用畫長方形圖法巧解“雞兔同籠”問題

張富強 王春林

“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的數學趣題，最早出現在《孫子算經》中。在小學階段教學此問題，主要目的是引導學生通過猜測、列表、畫圖、假設、轉化等方法解決問題，培養學生有序思考及邏輯推理能力。筆者以畫長方形圖法幫助學生理解“雞兔同籠”問題，提高學生解決問題的能力。

一、以畫長方形圖法直觀地分析、解決問題

教學“雞兔同籠”問題，教師常用的畫圖法是用一個小圓圈代表雞和兔的頭，在圓圈的下面畫2條或4條短線分別代表雞腳的只數、兔腳的只數。這樣的畫圖法美中不足的地方在于籠中動物的頭數不能太多，否則畫起來費時、費力。為了避免這個問題，筆者在教學“雞兔同籠”問題時引入畫長方形圖法（如圖1）。

圖1中，黑色、藍色長方形的長分別代表雞、兔的頭數，寬分別代表每只雞有2只腳、每只兔有4只腳，兩個長方形長的和代表雞和兔共有35個頭，兩個長方形的總面積代表雞和兔的總腳數94只。這樣就把“雞兔同籠”問題轉化成已知兩個長方形的面積與長的和，以及每個長方形的寬，求每個長方形的長是多少。

二、借助畫長方形圖法理解、掌握假設法

假設法是解決“雞兔同籠”問題最常用的方法，也是本課的教學重點；體會假設法的邏輯性和一般性是本課的教學難點。教學中，不少學生不明白“假設都是雞（兔），先求出來的是兔（雞）的只數”的道理。教師如果借助上面所畫的長方形圖引導學生分析問題，學生就比較容易理解、把握假設法的本質，進而順利地解決這些問題。

圖1實際上是一個組合圖形，求這樣的組合圖形面積，學生已經掌握了許多種方法。其中，分割法和填補法正好與假設法的兩種假設情況相對應，有利于學生理解、掌握假設法。

如圖2，假設籠子里35只動物都是雞，就把圖中的長方形用紅線橫著分割一下。

上面組合圖形被紅線分成①和②兩個長方形。長方形①的面積是“35×2=70”，就是有70只腳。長方形②的面積是“94-70=24”，就是比實際少了24只腳，需要增加兔的只數，同時對應減少雞的只數。長方形②的寬是“4-2=2”，就是每增加1只兔即減少1只雞，腳的總數增加2只。長方形②的長是“24÷2=12”，就是需要增加的兔的只數是12只。從長方形②中可以看出，先求出來的是兔的只數，最后用“35-12=23”求出雞有23只。

再如，假設籠子里35只動物都是兔，如圖3所示，把圖中長方形左上角用黃線補一個小的長方形即長方形③，湊成一個大長方形。

圖3

圖3中，最大長方形的面積是“35×4=140”，就是有140只腳。黃色長方形③的面積是“140-94=46”，就是比實際多了46只腳，需要減少兔的只數，同時對應增加雞的只數。長方形③的寬是“4-2=2”，就是每減少1只兔即增加1只雞，腳的總數減少2只。長方形③的長是“46÷2=23”，就是需要增加的雞的只數是23只。從長方形③中可以看出，先求出來的是雞的只數，最后用“35-23=12”求出兔的只數為12只。

假設法比較抽象，借助畫長方形圖，學生可以便捷地解決問題，把握假設法的本質。

三、拓展運用畫長方形圖法，培養創新意識

教師可以設計項目化學習，先引導學生拓展運用畫長方形圖法，使它成為解決“雞兔同籠”問題的主要方法，再引導學生通過變式練習建立“龜鶴問題”“坐船問題”“植樹問題”“答題問題”等與“雞兔同籠”問題的聯系，靈活地運用畫長方形圖法解決這類問題，使它成為學生思考與解決問題的一種重要方法，從而拓展學生的數學思維，培養學生的創新意識。

教師可以利用信息技術使圖1中表示雞、兔的長方形的大小動態變化，使學生直觀地感知如果雞的只數增加，兔的只數減少，籠子里腳的總只數也隨著減少；如果雞的只數減少，兔的只數增加，籠子里的腳的總只數反而增加，但無論怎樣變化，每只雞和兔的腳的總數總是相差2只。

教師還可以利用人教版數學四年級下冊“雞兔同籠”中的“閱讀材料”引導學生了解“抬腳法”：你知道古人是怎樣解決“雞兔同籠”問題的嗎？（指《孫子算經》中的原題）假設讓雞抬起一只腳，兔抬起兩只腳，還有“94÷2=47”只腳；這時每只雞一只腳，每只兔兩只腳，籠子里只要有一只兔，那么腳的總數就比頭的總數多1；這時腳的總數與頭的總數之差為“47-35=12”，兔的只數就是12。抬腳法也可以用畫長方形圖法來理表示，只要將圖1中表示雞腳、兔腳數量的長方形的寬分別變成1和2，就可以幫助學生輕松地掌握這種方法，進一步感悟我國古代數學家的智慧。

“雞兔同籠”問題還可以用方程法解答，但不少學生找不到題目中隱含的等量關系。教師可以引導學生借助畫長方形圖直觀地找出等量關系。通過觀察圖1，依據表示雞、兔只數的長方形的兩條長與35個頭的關系，可以得出“雞的只數+兔的只數=雞、兔的總只數‘35”；依據表示雞、兔腳數的長方形的面積與94只腳的關系，借助長方形面積計算公式，可以很容易地得出“雞的只數×2+兔的只數×4=腳的總只數‘94”。如果設兔有x只，那么雞就有“35-x”只。根據等量關系列方程“2（35-x）+4x=94”，解方程得“x=12”，即兔有12只，再用“35-12=23”求出雞有23只。這樣，教師利用畫長方形圖法幫助學生找到了數量關系，順利地用方程法解決了問題。

（作者單位：老河口市實驗小學）

責任編輯? 張敏