基于“四基”與“四能”培養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐與思考

施佳璐

［摘? 要］ 在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)基礎(chǔ)上，促進(jìn)“四基”與“四能”的發(fā)展是新課標(biāo)對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出的要求，也是時(shí)代賦予教師的責(zé)任. 研究者以高三一輪專題“直線與圓”的復(fù)習(xí)為例，具體從“適度開放，發(fā)現(xiàn)問題”“由淺入深，提出問題”“中度開放，分析問題；深入探究，解決問題”“適當(dāng)拓展，鞏固提升”等方面展開教學(xué)實(shí)踐，并提出一些思考.

［關(guān)鍵詞］ 四基；四能；直線與圓；復(fù)習(xí)教學(xué)

新課標(biāo)將發(fā)展學(xué)生的“四基”與“四能”提到重要位置，“四基”是指基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；“四能”是指從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問題的能力. 如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中不偏離、不動(dòng)搖發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的“四基”與“四能”呢？這是筆者近些年一直在研究的問題之一. 本文以高三一輪專題“直線與圓”的復(fù)習(xí)為例，具體談一談操作方法，并提出一些思考.

基本情況

授課對(duì)象：高三學(xué)生，學(xué)生認(rèn)知處于中等水平.

教學(xué)目標(biāo)：①要求學(xué)生靈活掌握直線與圓位置關(guān)系中的一些基礎(chǔ)問題；②要求學(xué)生掌握直線與圓問題中的定點(diǎn)、定值與范圍最值類問題；③夯實(shí)學(xué)生的“四基”，提升學(xué)生的“四能”，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：靈活掌握直線與圓問題中的“三動(dòng)三有”問題，通過課堂教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的“四能”.

教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 適度開放，發(fā)現(xiàn)問題

課堂導(dǎo)入的成功與失敗，對(duì)一堂課的教學(xué)有直接影響. 本節(jié)課為專題復(fù)習(xí)課，導(dǎo)入充滿“數(shù)學(xué)味”的問題情境直接切入主題.

呈現(xiàn)條件：已知點(diǎn)P（2，1）與圓C：x2+（y－4）2=4.

師：請(qǐng)各小組內(nèi)部討論，結(jié)合以上兩個(gè)條件，可以提出一些怎樣的問題？

（學(xué)生討論）

第一組呈現(xiàn)出這樣的問題：過點(diǎn)P（2，1）的直線與圓C：x2+（y－4）2=4存在哪些位置關(guān)系？

師：大家分析一下這個(gè)問題，說說你們的看法.

生1：我認(rèn)為存在相切、相離與相交三種位置關(guān)系.

師：這三種位置關(guān)系是怎么得來的？

生2：轉(zhuǎn)動(dòng)過點(diǎn)P（2，1）的直線，就可以得到這三種位置關(guān)系.

師：很好，這是根據(jù)此問的“形”直接獲得了三種位置關(guān)系，之前我們學(xué)過，還可以通過什么辦法來判斷一條直線與一個(gè)圓的位置關(guān)系呢？

生3：一般情況下，通過對(duì)d（圓點(diǎn)到直線的距離）與r（圓的半徑）的大小比較進(jìn)行判斷，即d=r時(shí)，直線與圓為相切的關(guān)系；d＞r時(shí)，直線與圓為相離的關(guān)系；而d＜r時(shí)，直線與圓為相交的關(guān)系.

師：非常好！這種判斷方法最常用，我們稱為“幾何法”. 除了以上方法外，還有其他方法嗎？

生4：還可以把直線的方程代入圓的方程，消除其中一個(gè)變量后，得到關(guān)于另一個(gè)變量的方程，然后利用判別式即可判斷兩者的位置關(guān)系.

師：不錯(cuò)，這種方法就是我們熟悉的“代數(shù)法”，該方法的應(yīng)用體現(xiàn)了一種重要的數(shù)學(xué)思想——方程思想.

教師板書：判斷直線與圓的位置關(guān)系有幾何法與代數(shù)法.

設(shè)計(jì)意圖 課堂伊始，用兩個(gè)簡(jiǎn)單的條件吸引學(xué)生的眼球，通過適度開放的問題培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并提出問題的能力. 同時(shí)，方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，自然而然地融合到問題的分析過程中，為問題的解決奠定了基礎(chǔ).

2. 由淺入深，提出問題

師：根據(jù)初始條件，大家還能提出其他問題嗎？

生5：當(dāng)過點(diǎn)P（2，1）的直線和條件中的圓C的位置呈相交的關(guān)系時(shí)，可提出求該直線斜率范圍的問題；如果相交時(shí)的弦長是定值，可提出求直線方程的問題.

生6：當(dāng)過點(diǎn)P（2，1）的直線和條件中的圓C的位置呈相切的關(guān)系時(shí)，可提出求直線方程和切線長的問題.

教師板書：“相交”求直線斜率范圍和弦長；“相切”求切線長和切線方程.

師：若生5所提問題中的弦長為，則直線方程是什么？此問請(qǐng)女生來完成，男生來完成生6提出的問題.

（學(xué)生解題，教師巡視，隨機(jī)抽取兩位學(xué)生的解題方法投屏并點(diǎn)評(píng).）

師：通過以上分析，大家覺得解決直線和圓相交或相切的問題時(shí)，最關(guān)鍵的條件是什么？

生7：弦心距. 只有知道了弦心距，才能構(gòu)造出關(guān)于斜率的方程.

教師板書：弦心距是解決直線與圓相交或相切問題的關(guān)鍵.

設(shè)計(jì)意圖 通過開放問題的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生自主回顧直線與圓位置關(guān)系的常見題型，讓學(xué)生自主提出問題，并經(jīng)過自主分析獲得解決問題的關(guān)鍵量——弦心距. 這種設(shè)計(jì)，一方面幫助學(xué)生把握“四基”，另一方面提升學(xué)生的“四能”，為數(shù)學(xué)建模奠定基礎(chǔ).

3. 中度開放，分析問題

師：若點(diǎn)P是位于直線x－2y=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由此大家能提出什么問題？

（小組討論）

生8：若點(diǎn)P是位于直線x－2y=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接點(diǎn)P與圓心C，PC的最小值是多少？（點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，PC也隨之運(yùn)動(dòng).）

生9：如圖1所示，若點(diǎn)P是位于直線x－2y=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作兩條直線，與圓C：x2+（y－4）2=4相切于點(diǎn)A，B，則四邊形BPAC面積的最小值是多少？

生10：結(jié)合以上條件，還可以提出求AB長度范圍的問題.

板書：點(diǎn)P移動(dòng)導(dǎo)致以下量發(fā)生變化：①PC的長度；②PA，PB的長度；③四邊形BPAC的面積；④AB的長度.

師：當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)時(shí)，還有什么量會(huì)隨之發(fā)生變化呢？

生11：四邊形BPAC的周長、∠ACB的大小.

師：非常好！現(xiàn)在請(qǐng)一組、二組的同學(xué)完成生9提出的問題，三組、四組的同學(xué)完成生10提出的問題.

（學(xué)生解題，教師巡視，投影答案.）

在投影的同時(shí)，要求學(xué)生對(duì)自己的解法進(jìn)行思考并提出新的問題.

師：從以上投影可以發(fā)現(xiàn)面積、角度、長度等都有變化，從本質(zhì)上來看，是什么引起的？

生12：所有這些變化，都是由點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)引起的.

師：確實(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，引出了很多范圍和最值問題，這也是本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容“動(dòng)中有界”.

教師板書：動(dòng)中有界.

設(shè)計(jì)意圖 在學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能梳理順暢的基礎(chǔ)上，化靜為動(dòng)，提出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)會(huì)引起哪些量的變化，意在引發(fā)學(xué)生對(duì)長度、角度、周長與面積進(jìn)行觀察與分析，自然而然地牽引出最值和范圍問題.

評(píng)析 這種開放式的問題導(dǎo)學(xué)，不僅成功地幫助學(xué)生提取原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中關(guān)于直線與圓關(guān)系的動(dòng)點(diǎn)問題，還有效啟發(fā)學(xué)生思維，讓學(xué)生通過自主探究，理順了整個(gè)知識(shí)脈絡(luò)，發(fā)現(xiàn)此類問題萬變不離其宗——?jiǎng)又杏薪? 由此使學(xué)生體驗(yàn)到自主命題與解題帶來的快樂，學(xué)會(huì)自主梳理題型、整理解題方法以及觸類旁通的學(xué)習(xí)能力.

4. 深入探究，解決問題

師：綜上發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P位置的變化，會(huì)引發(fā)很多量隨之變化. 現(xiàn)在請(qǐng)大家討論一下，是否有定量不會(huì)隨著點(diǎn)P位置的變化而變化呢？

（學(xué)生激烈討論，時(shí)間稍長.）

生13：經(jīng)過討論，我們發(fā)現(xiàn)直線AB恒過一個(gè)定點(diǎn). 由于點(diǎn)B，P，A，C共圓，因此線段AB可理解為圓C與該圓的公共弦，兩圓的方程相減，即可獲得直線AB的方程，確定直線AB恒過一個(gè)定點(diǎn).

師：還發(fā)現(xiàn)有其他定量嗎？

生14：在點(diǎn)B，P，A，C處于同一個(gè)圓的背景下，設(shè)點(diǎn)P（2t，t），那么x（x－2t）+（y－4）（y－t）=0為該圓的方程，發(fā)現(xiàn)該圓恒過定點(diǎn).

教師板書：動(dòng)中有定：①直線AB恒過定點(diǎn)；②四點(diǎn)共圓恒過定點(diǎn).

師：非常好！現(xiàn)在請(qǐng)一組、三組的同學(xué)解決直線AB恒過定點(diǎn)的問題；二組、四組的同學(xué)解決四點(diǎn)共圓恒過定點(diǎn)的問題.

（學(xué)生解題，教師巡視，投影典型解法，師生點(diǎn)評(píng).）

師：如圖3所示，假設(shè)點(diǎn)N為AB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N會(huì)怎樣？

師：非常好！由此我們還發(fā)現(xiàn)“動(dòng)中有軌跡”（板書）. 據(jù)此，大家還能聯(lián)想到什么問題？

生16：還可以求PN的最小值.

（學(xué)生解題，教師巡視，投影典型解法，師生點(diǎn)評(píng).）

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究與討論，獲得“動(dòng)中有定”與“動(dòng)中有軌跡”的結(jié)論，對(duì)問題產(chǎn)生更深層次的認(rèn)識(shí)與研究，并再次驗(yàn)證“動(dòng)中有界”的結(jié)論.

評(píng)析 課堂教學(xué)是動(dòng)態(tài)發(fā)展的過程，也是不斷生成的過程. 此教學(xué)環(huán)節(jié)，在教師循循善誘的引導(dǎo)下，學(xué)生的思維進(jìn)入了更廣闊的空間，通過自由討論，不僅提出了高質(zhì)量的問題，還針對(duì)這些問題開展了合理的分析與總結(jié)，由此充分體現(xiàn)了“以生為本”的教學(xué)理念.

課堂在教師的引導(dǎo)下，賦予學(xué)生充足的時(shí)間與空間進(jìn)行思考，隨著一個(gè)個(gè)問題的提出、分析與解決，不僅有效地激發(fā)了學(xué)生的潛能，還讓學(xué)生獲得了更多的成就感，建立了學(xué)習(xí)信心，為學(xué)生“四能”的提升夯實(shí)了基礎(chǔ).

5. 適當(dāng)拓展，鞏固提升

問題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：ax+by+c=0，點(diǎn)P（-1，0），Q（2，1），已知實(shí)數(shù)a，b，c為等差數(shù)列，如果點(diǎn)P在直線l上的射影是點(diǎn)H，線段HQ的取值范圍是什么？

（學(xué)生解題、板演，教師點(diǎn)評(píng).）

設(shè)計(jì)意圖 這是本節(jié)課的最后一個(gè)問題，具有總結(jié)、鞏固與提升的意圖. 直線l的“動(dòng)”，意在鞏固“動(dòng)中有定”；點(diǎn)H的“動(dòng)”，意在鞏固“動(dòng)中有軌跡”；求線段QH的取值范圍，意在鞏固“動(dòng)中有界”. 此問的設(shè)置，主要是為了幫助學(xué)生總結(jié)、鞏固本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)“三動(dòng)三有”，進(jìn)一步提升學(xué)生對(duì)此類問題的理解與解決能力.

教學(xué)思考

1. 循序漸進(jìn)，促進(jìn)思維發(fā)展

新課標(biāo)提出：高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，需要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣，循序漸進(jìn)地幫助學(xué)生建立學(xué)習(xí)信心，以不斷提高學(xué)生的實(shí)踐能力，形成正向的世界觀與數(shù)學(xué)觀.

本節(jié)課，每一個(gè)問題都具有一定的開放性，學(xué)生經(jīng)歷問題“輕度開放—中度開放—深度開放”的過程，通過逐層遞進(jìn)的方式，使學(xué)生的思維沿著問題的階梯拾級(jí)而上，逐漸形成良好的學(xué)習(xí)自信，同時(shí)也充分展示學(xué)生自主提出、分析、講解與拓展問題的思維歷程，切實(shí)達(dá)成培養(yǎng)學(xué)生“四基”與“四能”的目標(biāo).

2. 結(jié)合實(shí)際，掌握問題的“度”

當(dāng)然，設(shè)置開放問題時(shí)要掌握好一個(gè)“度”，一定要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知結(jié)構(gòu)與教學(xué)內(nèi)容提問. 假設(shè)本節(jié)課不是復(fù)習(xí)課，而是新課，若采用上述教學(xué)方法，不僅會(huì)讓學(xué)生聽得云里霧里，課程無法推進(jìn)，更談不上培養(yǎng)學(xué)生的“四基”與“四能”.

3. 分層教學(xué)，促進(jìn)全面發(fā)展

觀察學(xué)生所提出的每一個(gè)問題，都是之前教學(xué)中涉及的常規(guī)問題，并沒有出現(xiàn)太多具有挑戰(zhàn)性與創(chuàng)新性的新題型. 由此可見，教師應(yīng)將培養(yǎng)學(xué)生的“四基”與“四能”的理念落實(shí)在每一堂課中，只有具備了一定的知識(shí)儲(chǔ)備與能力基礎(chǔ)，才能提出具有創(chuàng)造性的問題. 在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師也可以利用學(xué)生的差異性提出不同的問題，生成更多、更好的探究資源，讓課堂充滿活力與智慧，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.

總之，在新課標(biāo)引領(lǐng)下的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)離不開問題的驅(qū)動(dòng)，而問題的設(shè)置值得每一個(gè)教師精心預(yù)設(shè)與思考. 開放性問題能有效激發(fā)學(xué)生的潛能，讓學(xué)生提出更多值得探索的新問題，為“四基”與“四能”的發(fā)展奠定基礎(chǔ).