-3）（x-5）=0]，解得[x1=3]，[x2=5]，所以原來十位上的數字為5或3，所以這個兩位數是53或35。

評注：兩位數十位上的數字與個位上的數字對調后，乘以10的數字就是原兩位數個位上的數字，不用乘以10的數字是原兩位數十位上的數字。在解方程的過程中，要先把方程化為一元二次方程的一般形式，再考慮用何種解法去解。

二、應用一元二次方程解決商品銷售問題

商品銷售問題中常利用“每件利潤×件數=總利潤”建立方程求解，“每件利潤=售價-進價”，件數通常是隨售價變化而變化的量，表現為一次函數關系，語言表述為“售價每降低多少元，銷售量會增加多少件”，此時需要求出售價每降低1元，銷售量增加了多少件。

［例2］當前，“直播帶貨”已經成為商家的一種新型的促銷手段。小亮在直播間銷售一種進價為每件10元的日用商品，經調查發現，該商品每天的銷售量[y]（件）與銷售單價[x]（元）滿足一次函數關系，它們的關系如下表：

[銷售單價[x]（元） 20 25 30 銷售量[y]（件） 200 150 100 ]

（1）求[y]與[x]之間的函數關系式；（2）該商家每天想獲得2160元的利潤，又要盡可能減少庫存，應將銷售單價定為多少元？

分析：（1）直接利用待定系數法求出一次函數解析式即可；（2）利用（1）的結論，得每天的銷售量為[-10x+400]，利用“利潤=售價-進價”，得每件利潤為[（x-10）]元，利用“每件利潤×件數=總利潤”列方程求解。

解：（1）設商品每天的銷售量[y]（件）與銷售單價[x]（元）滿足一次函數關系[y=kx+b]，根據題意可得[20k+b=200，25k+b=150，]解得[k=-10，b=400，]故[y]與[x]之間的函數關系式為[y=-10x+400]。

（2）根據題意可得[（-10x+400）（x-10）=2160]，整理得[x2-50x+616=0]，[（x-28）（x-22）=0]，解得[x1=28]（不合題意，舍去），[x2=22]，應將銷售單價定為22元。

評注：本題有了第（1）小題的鋪墊，求每天的銷售量就比較容易，因為第（1）小題得到了每天銷售量與銷售單價之間的關系為[y=-10x+400]，也就是銷售單價定為[x]元，則每天的銷售量為[-10x+400]。本題有一個隱含條件，即“盡可能減少庫存”，也就是說，每天的銷售量要盡可能地多，對應的銷售單價也要盡可能地低。

三、應用一元二次方程解決增長率問題

增長率問題中，如果每次增長率均為[x]，基數為[a]，則第一次增長后為[a（1+x）]，第二次增長后為[a（1+x）（1+x）=a（1+x）2]，第三次增長后為[a（1+x）2（1+x）=a（1+x）3]，以此類推，每次增長都是在前一次結果的基礎上增長[x]，所以每次都是把前一次的結果看作整體“1”，增長率為[x]，故依次乘以[（1+x）]。

［例3］2023年6月16日晚，遼寧省第十四屆運動會開幕式在撫順市國家3A級風景區月牙島生態公園舉行，創造了絕美的撫順精彩，留下了深刻的撫順記憶。很多健步走愛好者把月牙島生態公園作為他們新的運動打卡地。他們利用手機的“微信運動”來記錄每天在月牙島生態公園運動的步數。楊老師第一天利用“微信運動”跟隨動感音樂記錄了自己在月牙島生態公園走了10000步，假設平均每步長是0.5米，他第二天通過增加步數和提高平均步長的方式增加運動量，第二天走了6600米，其中運動步數的增長率是平均步長增長率的2倍，請你幫助計算一下楊老師平均步長的增長率是多少。

分析：設楊老師平均步長的增長率是[x]，則運動步數的增長率是[2x]，根據楊老師第二天走了6600米，可列出關于[x]的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論。

解：設楊老師平均步長的增長率是[x]，則運動步數的增長率是[2x]，根據題意得[10000（1+2x）×0.5（1+x）=6600]，整理得[x2+1.5x-0.16=0]，[（x-0.1）（x+1.6）=0]，解得[x1=0.1=10%]，[x2=-1.6]（不符合題意，舍去）。楊老師平均步長的增長率是10%。

評注：此題隱含了一個等量關系，即“步數×步長=步行里程”，此題就是據此列的一元二次方程。這里值得注意的是，有兩個增長率，步數的增長率與步長增長率，它們并不相同，而是存在倍數關系，設出了步長的增長率，就可以得步數的增長率，然后兩個增長率分別加上1后乘以相應的基數，在方程中兩個單位“1”代表的不一樣，第一個單位“1”代表10000，第二個單位“1”代表0.5。

四、應用一元二次方程解決圖形面積問題

在圖形面積問題中，常利用圖形面積公式建立方程，如矩形面積=長×寬，平行四邊形面積=底×高，[三角形面積=12×底×高]，[圓的面積=πR2]等，當列一元二次方程解圖形面積問題時，方程的解有兩個，不一定都符合題意，需要根據題意進行取舍。

［例4］某扶貧單位為了增加貧困戶的經濟收入，購買了39 m的鐵柵欄，準備用這些鐵柵欄為貧困戶靠墻（墻長15 m）圍建一個中間帶有鐵柵欄的矩形養雞場（如圖1）。（1）若所建的矩形養雞場面積為120 m2，求雞場的長[AB]和寬[BC]；（2）該扶貧單位想要建一個130 m2的矩形養雞場，這一想法能實現嗎？請說明理由。

分析：（1）設[BC=x m]，則可表示出長[AB=（39-3x）m]，由“矩形面積=長×寬”列一元二次方程，解方程即可。（2）設[BC=x m]，則可表示出長[AB=（39-3x）m]，由“矩形面積=長×寬”列一元二次方程，根據方程是否有解或方程的解是否符合題意，即可作出判斷。

解：（1）設[BC=x m]，則[AB=（39-3x）m]，由題意得：[x（39-3x）=120]，整理得：[x2-13x+40=0]，解得：[x1=5]，[x2=8]。當[x=5]時，[39-3x=24>15]，不符合題意；當[x=8]時，[39-3x=15]，符合題意。雞場的長[AB]和寬[BC]分別為15 m與8 m。

（2）設[BC=x m]，則[AB=（39-3x）m]，由題意得：[x（39-3x）=130]，整理得：[3x2-39x+130=0]，[Δ=（-39）2-4×3×130=1521-1560<0]，方程無實數解，所以這個想法不能實現。

評注：本題的第（1）小題的兩個結果雖然都是正數，但仍需要討論，經過計算鄰邊的長發現有一個不符合題意。第（2）小題雖然根據題意列出了一元二次方程，但是卻沒有實數解，所以也不符合實際情況，這里進一步驗證了方程與實際問題還是有一定距離的，能列方程不一定有解，有解不一定都符合題意。

五、應用一元二次方程解決傳播問題

在傳播問題中，要分清原來感染的人數與新增的人數，若每個人每輪可感染[a]個人，則第一輪過后，新增[a]個人，共有[（1+a）]個人，第二輪過后新增[（1+a）a]個人，共有[1+a+（1+a）a]個人感染，以此類推。

［例5］春季流感暴發，有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有81人患了流感。（1）每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）經過三輪傳染后共有多少人患了流感？

分析：（1）設每輪傳染中平均一個人傳染了[x]人，則第一輪傳染后共有[（1+x）]個人患了流感，第二輪傳染后共有[1+x+x（x+1）]個人患了流感，根據“經過兩輪傳染后共有81人患了流感”列方程求解；（2）根據（1）數據進行計算即可。

解：（1）設每輪傳染中平均一個人傳染了[x]人；根據題意得[1+x+x（x+1）=81]，整理得[x2+2x-80=0]，[（x-8）（x+10）=0]，解得[x1=8]，[x2=-10]（舍去）。故每輪傳染中平均一個人傳染了8人。

（2）[81×8+81=729]（人），經過三輪傳染后共有729人患了流感。

評注：在傳播的過程中，第一個人在每次傳播過程中都會傳染[x]個人，前面已經感染的人，在后面傳播過程中都會每輪傳染[x]個人，這是新增感染人數的算法，共有多少人感染，它包括前面已感染的與新增感染的。

六、應用一元二次方程解決動態幾何問題

在動態幾何問題中，需要用含運動時間[t]的代數式表示線段的長，用線段之間的關系建立方程，或者根據圖形的面積建立方程，在此過程中，需要運用“[時間×速度=路程]”求動點運動的路程長，用總線段長減去運動路程長等于剩余路程長。

［例6］如圖2所示，在矩形[ABCD]中，[AB=10] cm，[AD=8] cm，點[P]從點[A]出發沿[AB]以2 cm/s的速度向終點[B]運動，同時點[Q]從點[B]出發沿[BC]以1 cm/s的速度向終點[C]運動，它們到達終點后停止運動。（1）幾秒后，點[P]、[D]的距離是點[P]、[Q]的距離的2倍？（2）是否存在時間[t]使得[△DPQ]的面積是22 cm2？若存在，請求出[t]，若不存在，請說明理由。

分析：（1）設[t]秒后點[P]、[D]的距離是點[P]、[Q]距離的2倍，則[PD2=4PQ2]，分兩種情況討論：①當[0

解：（1）設[t]秒后點[P]、[D]的距離是點[P]、[Q]距離的2倍，∴[PD=2PQ]，∵四邊形[ABCD]是矩形，∴[∠A=∠B=90°]，∴[PD2=AP2+AD2 ]，[PQ2=BP2+BQ2]，∵[PD2=4PQ2]。①當[0

（2）不存在，理由如下。設[t]秒后[△DPQ]的面積是22 cm2，當[0≤t≤5]時，∵[S△DPQ=S四邊形ABCD-S△ADP-S△BQP-S△DCQ]?！郲12×8×2t+12（10-2t）·t+12（8-t）×10=80-22]，整理得[t2-8 t+18=0]，∵[Δ=（-8）2-4×1×18=-8<0]，∴該方程無解?！喈擺0≤t≤5]時，不存在時間[t] 使得[△DPQ]的面積是22 cm2；當[5

綜上所述，不存在時間[t] 使得[△DPQ]的面積是22 cm2。

評注：在上述問題中，因為動點在運動過程中，[△DPQ]表現為兩種不同的狀態，所以要分兩種情況討論，每種情況下所求的方程并不一樣，所以在運動過程中，找出分界點很重要，它體現了分類討論的數學思想。

結合以上列舉的實例，筆者提供了解決每一種類型題目的解題思路與基本方法，旨在讓學生能夠掌握相關解題方法并運用一元二次方程解決一些實際問題。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 何曉明.“程”風破浪：帶你玩轉一元二次方程的應用［J］.初中生學習指導，2023（9）：20-23.

［2］? 張曉銳.一元二次方程的概念理解與實際應用［J］.數理化學習（初中版），2021（12）：36-37.

［3］? 王永瓊.一元二次方程的實際應用常見問題舉例［J］.現代中學生（初中版），2021（合刊4）：9-10，12.

（責任編輯 黃桂堅）