以遞進(jìn)式探究問題引領(lǐng)思維進(jìn)階

李冬梅

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，好的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)在數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過程中充滿數(shù)學(xué)思維. 因此，教師要重視問題的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生親歷知識(shí)形成的過程，以此幫助學(xué)生理解知識(shí)的來龍去脈，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維能力在問題的探究中得以發(fā)展和提升.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)思考；形成過程

數(shù)學(xué)概念、公式、定理等是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系的核心內(nèi)容，是數(shù)學(xué)發(fā)展長河中留下的寶貴財(cái)富. 基于此，教學(xué)中應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生參與知識(shí)形成的過程，讓學(xué)生在理解知識(shí)的同時(shí)，認(rèn)清背后所蘊(yùn)含的思想方法，明確數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)以及內(nèi)部聯(lián)系，促使學(xué)生的思維向高階進(jìn)階.

問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂，是催化思考、引發(fā)探究的源泉. 在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情創(chuàng)設(shè)有價(jià)值的問題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與知識(shí)形成的過程，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動(dòng)下促成深度學(xué)習(xí)，切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 在教學(xué)“直線的傾斜角與斜率（第1課時(shí)）”時(shí)，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)際創(chuàng)設(shè)問題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與知識(shí)的建構(gòu)，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、發(fā)展學(xué)生思維能力等方面取得了較好的效果，現(xiàn)將教學(xué)過程呈現(xiàn)給大家，若有不足，請指正！

教學(xué)分析

1. 教學(xué)內(nèi)容分析

本課內(nèi)容是高中平面解析幾何的開始，其在教學(xué)中的地位和作用是不言而喻的. 直線的傾斜角是這一章節(jié)所有概念的基礎(chǔ)，而斜率是這一章節(jié)概念的核心，理解直線傾斜角和斜率的概念是學(xué)習(xí)本章節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵. 同時(shí)本課內(nèi)容也是后續(xù)研究直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離的基礎(chǔ). 另外，通過本課的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生體會(huì)坐標(biāo)法的初步應(yīng)用，初步形成用代數(shù)法研究幾何問題的能力.

2. 教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握直線傾斜角和斜率的概念，明晰兩者的區(qū)別與聯(lián)系，會(huì)用斜率公式解決簡單的問題；

（2）體會(huì)用代數(shù)法研究幾何問題的必要性，滲透幾何問題代數(shù)化的解析幾何思想；

（3）通過親歷斜率公式推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的分類討論意識(shí)，提高學(xué)生的自主探究能力.

3. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

（1）理解并掌握傾斜角和斜率的概念；

（2）用代數(shù)法推導(dǎo)斜率公式.

教學(xué)過程

1. 體會(huì)傾斜角概念形成的過程

問題1 在平面直角坐標(biāo)系中，確定一條直線的幾何要素有哪些？

筆者先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后點(diǎn)名讓學(xué)生回答，最后共同歸納總結(jié)，確定一條直線有兩種方式：①已知兩點(diǎn)可以確定一條直線；②已知一點(diǎn)和一個(gè)方向可以確定一條直線.

問題2 如圖1所示，過點(diǎn)O作兩條直線，試比較兩條直線的傾斜程度.

該問題旨在通過對比分析讓學(xué)生明確確定基準(zhǔn)的必要性. 在教學(xué)中，筆者沒有直接將規(guī)定呈現(xiàn)給學(xué)生，而是通過互動(dòng)交流讓學(xué)生親身體會(huì)，讓學(xué)習(xí)自然而然地發(fā)生. 教學(xué)片段如下：

師：說一說你的理由.

師：哦！如果我將兩條直線轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，你又有什么發(fā)現(xiàn)呢？（出示圖2）

師：其實(shí)剛剛在判斷直線的傾斜程度時(shí)，沒有明確水平位置，所以解釋起來比較困難. 如圖3所示，現(xiàn)將未旋轉(zhuǎn)的兩條直線放入平面直角坐標(biāo)系中，此時(shí)如果用數(shù)學(xué)語言描述其傾斜程度，你覺得用哪種數(shù)學(xué)量來刻畫比較好呢？

生3：可以用直線與x軸的夾角來刻畫.

師：哦，是嗎？如圖4所示，此時(shí)兩條直線的傾斜程度是否相同呢？

生3：兩條直線與x軸的夾角都是60°，相同吧？

生4：如果相同就是一個(gè)角對應(yīng)兩條直線，也就很難做到一一對應(yīng)了.

師：很好，分析得非常有道理，為了做到一一對應(yīng)，規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角. 現(xiàn)在你們認(rèn)為，圖4中兩條直線的傾斜程度還相同嗎？

生齊聲答：不相同.

筆者用PPT給出傾斜角的概念，讓學(xué)生進(jìn)一步理解和記憶.

設(shè)計(jì)意圖 筆者沒有直接給出傾斜角的概念，而是巧設(shè)問題引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注研究問題的標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生在互動(dòng)交流中體會(huì)傾斜角的基本特征，形成傾斜角的概念，為接下來探究活動(dòng)的開展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2. 明確代數(shù)法研究的必要性

問題給出后，筆者預(yù)留充足的時(shí)間讓學(xué)生自主探究，然后與學(xué)生互動(dòng)交流.

生5：看上去兩條直線是平行的，所以它們的傾斜角一樣大.

師：如果讓你去驗(yàn)證，你想如何驗(yàn)證呢？

生5：可以用量角器量傾斜角.

師：哦，是個(gè)辦法，不過我們知道測量一般會(huì)產(chǎn)生一定誤差，有沒有其他辦法可以精準(zhǔn)確定它們的大小呢？

生6：測量有誤差，可以嘗試用計(jì)算的方法來解決.

師：說說你的思路.

生6：可以根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算傾斜角的三角函數(shù)值，這樣通過比較三角函數(shù)值就可以知道哪條直線的傾斜角更大一些了.

師：非常好，你想利用哪個(gè)三角函數(shù)值來比較呢？

生6：我想利用正弦值來比較.

師：計(jì)算正弦值時(shí)可能會(huì)遇到哪些麻煩呢？

生6：求A，B兩點(diǎn)之間的距離比較麻煩.

師：有沒有什么辦法可以不用計(jì)算A，B兩點(diǎn)之間的距離呢？

生7：計(jì)算正切值就可以規(guī)避這一麻煩，只需要知道兩點(diǎn)坐標(biāo)就可以得到傾斜角的大小.

師：請說一說你的求解過程.

師：很好，這里的正切值我們稱為斜率.

筆者用PPT給出斜率的定義（內(nèi)容略）.

問題4 根據(jù)以上探究結(jié)果可知，傾斜角和斜率都可以刻畫直線的傾斜程度，兩者有何不同？你認(rèn)為用哪個(gè)量刻畫更優(yōu)越呢？

學(xué)生通過交流一致認(rèn)為，用斜率來刻畫更優(yōu)越，因?yàn)閮A斜角是從形的角度來刻畫的，而斜率的實(shí)質(zhì)是代數(shù)，是從數(shù)的角度來刻畫的，顯然用數(shù)來刻畫更細(xì)致入微.

設(shè)計(jì)意圖 借助兩條傾斜角非常接近的直線讓學(xué)生進(jìn)行思考辨析，體會(huì)用觀察、測量等手段很難判斷直線的傾斜程度，讓學(xué)生體會(huì)用代數(shù)法研究傾斜程度的必要性，由此自然引出斜率的概念. 另外，筆者有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生通過對比體會(huì)利用正切值表示斜率的優(yōu)越性，從而為接下來斜率公式的推導(dǎo)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

3. 嘗試推導(dǎo)，深化認(rèn)知

問題給出后，筆者讓學(xué)生以小組為單位嘗試推導(dǎo). 在此過程中，筆者啟發(fā)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中畫出不同的直線. 幾分鐘后，很多小組已經(jīng)完成了推導(dǎo)，筆者讓各小組展示交流結(jié)果，其他小組進(jìn)行點(diǎn)評.

生8：我們小組是分兩種情況討論的，圖7①為傾斜角是銳角的情況，圖7②為傾斜角是鈍角的情況. 推導(dǎo)過程如下：

設(shè)計(jì)意圖 通過前面的鋪墊，學(xué)生掌握了推導(dǎo)斜率公式的思路，于是筆者將主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生獨(dú)立完成斜率公式的推導(dǎo)，以此培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力. 在此過程中，滲透了特殊到一般、分類討論等數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展.

4. 練習(xí)鞏固，深化理解

問題6 已知A（4，2），B（－8，2），C（0，－2），求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷它們的傾斜角是什么角.

問題7 在平面直角坐標(biāo)系中，請分別畫出過坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率分別為1，－1，3，－4的直線.

學(xué)生獨(dú)立求解，筆者巡視，并針對性地進(jìn)行指導(dǎo). 問題6主要考查斜率公式的掌握情況，滲透數(shù)形結(jié)合思想方法；問題7主要考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)及靈活應(yīng)用斜率公式解決問題的能力.

設(shè)計(jì)意圖 練習(xí)是鞏固新知的必經(jīng)之路，一方面可以加深學(xué)生對斜率公式的理解，另一方面為后續(xù)研究直線的方程埋下伏筆.

5. 課堂小結(jié)，提升能力

問題8 通過本課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

設(shè)計(jì)意圖 通過對知識(shí)、方法、思想等進(jìn)行有效的反思與回顧，加深學(xué)生對新知的理解，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維能力向更高層次進(jìn)階.

教學(xué)思考

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注學(xué)生對知識(shí)的掌握，更要關(guān)注學(xué)生能力的提升，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，獲得可以持續(xù)學(xué)習(xí)的必備品格和關(guān)鍵能力. 為了這一目標(biāo)的達(dá)成，教師應(yīng)為學(xué)生設(shè)計(jì)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過程，以此讓學(xué)生理解知識(shí)的同時(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

教師作為課堂教學(xué)的主導(dǎo)者，要不斷學(xué)習(xí)、探索、實(shí)踐，結(jié)合教學(xué)實(shí)際創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問題情境，推動(dòng)學(xué)生的思維向高階進(jìn)階. 在本課教學(xué)中，通過遞進(jìn)式問題的創(chuàng)設(shè)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷傾斜角概念、斜率概念、斜率公式的形成過程，讓學(xué)生理解并掌握相關(guān)知識(shí)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問題，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展和自主探究能力的提升. 同時(shí)，通過遞進(jìn)式探究問題的創(chuàng)設(shè)，給學(xué)生更廣闊的思考空間，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生的學(xué)從被動(dòng)走向主動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升. 問題情境的創(chuàng)設(shè)在教學(xué)中發(fā)揮著舉足輕重的作用. 在創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境時(shí)，筆者認(rèn)為教師應(yīng)注意以下幾點(diǎn).

1. 體現(xiàn)概念形成過程

數(shù)學(xué)概念是在生產(chǎn)生活中逐漸抽象而來的，數(shù)學(xué)概念的形成有其生動(dòng)具體的實(shí)際背景，因此在概念教學(xué)中，教師要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程，讓學(xué)生明白概念的來龍去脈，以便學(xué)生可以靈活應(yīng)用概念解決問題. 在設(shè)計(jì)問題情境時(shí)，教師要重視概念出現(xiàn)的條件及它的獨(dú)特性，引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中提煉并弄清概念的本質(zhì)屬性，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性.

例如，在教學(xué)“直線的傾斜角”的概念時(shí)，筆者通過創(chuàng)設(shè)遞進(jìn)式探究問題讓學(xué)生體會(huì)“基準(zhǔn)”“正向”的作用和價(jià)值，以此加深學(xué)生對概念的理解，感受概念的嚴(yán)謹(jǐn)性；又如，在引出斜率的概念時(shí)，通過對比分析讓學(xué)生體會(huì)引入正切值的優(yōu)越性，滲透用代數(shù)法研究幾何問題的解析幾何思想.

2. 關(guān)注學(xué)生思考過程

在課堂教學(xué)中，教師常常會(huì)遇到這樣的情況：教師反復(fù)講、重復(fù)練，但是學(xué)生遇到同類問題時(shí)還是不會(huì)做. 究其根源，與教師的教息息相關(guān)：教師成為課堂上的“主角”，學(xué)生成為課堂上的“觀眾”，學(xué)生并未真正參與其中，因此學(xué)生對知識(shí)的理解是淺層的、瞬時(shí)的，不能形成長久的、深刻的記憶，自然影響學(xué)習(xí)效果. 基于此，教師在教學(xué)中應(yīng)該通過創(chuàng)設(shè)問題情境來展示學(xué)生的思考過程，幫助學(xué)生厘清知識(shí)的來龍去脈，以此實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通.

例如，在推理斜率公式的過程中，筆者切實(shí)通過相關(guān)問題引導(dǎo)學(xué)生自主完成斜率公式的推導(dǎo)，不僅讓學(xué)生全面深刻地理解了斜率公式，而且培養(yǎng)了學(xué)生的合作探究能力，促使學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、歸納概括等能力得以提升.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過程，讓學(xué)生明白如何做，為什么這樣做，切實(shí)提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，幫助學(xué)生形成理性的思維習(xí)慣，助力學(xué)生全面發(fā)展.