三角函數在高中數學教學中的應用研究

馬忠平

摘 要：在新課程改革下，三角函數可以廣泛應用于解決幾何形狀的問題，教師引導學生利用正弦、余弦和正切函數來計算三角形的邊長、角度和面積.熟練掌握函數概念可以幫助學生理解和計算各種圖形的屬性.同時，三角函數在物理學中也具有廣泛的應用，在運動學中的平拋運動和斜拋運動，通過三角函數來描述分析和計算拋射角度.此外，三角函數還可以用于描述波動、振動、電路、光學等現象，也可以應用于統計學和數據分析中，計算周期性數據的分析，通過正弦函數和余弦函數進行建模和預測，轉換和調整數據的規律、趨勢和周期性變化，有助于學生深入理解數學的實際應用領域，培養學生的數學建模和解決實際問題的綜合素養能力.

關鍵詞：新課程；三角函數；高中數學；重要作用

在新課改背景下的高中數學課堂中，教師通過貫穿“合理情境”來培養抽象思維素養，以“探究性活動”來培養直觀想象素養，以“變式訓練”來培養創新能力，以“歸納提煉”來培養歸納概括素養，可以幫助學生在數學課堂中更好地理解和運用三角函數，培養學生的數學綜合運用能力.在數學課堂教學中，教師培養核心素養的“生長點”的，需要注重問題引導、情境設計、探究引導和合作學習等方面，通過激發學生的興趣，讓學生參與到數學的探索、思考和解決問題的過程中，從而逐步培養和發展學生的核心素養.

1 三角函數的應用領域

三角函數在高中數學教學中扮演著重要的角色，它的應用范圍涵蓋了幾何學、物理學、工程學等多個領域.

1.1 幾何應用

直角三角形是三角函數在幾何學中最常見的應用之一.通過三角函數，可以計算出任意一條邊的長度以及角的大小.例如，利用正弦定理和余弦定理，可以在不知道全部邊長和角度的情況下，求解任意一個三角形的邊長和角度.

1.2 物理應用

三角函數在物理學中有著廣泛的應用.例如，在轉動運動中，角速度和角加速度的變化可以用正弦型函數或余弦型函數來描述.在聲學中，聲音的傳播和波動也可以用三角函數來表示.此外，光的折射和反射中也涉及三角函數的應用.

1.3 工程應用

三角函數在測量和計算中有很多應用.例如，通過測量角度和邊長，可以使用三角函數計算出無法直接測量的高度、距離和角度.此外，三角函數還在航海、航空、建筑和地理測量中起著重要的作用，能夠培養學生的綜合素養和實際應用能力.

2 三角函數培養學生的核心素養

在新課改下，高中數學三角函數的教學旨在培養學生的核心素養，學生通過學習三角函數的相關概念和性質，培養抽象思維、邏輯思維和推理能力，學會運用數學方法解決實際問題，培養問題解決能力和創新思維.在學習三角函數時，新課改下注重學生的主體性，鼓勵學生通過課前預習、課堂互動和課后總結等方式進行深入學習，掌握建立數學模型的方法和技巧，進行小組合作和團隊討論.教師引導學生將實際問題轉化為數學模型，并運用三角函數的知識進行分析和求解，培養學生解決實際問題的能力，以及數學建模和分析問題的能力^［1］.具體細化分析如下：

2.1 以合理情境來培養學生抽象思維素養

在新課改下教學過程中，教師提供具體的實際情境，讓學生通過觀察和分析情境中的問題，從中抽象出數學模型和規律，來引導學生理解正弦和余弦函數等高中三角函數概念，從而培養學生的抽象思維能力^［2］.教師需要在教學中不斷反思和改進，尋找適合自己學生的教學方法和策略，以達到更好的教學效果.例如，在坐標系中畫出這些點，并將它們連接起來形成曲線.橫坐標表示角度，縱坐標表示函數值，通過連接這些點，可以得到一個近似的圖象，表示正弦函數和余弦函數在這些角度上的取值^［3］.

此時，教師引導學生探究正弦、余弦、正切函數的圖象與性質，見表1．

教師可以引導學生通過匯總、整合三角函數的概念及公式，主動探究正弦、余弦、正切函數的圖象與性質：一是給出定義域讓學生理解正弦、余弦函數的定義域是整個實數集R.二是繪制基本圖象，讓學生根據定義和初等函數的性質，繪制出正弦函數sin x、余弦函數cos x和正切函數tan x在一個周期內（如從0到2π或從－π到π）的基本圖象，幫助學生理解三角函數的周期性和曲線形狀^［4］.三是讓學生觀察并比較這三個函數的圖象，引導學生討論正弦函數和余弦函數的值域都在閉區間［－1，1］之間的論點，以及正切函數的值域是整個實數集R.另外，分析正弦函數和余弦函數的最大值是1，最小值是－1，而正切函數沒有最大值和最小值；正弦函數和余弦函數都是周期函數，周期為2π，正切函數也是周期函數，周期為π；余弦函數是偶函數，即cos（－x）＝cos x；而正弦函數、正切函數是奇函數，即sin（－x）＝－sin x，tan（－x）＝－tan x.四是通過探究其性質，引導學生進一步探究和驗證一些性質，在特殊角度上的函數值，例如sin 0，cos 0，tan 0等，函數在特定區間如0，π2上的變化趨勢，尋找最值點和極值點，函數的增減性、奇偶性和周期性等.五是教師組織學生小組合作學習討論三角函數在實際問題中的應用，例如在幾何學、物理學和工程學中的應用，如波動、振動和角度計算等，促進學生理解并掌握正弦、余弦、正切函數的基本圖象和性質，并進一步應用到實際問題中.教師可以在課堂中引入更具有情境感和亮點，讓學生自主建構知識，學生將在探究和解決問題的過程中，逐漸培養數學抽象素養，理解數學的本質和應用意義.

2.2 以探究性活動來培養學生直觀想象素養

鼓勵學生進行實驗、觀察和發現，通過自己動手探索和推導，理解三角函數的性質和特點，讓學生通過調整角度觀察三角函數圖象的變化，從中發現正弦、余弦和正切函數的周期性和對稱性，從而培養學生的直觀想象能力.

教師為了加深學生對三角函數的定義域的理解，在課堂上講解歷年考試題的解題步驟，促進學生跟著老師的思路，主動探究掌握直觀學習的思維想象力，培養學生的主動性和學習興趣，使學生逐一攻破數學三角函數的知識難題.

3 結語

綜上所述，在新課程理念下，教師依據三角函數的教學需求，認真落實在學生的學習上，教師需要引導學生積極主動地去掌握數學基本知識和技能，發展學生的數學思維及核心素養，使得學生掌握各種綜合能力.教師可以利用實際生活中的問題、案例或故事情節，引起學生的興趣和好奇心，通過引入情景，學生能夠更好地理解和感受數學概念的應用背景，從而激發學習的積極性，讓學生的數學思維得到全面發展.

參考文獻

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