一元二次方程中的常見錯誤剖析

文／沈小景

一元二次方程是中考的核心考點，涉及方程的概念和解法、根的判別式、根與系數(shù)的關系以及綜合應用。本文總結(jié)了同學們的一些常見錯誤，并對錯誤點進行剖析，希望對大家的復習備考有所幫助。

一、忽視二次項系數(shù)不為0

例1若關于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）。

【錯解】根據(jù)題意，得b2-4ac=（-2）2-4k×3＞0，解得。故選A。

【糾錯】本題的解答過程有兩處錯誤：一是該方程為一元二次方程，所以二次項系數(shù)不為0；二是方程有兩個實數(shù)根，b2-4ac≥0。根據(jù)這兩點，求出k的取值范圍是且k≠0。故選D。

【總結(jié)】當字母參數(shù)出現(xiàn)在二次項系數(shù)中，我們需要關注該方程的類型。如果題干中有條件說明方程是一元二次方程，則該參數(shù)不能取0；如果題干中沒有表明方程一定是一元二次方程，則該參數(shù)可以為0。

二、忽視某些代數(shù)式有意義的條件

例2若x=0 是一元二次方程x2+的一個根，則b的值是________。

【錯解】把x=0 代入原方程，得b2-4=0，解得b=±2，所以b的值為±2。

【糾錯】該方程中一次項系數(shù)為，這個式子只有當b-1≥0 時才能有意義，即b≥1。因此b=-2 不符合題意，要舍去。所以b的值為2。

例3若實數(shù)x滿足x2-3x-3=（x+1）0，則x的值為________。

【錯解】由題意得x2-3x-3=1，即x2-3x-4=0，解得x1=-1，x2=4。故x的值為-1或4。

【糾錯】等式右側(cè)是（x+1）0，任何不為0 的數(shù)的0 次冪才能等于1，所以只有當x≠-1 時，（x+1）0=1。所以本題符合題意的x值只能是4。

【總結(jié)】一元二次方程常常會和一些特殊的代數(shù)式綜合在一起出現(xiàn)。我們在解題時需要充分挖掘代數(shù)式的隱含信息，這樣才能減少錯誤。

三、忽視根與系數(shù)的關系的前提

例4已知關于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2，且x1+x2+x1·x2=2，則實數(shù)m=___。

【錯解】根據(jù)根與系數(shù)的關系，得

解得m1=0，m2=3。

所以m=0或3。

【糾錯】使用根與系數(shù)的關系的前提是該一元二次方程有實數(shù)根。當m=0 或3 時，此方程是否有兩個不相等的實數(shù)根呢？因此，我們需要求出使得方程有兩個不相等實數(shù)根時m的取值范圍，在取值范圍內(nèi)的值符合題意，不在取值范圍內(nèi)的值要舍去。當然也可以將0和3代入方程，檢驗此時的方程是否有兩個不相等的實數(shù)根，不合題意的應舍去。

四、忽視實際問題的背景

例5已知關于x的方程x2-（k+3）x+3k=0，若斜邊為5 的直角三角形的兩條直角邊長分別是方程的兩個根，求k的值。

【錯解】設直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，則a+b=k+3，ab=3k。

【糾錯】方程的兩個根是直角三角形的邊長，所以方程的兩個根應該是正數(shù)，即求出的k的值要讓方程有正數(shù)根才符合實際意義。當k=-4 時，方程的兩個根為x1=-3，x2=4，要舍去；當k=4時，方程的兩個根為x1=3，x2=4。故k的值為4。

【總結(jié)】當一元二次方程與實際問題相結(jié)合時，一定要檢驗方程的解是否符合實際意義。

一元二次方程的考查常融合一些其他知識。在解決這些問題時，我們要多觀察，認真挖掘隱含信息，解題后再代回方程檢驗，這樣可以有效地避免錯誤的發(fā)生，進而提高解題的正確率。