例析實際問題中的一元一次方程

呂慧娟

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，實際生活中包含著豐富的數學信息，數學在現實生活也有其自己的價值，在處理現實問題時，要能從數學視角使用數學知識和數學方法尋找解決問題的方案.近幾年，各省市中考對學生應用意識的考查逐漸加強，一元一次方程在實際問題中的應用是最簡單的應用類型，要求學生能首先審清題意，從題意中找出已知量與未知量，然后用代數式表示題中涉及的量，找出等量關系，列出方程，最后解一元一次方程求出未知數的值，通過檢驗得到符合題意的解.

1 購書方案中的一元一次方程

在圖書城購書，為了鼓勵人們多買書，圖書城會推出會員卡、貴賓卡.辦會員卡時的費用較少，但買書時得到的優惠也少；辦貴賓卡時的費用較多，但買書時得到的優惠也多.所以是否采用辦卡消費，辦什么卡最合算，必須根據購買圖書的數量來決定.當然也會出現不同消費方式費用一樣的現象，此時可以建立一元一次方程求出購買圖書的數量.

例1 為了開闊學生的視野，某校每個班級都準備開辟圖書園地，八（2）班的同學每人都捐一本書，班委會成員準備購買一些新書，其談話內容如下：

（1）班委A買的書，圖書城的利潤是多少？利潤率是多少？假如這位班委成員買了會員卡，能省多少錢？

（2）如果購買會員卡與購買貴賓卡得到同樣多的優惠，那么購書的總價（指未打折前的原價）是多少？

（3）在三種購書方式中，如果辦會員卡購書最省錢，求這批書的總價的范圍.

解析：（1）根據題意，可以計算出班委A上次買的一套書，圖書城的利潤和利潤率和他買一張會員卡時可以省下的錢.班委A購買圖書的利潤，就是售價減去進價，即60元，利潤率就是這套書的利潤除以進價，即60%.如果當時他辦一張會員卡，可省下160-（20+160×0.8）＝12（元）.

（2）根據“辦貴賓卡與辦會員卡購書得到一樣的優惠”，可以列出相應的方程求解.設購書的總價（指未打折前的原價）為x元時，則由辦貴賓卡與辦會員卡購書得到一樣的優惠，可得20+0.8x＝100+0.6x，解得x＝400.

因此，如果辦會員卡與辦貴賓卡得到同樣多的優惠，那么購書的總價是400元.

（3）根據題意，先算出辦會員卡與不辦卡花錢一樣多時購書的總價，然后再求范圍.設這批書的總價為y元，則20+0.8y＝y，解得y＝100.由（2）知，當購買400元的書時，兩種辦卡方式所花錢數相等.

因此，當購書總價在100元與400元之間時，辦會員卡購書最省錢.

評注：通過此題可以發現，當購書總價小于100元時，不辦卡最省錢；當購書總價在100～400元之間時，辦會員卡比較化算；當購書總價大于400元時，辦貴賓卡最省錢.而其中界點100元與400元，都必須根據一元一次方程求得.

2 動點運動中的一元一次方程

動點在數軸上運動時，根據運動的速度和時間，可以算出其運動的路程；根據動點出發時的坐標與運動路程，可得運動一定時間后動點的坐標.若兩個點同向而行，則兩動點的路程差等于兩點的距離；若兩個點相向而行，則兩動點的路程和等于兩點間的距離，據此建立一元一次方程可得運動的時間.

例2 ?如圖1，在數軸上點A表示的數為-30，點B表示的數為80.動點C從點A出發以每秒6個單位長度的速度沿正方向運動，動點D從原點出發以每秒4個單位長度的速度沿正方向運動，動點E從點B出發以每秒8個單位長度的速度先沿負方向運動，到達原點后立即按原速返回，三點同時出發.

（1）三個動點運動7秒時，C，D，E三點在數軸上所表示的數分別為________，________，________.

（2）當點D與點E距離為44個單位長度時，求此時點C在數軸上所表示的數.

（3）若點E回到點B時，三點停止運動，當三個動點運動過程中.

①是否存在某一時刻，點D在點C和點E之間，且與點C和點E的距離相等？若存在，請求出時間；若不存在，請說明理由.

②是否存在某一時刻，這三點中是否還有一點（除點D外）恰好在另外兩點之間，且與兩點的距離相等？若存在，請直接寫出時間；若不存在，請說明理由.

解析：（1）根據動點的運動速度、時間及出發點的坐標可得結果.點C表示的數為-30+6×7＝12，點D表示的數為4×7＝28，點E表示的數為80-8×7＝24.

（2）根據題意列出一元一次方程求解.設運動時間為t秒，則4t+8t＝80-44或|4t-80|=44（t＞10），解得t＝3或t=31.故點C表示的數為6×3-30＝-12，或6×31-30=156.

答：點C在數軸上所表示的數是42.

（3）根據動點在數軸上的運動列出一元一次方程即可求得結果.

①存在，時間是5秒或553秒.理由如下：設運動時間為t秒，則4t+30-6t＝80-8t-4t，解得t＝5或t=553.

②存在，時間為9513秒或354秒.理由如下：設運動時間為t秒，

當E為CD的中點時，由-30+6t+4t=2（80-8t）或-30+6t+4t=2（8t-80），解得t=9513或t=653（舍去）.

當C為ED的中點時，由4t+80-8t=2（-30+6t），解得t=354.

評注：由數軸上點的坐標，可以求出此點到原點的距離.在原點兩側的點，兩點之間距離等于它們坐標絕對值的和；在原點同側的點，兩點之間的距離等于它們坐標差的絕對值.對于數軸上的點，學會把點的坐標轉化為線段的長，或者由線段的長轉化為點的坐標.

3 日歷表中的一元一次方程

在日歷表里，左右相鄰的兩個數，差距為1，上下相鄰的兩個數，差距為7.如果用正方形框住四個數，那么左上與右下兩個數的差是8，右上與左下的兩個數的差是6.如果用一個十字架去框住五個數，那么已知這五個數的任意一個數可以算出其他四個數，設其中一個數為x，可以用代數式表示出其他四個數，已知這些數字的和，利用一元一次方程，可以求出其中每一個數字.

例3 某年十月份的月歷如圖2所示，如果用一個凹字型方框去框月歷中的數字，設被框住的數字分別是a1，a2，a，a3，a4.

（1）直接寫出a1=________，a3=________（用含a的式子表示）；a4-a2=________.

（2）如果將被圈住的五個數字相加，所得數字之和隨著凹字型的的移動有所不同，小明說可能為106，小敏說可能為90，你覺得他們誰說得對？

（3）如果凹字型被圈住的幾個數為b1，b2，b，b3，b4，且b等于a的2倍與1的和，那么符合條件的b的值有多少個？

解析：（1）因為a1=a-8，a2=a-1，a3=a+1，a4=a-6，所以a4-a2=a-6-（a-1）=-5.

故答案為：a-8；a+1；-5.

（2）由（a-8）+（a-1）+a+（a+1）+（a-6）=5a-14=106，解得a=24；由（a-8）+（a-1）+a+（a+1）+（a-6）=5a-14=90，解得a=20.8（不符合題意，舍去）.

故小明的說法對，小敏的說法不對.

（3）a的值可以為9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，因此2a+1的值可以為19，21，23，29，31，33，35，37，43，45，47，49，51，57，59，61.由于b的值可以為9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，且b=2a+1，因此b的值可以為21，23，29.

評注：在凹字型框住的五個數字里，凹頭的兩個數字差為2，凹底的三個數字相鄰兩個數字的差為1，凹字兩邊上下每對數字的差均為7.在觀察日歷表中不同圖形框住的幾個數字之間的規律時，只觀察數字之間的差即可，且任意觀察一種情況即可發現規律.

實際問題中的一元一次方程，還包括工程問題中的一元一次方程.在工程問題中，常需要利用各部分工作量之和等于總工作量建立方程，根據工作量等于工作時間與工作效率之積列代數式.在一元一次方程的應用中，還要注意設未知數的方法，能直接設未知數盡量直接設，對于直接設卻不易列方程的，可以找出關鍵的未知量設元或者設輔助元.在背景復雜的應用題中，要排除無關信息的干擾，善于抓住與數量有關的信息建立代數式或方程，從而求解.

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