《自動控制原理》課程中系統穩定性分析的“一例多解”教學方法探究

摘" 要：由于《自動控制原理》課程的理論知識具有邏輯性強、涉及面廣且較為抽象的特點，其在培養學生的邏輯和思維能力方面起著重要的作用，但是內容多、學時少、課堂信息量大，使得學生難以及時有效地消化課堂內容。如何幫助學生更好地掌握課程中的知識點，從而對自動控制系統進行分析與設計，是教學方法亟需改進重點。筆者以系統穩定性分析為例，將“一例多解”教學方法應用其中，既緩解了對知識點難以理解的問題，又為例題在進行穩定性分析時尋求了多種途徑。此外，也解決了教學手段單一的不足，加強了課堂教學質量，提升了學生靈活應用不同方案解決問題的思考能力。這種方法的應用，也可以放在該門課程的其他知識點的學習上，以及擴展到其他課程的教學中，應用效果非常好，可以廣泛使用。

關鍵詞：自動控制原理；一例多解；系統穩定性

1 概述

隨著經濟的發展，自動控制技術在各個領域的應用越來越廣泛，如工業自動化、測控技術、機器人技術、建筑與智能家居等方面。雖然隨著技術革命和大規模復雜系統的發展，促使控制理論向智能控制理論發展。但經典控制理論的形成，對控制科學的發展起到不可磨滅的推動作用。《自動控制原理》課程是作為高等理工科院校的專業核心課程之一，《自動控制原理》課程主要學習的重點是經典控制理論相關知識[1]，它是以系統的數學模型為基本框架，以時域分析、根軌跡法和頻域分析法為主要分析和設計工具，在控制理論的分析中，“穩、快、準”貫穿始終[1，2，3]。由于課程教學內容量大、理論性強、知識抽象，學生時有難以及時消化。在教學中存在著教師難教、學生難學的現象[4，5]。針對以上問題，筆者以系統的穩定性分析為例，將“一例多解”教學方法應用其中[6，7，8]，歸納總結了五種穩定性分析的方法，供大家參考。

2 系統的穩定性

盡管自動控制系統的類型和特殊要求各不相同，但無論哪種類型的系統，在已知系統結構和參數的情況下，總是對系統在特定輸入信號下的被控量的變化過程感興趣[1]。然而，不論系統類型如何，對被控量變化過程的基本要求都可以歸結為穩定性、快速性和準確性，即“穩、快、準”的要求。

穩定性是自動控制系統的重要性能指標，也是系統能夠正常可靠運行的必備條件。它描述了系統在初始條件下是否收斂，并且與輸入無關[2]。如果控制系統不穩定，即使受到微小的擾動，它也會偏離原來的平衡狀態，并隨時間推移而發散。因此，穩定性分析是自動控制理論的基本任務之一。根據經典控制理論，只有漸近穩定的系統才被認為是穩定的，否則被視為不穩定系統[3]。

線性系統穩定的充分必要條件是閉環系統特征方程的所有根都具有負實部，或者說閉環傳遞函數的極點都位于左半平面。

3 穩定性分析方法

根據穩定性的充分必要條件可知，對于線性系統進行穩定性判定時需要求解系統的所有特征根。然而，對于高階系統而言，求解全部特征根的過程可能會變得異常復雜和困難。因此在自動控制理論中，根據數學模型的不同形式（傳遞函數（時域）、根軌跡（復數域）、頻率響應（頻域）），間接判斷系統特征根，進而分析系統的穩定性。

傳遞函數：自動控制系統通常可以用傳遞函數表示。傳遞函數是輸入和輸出之間的關系，它描述了系統對輸入信號的響應。通過傳遞函數分析，可以確定系統的極點和零點，從而判斷系統的穩定性。

根軌跡：由極點所形成的連續曲線。系統的極點是傳遞函數的分母多項式的根，它們決定了系統的動態響應。如果系統的所有極點都位于左半平面（具有負實部），則系統是穩定的；如果存在極點位于右半平面（具有正實部），則系統是不穩定的。

頻率響應：頻率響應描述了系統對不同頻率輸入信號的響應。常見的頻率響應分析方法包括Bode圖和Nyquist圖。通過分析頻率響應曲線，可以確定系統的幅值裕度和相角裕度，以判斷系統的穩定性。

下面將簡要介紹自動控制系統的穩定性判定方法。

3.1 Hurwitz穩定判據

設線性系統的特征方程為

根據Hurwitz穩定判據，若線性系統穩定則由系統特征方程各項系數所構成的主行列式為正以及其順序主子式也全部為正。

3.2 Routh穩定判據

Routh穩定判據則是通過列寫Routh表，對系統穩定性進行判斷。按照Routh穩定判據，線性系統穩定的充分必要條件是Routh表中第一列所列寫的各值均需為正，如果Routh表第一列中出現小于零的數值，則系統不穩定。

Hurwitz和Routh穩定判據均通過使用系統的特征方程的系數，判斷系統的極點是否位于左半平面，從而確定系統的穩定性。

3.3 根軌跡法

根軌跡是一種用于分析控制系統穩定性的圖解方法，具有可視化和直觀的特點。根軌跡是由極點所形成的連續曲線，描述了系統的全部穩定情況。根軌跡法的基本任務在于由已知的開環零、極點的分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環極點。根據根軌跡的形狀和分布判定系統的穩定性。一般來說，當系統的根軌跡沒有穿過右半平面（實部為正）時，系統是穩定的。如果根軌跡與虛軸有交點，系統是不穩定的。

3.4 Nyquist穩定判據

反饋控制系統穩定的充分必要條件是半閉合曲線不穿過點且逆時針包圍臨界點點的圈數等于開環傳遞函數的正實部極點數。

由幅角原理可知，閉合曲線包圍函數的零點數即反饋控制系統正實部極點數為

其中，為半閉合曲線穿越點左側的次數，為正穿越的次數和（從上往下穿越），為負穿越的次數和（從下往上穿越）。

3.5 對數頻率穩定判據

利用對數頻率特性曲線，判斷系統穩定性，稱為對數頻率穩定判據。設為開環系統正實部的極點數，反饋控制系統穩定的充分必要條件是和時，曲線穿越線的次數，滿足

其中，為曲線穿越線的次數，為時曲線從下往上穿越線的次數，為時曲線從上往下穿越線的次數。

4 舉例說明

例題：已知單位反饋控制系統的開環傳遞函數如下，

試采用不同的方法分析該系統的穩定性。

解法一：Hurwitz穩定判據

由系統開環傳遞函數可知，該系統的閉環特征方程為

根據Hurwitz穩定判據，列寫由系統特征方程各項系數所構成的主行列式

為保證系統穩定，需要求主行列式以及順序主子式均為正。因此，可求得當或時，系統穩定。

解法二：Routh穩定判據

利用Routh穩定判據來判定系統的穩定性，列出Routh表如下

根據根軌跡繪制的基本法則，可求解出根軌跡的起點和終點、根軌跡的分支數、根軌跡的漸近線、在實軸上分布的根軌跡、分離點和分離角、根軌跡的起始角和終止角、根軌跡與虛軸的交點，進而繪制出概略根軌跡。

在此過程中，通過判斷根軌跡與虛軸是否有交點以及交點處的根軌跡增益，即可判斷系統穩定所需滿足的條件。

由于在右半平面的極點數，由Nyquist穩定判據可知，若使閉環系統穩定，系統的Nyquist曲線正、負穿越點左側的次數應相等。由圖2所示，若使系統閉環穩定，則應取

根據對數頻率穩定判據，在頻段，對數相頻特性曲線穿越線的正負穿越次數相等時，系統穩定。由圖3所示，對數相頻特性曲線可得與線有三個交點，可得相應的穿越頻率，即

根據對數幅頻公式可知，開環對數幅頻曲線，隨著的變化，進行上下平移。為了使得系統穩定，開環增益需要滿足

對于系統穩定性分析，根據例題可以看出，這五種方法各具特色。考慮系統數學模型為時域情況時，對于低階系統，Hurwitz穩定判據進行系統穩定性判定時相對簡單，然而對于高階系統計算代價顯著增加，此時，用Routh穩定判據可較為容易判定。根軌跡方法能夠清晰的得到根軌跡與系統性能之間的關系以及開環零、極點在平面的分布情況。考慮數學模型為頻域情況時，通過繪制開環幅相特性曲線，根據Nyquist穩定判據，判定Nyquist曲線穿越的次數情況，進而求解滿足穩定的條件，亦可根據對數頻率穩定判據進行判定。因此，在實際中，可根據具體題目，給定條件，有所選擇性地使用。

結語

本文針對《自動控制原理》課程的教學過程中，存在的教學內容量大、內容結構緊密、理論性強、知識點抽象等特點，以求解分析系統穩定性為例，將“一例多解”教學方法應用到課堂教學中，歸納總結五種分析系統穩定性的方法，既緩解了知識難以理解的問題，也為例題求解尋求了多種思路，解決了教學手段單一的不足，能夠讓師生在教學與學習的過程中，加強學生的發散思維、調動學生的積極性、轉變學生的學習方式，從而提高學習的成效。

參考文獻：

[1]胡壽松. 自動控制原理[M]. 第七版. 北京： 科學出版社， 2019.

[2]王建輝， 顧樹生. 自動控制原理[M]. 第二版. 北京： 清華大學出版社， 2014.

[3][美] Gene F. Franklin， J.David Powell， Abbas Emami-Naeini， 自動控制原理與設計[M]. 第六版. 李中華， 譯. 北京：電子工業出版社.

[4] 林志新， 王竹筠. 試談課堂討論策略[J]. 中國大學教學， 2021， （9）： 12-16.

[5]蘇磊， 夏榮盛， 李峰， 等. 自動化專業自動控制原理課程教學改革探究[J]. 安徽工業大學學報（社會科學版）， 2022， 39（02）： 71-72.

[6]欒秀春， 高璞珍， 王曉鶯， 等. 案例教學法在工科專業數學課程教學中的應用[J]. 高等工程教育研究， 2021， （3）： 169-172.

[7]薛鵬， 程輝， 郭會平. 自控原理課程的“一例到底”教學設計[J]. 科技風， 2020（20）： 33-41.

[8]張萍， 吳楠， 邢蕾. “自動控制原理”課程傳遞函數求解中“一例多解”教學方法的探究[J]. 科技視界， 2022， （26）：95-97.

基金項目：安徽省新時代育人質量工程研究生教育教學改革研究項目重點項目《“雙一流”創建背景下控制類基礎課程教學改革與實踐》（項目編號：2022jyjxggyj258）

作者簡介：邵騰（1991—" ），男，漢族，安徽亳州人，博士，講師，研究方向：狀態估計、信息融合、目標跟蹤；朱洪波（1988—" ），男，漢族，安徽舒城人，博士，副教授，研究方向：移動機器人定位、導航與控制，移動無線傳感器網絡信息融合理論與方法。