例題延展，深化理解

文／周前猛

數學教材例題的作用是幫助大家理解和掌握數學知識，提高數學素養。同時，例題也為數學學習提供了拓展的基礎素材。下面以蘇科版數學教材八（下）第116 頁的例2 第（2）題為例，談談例題的學習與拓展。

分式方程的解題步驟是：①去分母；②解整式方程；③驗根。

思考一、根據分式方程根的情況，求參數的值

【解析】將分式方程去分母并整理，得x=m+6。若方程有增根，則增根為x=2，代入x=m+6，得m=-4。

【點評】分式方程的增根是使分式方程最簡公分母為0 的未知數的值，可能會出現一個或多個，分別代入求參數即可。

【解析】去分母，得2（x+2）+mx=3（x-2）。整理，得（m-1）x=-10。當m-1=0，即m=1 時，原方程無解；當m-1≠0 時，原方程有增根x=±2，分別代入（m-1）x=-10，得m=-4 和m=6。所以m=1、-4 或6 時，原方程無解。

【點評】含參數的分式方程無解，要分兩種情況考慮，一是去分母后的整式方程無解，二是去分母后的整式方程的解是分式方程的增根。

【解析】將原方程轉化為整式方程，得2x2-2x+a+4=0①。原分式方程只有一個實數根，得方程①有根的情況有兩種類型。一是方程①有兩個相等的實數根，即Δ=4-8（a+4）=0，解得，經檢驗，x是原方程的唯一根。二是方程①有兩個不相等的實數根，而其中一根使原方程分母為0，即方程①有一個根為0或2。當x=0 時，代入①式，得a+4=0，即a=-4，這時方程①的另一個根是x=1，將x=1 代入最簡公分母檢驗不為0，所以x=1 是原方程的唯一根；當x=2 時，代入①式，得a=-8，這時方程①的另一個根是x=-1，將x=-1 代入最簡公分母檢驗不為0，所以x=-1 是原方程的唯一根。綜上可得a的值分別為。

【點評】分式方程去分母后是一元二次方程，一元二次方程有解的情況有兩種，要分類討論，并檢驗是否符合要求。

思考二、根據分式方程的解的范圍，求參數的范圍

【點評】根據分式方程解的范圍可以確定參數的取值范圍，其方法是先把參數看成常數參與運算，算出x的值（用參數表示），再結合分式方程解的范圍，得到不等式，通過解不等式求出參數范圍。

【點評】去分母后需要分類討論，此分式方程的增根可能有兩個，要分別檢驗排除。

拓展2若分式方程有實數根，求a的取值范圍。

【解析】去分母并整理，得ax2+4x-4=0。當a=0時，方程為一元一次方程4x-4=0，解得x=1。經檢驗，x=1 是增根，舍去。當a≠0 時，方程為一元二次方程，若此方程有實數根，則Δ≥0，解得a≥-1。當a=-1時，x1=x2=2，經檢驗是原方程的解；當a＞-1 時，方程有兩個不相等的實數根，至少其中一個是原方程的解。綜上可得a≥-1且a≠0。

【點評】去分母后的方程類型不確定，需要分類討論，若為一元二次方程且有實數根，又分為兩種情況，需要分類討論，并且檢驗是否為增根。