初中數(shù)學(xué)概率問(wèn)題的不同解法分析

吳剛

摘要：概率是初中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要部分，概率問(wèn)題在中考中常常出現(xiàn)，尤其是對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率的預(yù)測(cè)，幾乎是必考的內(nèi)容.本文中以常見(jiàn)的求解方法，即列舉法、列表法、畫(huà)樹(shù)狀圖法等進(jìn)行例題分析.

關(guān)鍵詞：概率與統(tǒng)計(jì)；列舉法；列表法；畫(huà)樹(shù)狀圖法

概率問(wèn)題已成為中考命題的熱點(diǎn)和亮點(diǎn).初中數(shù)學(xué)中的概率問(wèn)題大多與生活實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系緊密，非常具有實(shí)踐意義.因此，讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中感受概率知識(shí)的運(yùn)用可以加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解.

1 列舉法

列舉法求概率是建立在等可能的前提下，在沒(méi)有排列、組合相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)下，通過(guò)列舉出所有等可能結(jié)果來(lái)求概率的一種方法.解題思路大致為：①分析題意，明確題中的步驟以及順序；②根據(jù)步驟和順序，列舉出一次試驗(yàn)的所有可能性；③根據(jù)列舉的所有可能性以及事件A出現(xiàn)的情況，明確m，n并代入P（A）=mn計(jì)算即可求出概率［1］.如以下例題所示.

例1 一個(gè)音樂(lè)大廳有2個(gè)出口和3個(gè)入口，來(lái)音樂(lè)大廳的人可以從任意一個(gè)入口進(jìn)入，參觀結(jié)束后也可以從任意一個(gè)出口離開(kāi).音樂(lè)選手小明從1號(hào)入口進(jìn)入，并且從1號(hào)出口離開(kāi)的概率是多少？

分析：首先根據(jù)題中已知條件分析題意，將所求事件記作事件M，列舉出一次出入的所有可能性，然后根據(jù)列舉的所有情況以及事件M出現(xiàn)的情況確定m，n并代入P（M）=mn計(jì)算即可求出概率.

解：將“小明從1號(hào)入口進(jìn)入，并且從1號(hào)出口離開(kāi)”記作事件M.

一次出入的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有：

1入1出，1入2出，2入1出，

2入2出，3入1出，3入2出.

所以，所有等可能的結(jié)果一共有6種，其中

事件M包含的情況只有1種.

所以P（M）=16.

例2 明明和朋友們?cè)谕嬉粋€(gè)抽卡片的游戲，有兩堆卡片，第一堆卡片有三張牌（用數(shù)字卡片1，2，3表示），第二堆卡片也有三張牌（用數(shù)字卡片4，5，6表示）.明明在不看卡片下面數(shù)字的情況下，分別從兩堆中各隨機(jī)抽取一張，明明抽到卡片2和卡片6的概率是多少？

分析：首先根據(jù)題中已知條件分析題意，將所求事件記作事件M，列舉出一次抽取的所有可能性，最后根據(jù)列舉的所有情況以及事件M出現(xiàn)的情況確定m，n并代入P（A）=mn計(jì)算即可求出概率.

解：將“明明抽到卡片2和卡片6”

記作事件M.

一次抽取所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有

（1，4），（1，5），（1，6），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），一共有9種.其中

事件M包含的情況只有1種.

所以P（M）=19.

2 畫(huà)樹(shù)狀圖法

畫(huà)樹(shù)狀圖法是在已經(jīng)初步了解隨機(jī)事件和概率有關(guān)概念的基礎(chǔ)上，畫(huà)出樹(shù)狀圖，列舉出一次試驗(yàn)的所有可能，得出m，n，計(jì)算出隨機(jī)事件的概率.解題思路大致為：①分析題意，明確題中的步驟以及順序；②根據(jù)步驟和順序，畫(huà)出樹(shù)狀圖，列舉出一次試驗(yàn)的所有可能性；③根據(jù)樹(shù)狀圖的最后一步，明確m，n并代入P（A）=mn計(jì)算即可求出概率.具體解題思路和步驟如以下例題所示.

例3 如圖1所示，有一個(gè)被平均分成三個(gè)扇形的裝置轉(zhuǎn)盤(pán)A和一個(gè)被平均分成四個(gè)扇形的裝置轉(zhuǎn)盤(pán)B，A盤(pán)和B盤(pán)分別各轉(zhuǎn)動(dòng)一次.在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，指針是保持不動(dòng)的，指針若剛好在分割線上停止，則重新再轉(zhuǎn)一次，直到指針?biāo)^(qū)域?yàn)閿?shù)字時(shí)停止，求A和B兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)停止之后，兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和小于6的概率.

分析：首先根據(jù)題中已知條件分析題意，明確解題步驟以及順序，然后畫(huà)出樹(shù)狀圖（如圖2），列舉一次試驗(yàn)的所有可能性，再根據(jù)樹(shù)狀圖的最后一步明確m，n并代入P（A）=mn計(jì)算即可求出概率.

解：將“數(shù)字之和小于6”

記作事件M.

由圖2可知，

所有等可能的結(jié)果一共有12種，事件M包含的情況有6種.

故P（M）=612=12.

例4 如圖3所示，有兩個(gè)被平均分成三個(gè)扇形的裝置轉(zhuǎn)盤(pán)A和裝置B，裝置A上的數(shù)字是3，6，8，裝置B上的數(shù)字是4，5，7，小東和小明分別轉(zhuǎn)A盤(pán)、B盤(pán)，哪一方轉(zhuǎn)到的數(shù)字大則哪一方獲勝（指針若剛好在分割線上停止，則重新再轉(zhuǎn)一次，直到指針?biāo)^(qū)域?yàn)閿?shù)字時(shí)停止），請(qǐng)問(wèn)這個(gè)游戲公平嗎？

分析：該例題與例3相似，首先根據(jù)題中已知條件分析題意，明確解題步驟和順序，然后畫(huà)出樹(shù)狀圖，列舉出一次試驗(yàn)的所有可能性，再根據(jù)樹(shù)狀圖的最后一步明確m，n并代入P（A）=mn計(jì)算即可求出概率.

解：由圖4可知，一次試驗(yàn)的

所有等可能的結(jié)果一共有9種.

所以小東獲勝的概率為59，

小明獲勝的概率為49.

因此，這個(gè)游戲并不公平.

3 列表法

列表法適合有兩個(gè)步驟，每個(gè)步驟出現(xiàn)的結(jié)果可能性比較多，列舉每一種情況太繁雜時(shí)求概率的情況，通過(guò)表格列出所有等可能結(jié)果來(lái)求概率的一種方法.解題思路大致為：①分析題意，明確題中的步驟以及順序；②根據(jù)步驟和順序畫(huà)出表格，列出一次試驗(yàn)的所有可能性，③根據(jù)表中的所有可能性以及事件A出現(xiàn)的情況明確m，n并代入P（A）=mn計(jì)算即可求出概率［2］.具體解題思路和步驟如以下例題所示.

例5 轉(zhuǎn)動(dòng)如圖5所示的轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)分別都被平均分成五部分，各旋轉(zhuǎn)一次，將所得的數(shù)字相加，它們的和是3的倍數(shù)的概率是多少？

分析：首先根據(jù)題中已知條件分析題意，明確題中的步驟以及順序，然后畫(huà)出表格，列出一次試驗(yàn)的所有可能性，最后根據(jù)列表明確m，n并代入P（A）=mn計(jì)算即可求出概率.

解：將“它們的和是3的倍數(shù)”

記作事件M.

由表1可知，一次試驗(yàn)

所有可能出現(xiàn)的結(jié)果一共有25種，事件M包含的情況共有9種.

故P（M）=925.

根據(jù)上述不同的求概率問(wèn)題的例題分析，可以得到利用列舉法、畫(huà)樹(shù)狀圖法以及列表法求事件概率的方法.針對(duì)不同類(lèi)型問(wèn)題，采取相對(duì)應(yīng)的解題方法進(jìn)行解答.在解題過(guò)程中，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)問(wèn)題條件的分析應(yīng)用，借助已知條件和相關(guān)性質(zhì)去靈活解答，以此提高解題的效率；同時(shí)，也應(yīng)謹(jǐn)記各部分的注意事項(xiàng)，記住各種方法的適用范圍，在考試中靈活運(yùn)用，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.

參考文獻(xiàn)：

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