解析幾何中的距離和、差的最值問題

徐滿紅

【摘 要】? 解析幾何中距離和差的最值問題是用幾何的方法研究代數，數與形的有效結合，蘊含著豐富的數學思想方法.

【關鍵詞】 ?距離和;距離差;核心素養.

1? 縱向聯系

回顧初中學習的將軍飲馬問題.

方法總結 ?（1）關注定點與直線的位置關系，對于線段之和，將定點轉換到直線的異側，而對于線段之差，需將兩定點轉換到直線的同側.兩條線段的和與差的最值狀態均是三點共線；

2? 橫向比較

2.1? 圓錐曲線

類型1 ?兩定點在圓錐曲線的同側

分析 ?線段和最短問題，如果能將兩個定點放到曲線的兩側，問題就會變得很簡單.因此，聯系將軍飲馬問題的解決方法，我們思考的重點就變成了如何將其中一個定點轉換到曲線的另一側.但是，曲線無法做對稱，而橢圓作為一個封閉的圖形，兩個焦點都在橢圓的同一側，可以利用橢圓定義（橢圓上的點到兩焦點距離之

分析? 對于線段之差最值問題，兩個定點又在曲線的同側，問題就會變得很簡單，三點共線就能解決線段差的最值問題.

分析 ?此類問題最顯著的特征是動點與焦點

類型2? 兩定點在圓錐曲線的異側

方法總結? （1）若兩線段前系數相同，直接求解或利用橢圓（或雙曲線、拋物線）的定義進行適當轉化后求解.

若兩線段前系數不同，利用圓錐曲線的統一定義，將圓錐

曲線上的動點到焦點的距離與到相應準線的距離進行互化后，達到系數一致再求解.

2.2? 圓

解法1? 相似三角形

解法2 ?尼斯圓定義轉換

評析 ?解析幾何中距離和差的最值問題是用幾何的方法研究代數，數與形的有效結合，蘊含著豐富的數學思想方法，方法靈活，綜合性強，難點大，是培養學生數學運算、邏輯推理、數學抽象、直觀想象等核心素養的重要載體.能夠形成高級思維，培養邏輯化，批判性地多方面思考問題的能力.

本專題小切口，深層次，通過縱向聯系，橫向比較，通過對問題進行的垂直變式【1】，多題一解，多題歸一，使解決問題的思維水平呈直線型向縱深發展，不僅使學習者完成知識從局部到整體，從單一到多元，從簡單到復雜的提升，也使數學思維從膚淺達到了深刻，是邏輯體系的教學.

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