溯本清源 格物致知

文／武妍

例1【蘇科版數(shù)學(xué)教材七（下）80頁第2題】用不同的代數(shù)式表示圖1中草坪的面積。由此，你能得到怎樣的等式？試用整式乘法法則說明這個等式成立。

圖1

【解析】觀察圖形可知，草坪的面積等于大正方形的面積減去兩條路的面積，但要注意有重疊部分。故可得S=20×20-2a×20+a·a=400-40a+a2。

將圖中的兩條路平移至兩邊后，可得草坪的面積為S=（20-a）2。

利用完全平方公式對（20-a）2展開，可得400-40a+a2。

∴等式（20-a）2=400-40a+a2成立。

【點評】本題考查了完全平方公式的幾何背景。觀察得出等式并明確完全平方公式是解題的關(guān)鍵。

變式如圖2，兩個正方形邊長分別為a、b，且滿足a+b=10，ab=12，則圖中陰影部分的面積為________。

圖2

【解析】將a+b=10兩邊平方，得

在課前準備階段，利用虛擬共享實訓(xùn)平臺發(fā)布變速箱拆裝實訓(xùn)的相關(guān)演示動畫和講解視頻，使學(xué)生提前對拆裝對象有更加直觀的了解，同時通過演示動畫和講解視頻熟悉拆裝的操作規(guī)范和注意事項，做到有目的、有效果的課前準備。

將ab=12 代入，得a2+b2+24=100，即a2+b2=76，

則兩個正方形面積之和為76。

【點評】我們還可將圖中陰影部分切割成兩個三角形，分別表示出兩個三角形的面積再求和。本題充分體現(xiàn)了割補法求面積的巧妙之處。

例2【蘇科版數(shù)學(xué)教材七（下）90頁第10題】

觀察下列式子：

探索以上式子的規(guī)律，試寫出第n個等式，并說明第n個等式成立。

【解析】兩個連續(xù)偶數(shù)的積與1 的和等于這兩個偶數(shù)中間的奇數(shù)的平方，即2n（2n+2）+1=（2n+1）2（n為正整數(shù)），左邊=4n2+4n+1=右邊，所以等式成立。

【點評】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察所給的式子，利用整式運算即可求解。

變式觀察下列算式：

①1×5+4=32，②2×6+4=42，③3×7+4=52，④4×8+4=62，……

請你觀察規(guī)律解決下列問題：

（1）填空：____×_____+4=20152。

（2）寫出第n個式子（用含n的式子表示）并證明。

【解析】（1）由以上4個等式可以看出規(guī)律：每一個等式中第一個數(shù)字等于序號數(shù)，第二個數(shù)字比第一個大4，等式右邊的底數(shù)比第一個數(shù)大2，指數(shù)始終為2。因此，2013×2017+4=20152。

（2）由（1）可知第n個等式為n（n+4）+4=（n+2）2。

∵左邊=n2+4n+4=（n+2）2=右邊，

∴n（n+4）+4=（n+2）2成立。

【點評】本題是教材原題的翻版，大部分同學(xué)可迅速發(fā)現(xiàn)規(guī)律并證明，證明時可分別求解左右兩邊，證明等號左右兩邊相等即可。