滲透建模思想，強(qiáng)化數(shù)學(xué)能力

雷業(yè)紅 王小琪

“數(shù)學(xué)發(fā)展的根本原動(dòng)力，它的最初根源，來(lái)自客觀實(shí)際的需要.”數(shù)學(xué)知識(shí)與生活緊密相關(guān)，是生活的抽象，并融入生產(chǎn)、生活，為人們的生產(chǎn)、生活提供幫助.數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的開(kāi)展，一方面能夠讓學(xué)生的思想更具建模意識(shí)，另一方面帶給學(xué)生解決問(wèn)題的思路，通過(guò)數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用為生活服務(wù).尤其在新課改理念下，滲透建模思想，能讓數(shù)學(xué)教學(xué)的開(kāi)展更具實(shí)效，讓數(shù)學(xué)教學(xué)成為學(xué)生能力發(fā)展的動(dòng)力［1］.

1 初中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)發(fā)展的重要性

1.1 培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)教學(xué)的開(kāi)展并非單純的知識(shí)講解，而是數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，讓學(xué)生因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)而擁有信息分析、獨(dú)立思考、數(shù)學(xué)應(yīng)用等多種能力，能夠真正形成數(shù)學(xué)思維體系.數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展能夠讓學(xué)生逐漸具備數(shù)學(xué)思維，能夠借助數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用實(shí)現(xiàn)能力的更好發(fā)展，推動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)與生活相結(jié)合.

1.2 解決生活問(wèn)題

數(shù)學(xué)知識(shí)從生活中而來(lái)，最終還是要回歸到生活之中.只有讓數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中發(fā)揮作用，才能讓數(shù)學(xué)知識(shí)的價(jià)值得以體現(xiàn).數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展，能夠讓學(xué)生尋找到解決生活問(wèn)題的突破口，帶給學(xué)生思維上的啟發(fā)，不僅能夠讓學(xué)生的問(wèn)題解決能力得以發(fā)展，而且能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的更好應(yīng)用，帶給學(xué)生問(wèn)題解決的多視角拓展［2］.

1.3 激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

從某一個(gè)方面來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)較為枯燥，很多疑難問(wèn)題往往會(huì)阻礙學(xué)生對(duì)知識(shí)的進(jìn)一步探究.數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的發(fā)展則為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)提供助力.很多復(fù)雜問(wèn)題能夠通過(guò)建模方式變得簡(jiǎn)便，很多疑難問(wèn)題能夠通過(guò)建模方式迎刃而解.這樣能

增加學(xué)習(xí)的趣味性，降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，幫助學(xué)生消除學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的畏懼之心，從而建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)信心.

2 初中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)發(fā)展的路徑

2.1 建立幾何模型

初中階段學(xué)習(xí)內(nèi)容眾多，如相似三角形、勾股定理、坐標(biāo)等，這些知識(shí)的學(xué)習(xí)都離不開(kāi)幾何模型的構(gòu)建.引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建幾何模型，能夠讓學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)得以提升，形成數(shù)形結(jié)合思想.

例1 一艘海上巡邏艦在海上A處航行，突然接到海上B處指揮中心電話，告知海上有一艘漁船遇險(xiǎn)，需要緊急救援.現(xiàn)在得知漁船在指揮中心北偏西60°方向的C處，與巡邏艦相對(duì)比，在巡邏艦北偏西30°方向，海上巡邏艦經(jīng)過(guò)定位，發(fā)現(xiàn)自己在指揮中心北偏西75°方向，測(cè)算之后海上巡邏艦與指揮中心之間的距離為12 n mile，你可以算出海上巡邏艦與待救援漁船之間的距離嗎？（結(jié)果精確到0.1 n mile.）

此題為航海問(wèn)題，本質(zhì)是考查斜三角形的知識(shí).結(jié)合題目構(gòu)建斜三角形，如圖1所示.

結(jié)合構(gòu)建的幾何模型，可以得知本題需要計(jì)算A與C之間的距離，則

過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CA，交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，如圖2.

由題意知，∠ACB=60°-30°=30°，∠ABC=75°-60°=15°，所以

∠DAB=∠DBA=45°.

在Rt△ABD中，AB=12，∠DAB=45°，所以

BD=AD=ABcos 45°=62.

在Rt△CBD中，CD=BDtan 30°=66.

所以AC=66－62≈6.2（n mile）

故漁船與巡邏船之間相距約6.2 n mile.

通過(guò)這樣一道典型例題，引導(dǎo)學(xué)生形成幾何模型構(gòu)建思維，讓學(xué)生了解生活中的很多問(wèn)題都可以借助幾何模型解決，同時(shí)體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，感受數(shù)與形之間的關(guān)系.

2.2 建立方程模型

一元一次方程、一元二次方程、不等式是初中階段的必學(xué)內(nèi)容，這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)均可以轉(zhuǎn)化為方程模型.通過(guò)方程模型的構(gòu)建，引導(dǎo)學(xué)生逐漸形成方程模型構(gòu)建思維，進(jìn)而利用方程模型解決相應(yīng)問(wèn)題.

例2 A超市和B超市準(zhǔn)備從市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)石榴進(jìn)行銷售.已知A超市與B超市購(gòu)買(mǎi)石榴的預(yù)算均為3 000元，且采用不同的方式售賣(mài)石榴.A超市依照石榴的大小進(jìn)行銷售，其中大石榴共計(jì)400 kg，大石榴按進(jìn)價(jià)的2倍銷售，小石榴的售價(jià)則高于進(jìn)價(jià)的10%；B超市觀察A超市的銷售方案之后，所有石榴均按A超市石榴的平均售價(jià)銷售.兩超市石榴售罄之后，A超市盈利2 100元（忽略其他投入成本），那么：（1）石榴進(jìn)價(jià)是多少？（2）哪個(gè)超市銷售方案盈利更多？

結(jié)合題目構(gòu)建方程模型：

設(shè)石榴進(jìn)價(jià)為x元/kg，則方程為

400x+10%x3 000x－400=2 100.

解得x=5.

經(jīng)檢驗(yàn)，得石榴進(jìn)價(jià)為5元 /kg.

再結(jié)合題目信息，可得B超市盈利為

600×10+5.52－5=1 650（元）.

因?yàn)锳超市盈利2 100元，所以A超市銷售方案盈利更多.

方程模型在實(shí)際問(wèn)題的解決中并不少見(jiàn)，但需要注意用方程模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)驗(yàn)證過(guò)程不可或缺.

2.3 建立函數(shù)模型

初中階段學(xué)生還將學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等知識(shí)，針對(duì)最值問(wèn)題則可以通過(guò)函數(shù)模型的構(gòu)建予以解決.函數(shù)模型的建立，能夠深化學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的認(rèn)知，理解函數(shù)的意義.在解決問(wèn)題的過(guò)程中滲透函數(shù)思想，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系的構(gòu)建、建模理念的深化都具有重要影響.

例3 如今中學(xué)生課余生活豐富，很多學(xué)生喜歡騎行，山地車(chē)也深受學(xué)生歡迎.某車(chē)行銷售的A品牌山地車(chē)，在去年銷售總額達(dá)到了5萬(wàn)元，為推動(dòng)A品牌市場(chǎng)占有率，今年A品牌山地車(chē)相比較去年每輛售價(jià)降價(jià)400元，但是銷量并沒(méi)有提升，而是與去年持平，使得銷售總額降低了兩成.該車(chē)行計(jì)劃新進(jìn)一批B品牌山地車(chē)，兩種品牌車(chē)輛共計(jì)60輛.為控制成本，B品牌山地車(chē)進(jìn)貨數(shù)量不會(huì)超過(guò)A品牌山地車(chē)數(shù)量的2倍，請(qǐng)你結(jié)合表1設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，使這批車(chē)盈利最大.

結(jié)合題目信息，假設(shè)今年A品牌山地車(chē)每輛售價(jià)為x元，則去年每輛售價(jià)為（x+400）元，根據(jù)題意可得

50 000x+400=50 000（1－20%）x，

解得x=1 600.

設(shè)今年新進(jìn)A品牌山地車(chē)為a輛，則B品牌山地車(chē)為（60-a）輛，這批車(chē)盈利為y元，則有

y=（1 600－1 100）a+（2 000－1 400）（60－a），

y=－100a+36 000.

又60-a≤2a，解得

a≥20.

依照一次函數(shù)的增減性，當(dāng)a=20時(shí)，ymax=34 000（元）.

所以A品牌山地車(chē)進(jìn)貨20輛、B品牌山地車(chē)進(jìn)貨40輛時(shí)，這批車(chē)盈利最大.

利用函數(shù)的增減性，能夠很好地解決生活中所遇到的利潤(rùn)、成本等最值問(wèn)題.將很多生活中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型予以解決，能夠讓學(xué)生的函數(shù)模型思想逐漸形成并建立.

3 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)建模教學(xué)的開(kāi)展，知識(shí)的立體化是知識(shí)滲透之路徑，是學(xué)生難點(diǎn)突破之方法，是生活問(wèn)題解決之策略.教師需要更加深度理解數(shù)學(xué)模型構(gòu)建理念，了解學(xué)生實(shí)際情況，從幾何模型、方程模型、函數(shù)模型等視角入手，教授學(xué)生建模方法，推動(dòng)學(xué)生主動(dòng)探索，引導(dǎo)學(xué)生尋找適合自己的數(shù)學(xué)建模方式.相信隨著數(shù)學(xué)建模思想的滲透，多種教學(xué)方法的應(yīng)用，初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量也將不斷攀升，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力也將不斷得到提高.

參考文獻(xiàn)：

［1］牛新榮.初中數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)研究——例談建構(gòu)主義學(xué)習(xí)環(huán)境下的初中數(shù)學(xué)建模活動(dòng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（18）：92-93.

［2］姚群.基于數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)初中生核心素養(yǎng)策略探究——以“制作一個(gè)五角星”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（18）：94-95.

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