例談軸對稱性質的應用

王光杰

軸對稱屬于全等變換，對稱軸兩旁的部分是全等的，據此，可以推出關于軸對稱的諸多性質，如“對稱點的連線被對稱軸垂直平分”“對應線段相等，對應角相等”“對稱點與對稱軸上任一點連線的夾角被對稱軸平分”等.只有明確這些性質，知道其應用于哪一方面，才能在中考中穩操勝券.

1 用“對稱點的連線段被對稱軸垂直平分”求線段長

由于在對稱軸兩側的部分能夠互相重合，因此，當對稱點連線后，兩對稱點到交點的距離相等，對稱點的連線被對稱軸垂直平分.

例1 如圖1，已知點M是∠AOB內任意一點，點M1，M關于OA對稱，點M2，M關于OB對稱，連結M1M2，分別交OA，OB于C，D兩點，連接MC，MD，若M1M2＝10 cm，求△MCD的周長.

分析：根據軸對稱圖形的性質，即“對稱點的連線被對稱軸垂直平分”，可得OA垂直平分MM1，OB垂直平分MM2.依據“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”，可得MC=M1C，MD＝M2D.于是△MCD的周長就轉化為線段M1M2的長.理由如下.由點M1，M關于OA對稱，可知OA垂直平分M1M，則MC＝M1C.同理，MD=M2D.所以△MCD的周長為MC+CD+MD＝M1C+CD+M2D＝M1M2＝10 cm.

點評：此題的圖形也是下面問題的作圖方法，即在已知角內有一點M，在角的兩邊上求作兩個點，使點M與這兩點構成的三角形周長最小.

變式練習1 如圖2，點P是∠AOB外一點，點M，N分別是∠AOB兩邊上的點，點P關于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關于OB的對稱點R落在線段MN的延長線上．若PM=2.5 cm，PN=3 cm，MN=4 cm，求線段QR的長．

答案：4.5 cm.

2 用“對稱點的連線段被對稱軸垂直平分”求角度

軸對稱的性質有多種應用，不僅能求得圖形中線段的長，而且可以求得角度，還可以用于證明.

例2 如圖3，在△ABC中，直線l交AB于點M，交BC于點N，點B關于直線l的對稱點D在線段BC上，且AD⊥MD，∠B=28°，求∠DAB的度數．

分析：因為點B關于直線l的對稱點是點D，根據對稱點的連線被對稱軸垂直平分，得直線l是線段DB的垂直平分線，所以MD=MB.根據等邊對等角，得∠MDB=∠B=28°.根據三角形外角的性質，得∠AMD=∠MDB+∠B=56°.在Rt△ADM中，根據三角形內角和定理，得∠DAB=90°-56°=34°．

點評：利用“對稱點的連線被對稱軸垂直平分”這一線段垂直平分線的性質，得到等腰三角形，自然就有等角了.

變式練習2 如圖4，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為外角∠BCD平分線上一動點（不與點C重合），點E關于直線BC的對稱點為F，連接BE，連接AF并延長交直線BE于點G．

（1）求證：AF=BE.

（2）用等式表示線段FG，EG與CE的數量關系，并證明．

答案：（1）略；（2）GE2+GF2=2CE2．

3 用“對應線段相等，對應角相等”求線段長

“對應線段相等，對應角相等”是軸對稱最基本的性質，在折疊問題中這個性質的應用最多.下面就是利用此性質解答的折疊問題.

例3 如圖5所示，AD是△ABC的中線，∠ADC＝60°，把△ADC沿直線AD折過來，點C落在點C′的位置.

（1）在圖中找出點C′，連接BC′；

（2）如果BC＝4，求BC′的長.

分析：我們知道，翻折前后的兩個圖形關于折痕成軸對稱圖形，點C與C′是對稱點，所以可以用“作垂線—截相等—描點”的方法作出點C′（如圖6）；根據成軸對稱的兩個圖形中“對應線段相等，對應角相等”，可得DC′=DC=BD=2，∠C′DA=∠CDA=60°，從而得到等邊三角形C′BD.

（1）作CO⊥AD并延長CO至點C′，使OC=OC′，點C′即為所求.

（2）連接C′D，則CD=C′D，∠ADC=∠ADC′=60°，所以∠BDC′=60°.由BD=DC=2，可得BD=C′D=2，則∠C′BD=∠BC′D=60°，可知△C′BD為等邊三角形，所以BC′=BD=2.

點評：因為軸對稱圖形中“對應線段相等，對應角相等”，所以圖形折疊后與中線相結合，可得到等腰三角形，而等腰三角形是初中學習的重要圖形，有關它的性質比較多.

例4 如圖7-1，△ABC的點C與C′關于AB對稱，點B與B′關于AC對稱，連接BB′，CC′，交于點O．

（1）如圖7-1，若∠BAC=30°，①求∠B′AC′的度數；②觀察并描述：△ABC′可以由△AB′C通過什么變換得來？求出∠BOC′的角度.

（2）如圖7-2，若∠BAC=α，點D，E分別在AB，AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE，CD交于點F，設∠BFD=β，試探索α與β之間的數量關系，并說明理由．

分析：（1）①因為點C，C′關于AB對稱，點B，B′關于AC對稱，由“對應線段相等，對應角相等”，得∠CAB=∠BAC′=∠CAB′=30°，所以∠B′AC′=90°．

②圖7-1中，設AC交BB′于點J．△ABC′可以由△AB′C繞點A順時針旋轉60°得到．因為AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′=60°，所以∠AB′O=∠ACO=60°.因為∠AJB′=∠OJC，所以∠B′OC=∠B′AJ=30°．故∠BOC′=30°.

（2）β=2α．理由：由軸對稱的性質，得BC=BC′，DC′=DC，∠ABC′=∠ABC.因為DC′∥BC，由“兩直線平行，內錯角相等”，得∠C′DB=∠ABC=∠C′BD，由等角對等邊，得C′D=C′B，所以BC=BC′=C′D=DC.根據四邊相等的四邊形是菱形，得四邊形BCDC′是菱形，所以CD∥BC′.同理BE∥CB′.所以∠FCB+∠CBC′=180°，即∠FCB+2∠ABC=180°.同理∠FBC+2∠ACB=180°，也即∠BFD=∠FBC+∠FCB，所以∠DFB=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=360°-2（∠ABC+∠ACB）＝2∠BAC.所以β=2α．

4 用“對稱點與對稱軸上任一點連線的夾角被對稱軸平分”求角度或周長

軸對稱的“對稱點與對稱軸上任一點連線的夾角被對稱軸平分”這一性質不經常用，常用在探究性質的問題中.

例5 如圖8，△ABC與△A′B′C′關于直線MN對稱，△A′B′C′和△A″B″C″關于直線EF對稱，直線MN與EF交于點O，試探究∠BOB″與直線MN，EF所夾銳角α的數量關系.

分析：連接OB′，OB″，OB，根據“對稱點與對稱軸上任一點連線的夾角被對稱軸平分”，可得兩組相等的角，即∠MOB=∠MOB′，∠FOB′=∠FOB″，據此可得∠BOB″=2∠MOB′+2∠FOB′=2（∠MOB′+∠FOB′）=2∠MOF=2α.

點評：此題也反映出軸對稱與旋轉的關系，即當兩條對稱軸相交時，兩次軸對稱相當于一次繞著交點旋轉對稱軸夾角的2倍度數.

圖9

變式練習3 如圖9，點P在∠AOB的內部，點C和點P關于OA對稱，點P關于OB對稱的點是D，連接CD交OA于點M，交OB于點N．

（1）①若∠AOB=60°，則∠COD=________°；

②若∠AOB=α，求∠COD的度數．

（2）若CD=4，則△PMN的周長為________．

答案：（1）①120；

②2α．

（2）4.

軸對稱是圖形變換之一，屬于全等變換，是中考的必考內容，它常與其他圖形結合起來考查，要求學生會運用運動的觀點看問題.

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