點間隧穿耦合對四能級三量子點電磁感應透明介質孤子動力學的影響*

王胤 王壬潁 陳橋 鄧永和

1) (湖南工程學院計算科學與電子學院,湘潭 411104)

2) (湘潭大學物理與光電工程學院,湘潭 411105)

3) (湖南交通工程學院公共基礎課部,衡陽 421001)

利用概率幅變分近似結合多重尺度法,研究了探測光在兩邊產生點間隧道耦合的非對稱陣列型三量子點電磁誘導透明介質的傳播性質.結果表明,由于系統的色散效應和點間隧穿耦合產生的非線性效應相平衡,系統能形成穩定傳播的超低速時間光孤子.有趣的是,僅開啟一邊的點間隧穿耦合(即另一邊關閉),隨著點間隧穿耦合強度的增加,光孤子的速度呈現出先增大后減小的變化趨勢,但光孤子的幅度卻一直增大.兩邊兩個點間隧穿耦合強度均開啟后,隨著點間隧穿強度逐漸的增大,光孤子的幅度隨著點間隧穿強度的增大會出現逐漸減小,直到出現一個拐點后才迅速增大;而光孤子的速度相比較于單個隧穿強度的影響會明顯降低,且出現停滯的現象.這些結果不但揭示出點間隧道耦合對三量子點電磁感應透明介質光孤子的動力學有著重要影響,而且還預言在半導體量子點器件中可利用點間隧道耦合調節其光孤子傳輸的幅度.

1 引言

光孤子是體系的色散(或衍射)效應與非線性效應相互作用平衡后的產物[1–9],在量子通信和量子信息處理過程中作為信息的載體不僅能承載巨大的信息量而且還可提高在長距離傳輸過程的信息保真度和穩定性[10–13].光孤子作為量子信息傳輸和處理過程中的載體的最早研究主要是超冷原子電磁感應透明(electromagnetic induction transparency,EIT)介質,這主要是因為該介質能通過弱光耦合到原子能級間產生量子相干和量子干涉效應激發出強的非線性效應[14–18].吳穎[19]發現在四能級超冷EIT 體系可通過強控制光去控制弱探測光形成超慢光孤子.隨后研究表明,弱探測光在超冷EIT 體系所形成的超慢光孤子能穩定傳播[20,21].本研究組[22]也發現四能級三腳架式超冷原子EIT 系統通過兩個強控制光場既可控制體系光孤子的群速度匹配而且還調節亮孤子和暗孤子的轉換.黃國翔等[23–28]證實通過控制光的開關效應可對光孤子進行存儲和讀取.然而,由于超冷原子EIT 介質只能在低溫、稀薄的情況下才能實現,因而難以在大規模化器件中進行實施,付之于具體應用有一定的局限性.

隨著半導體工藝的發展,半導體量子點不僅具有類似于超冷原子的分立能級,且其能級結構還可以通過“人工剪裁”方式去實現[29].當光束通過量子點內部,由于量子相干和量子干涉效應所引起的EIT 效應能通過弱光激發強的非線性效應,這為光孤子的形成及光信息的傳輸提供很好的應用前景[30–32].研究表明讓一束探測光通過10 層量子點光學薄膜后,再通過控制光的調制可在體系觀察到EIT 效應[33].當光通過半導體量子點EIT 介質后,由于系統的色散效應與強非線性效應相平衡,形成超低速時間光孤子[34–37].光孤子在半導體量子點EIT 介質中傳播性質的研究有望為量子光信息的傳輸提供更加廣泛的應用前景.

對于量子點EIT 體系,不但具備類似原子的分立能級,而且還可通過排列、堆疊等耦合方式形成量子點分子.在雙量子點分子體系中,由量子點間隧穿耦合作用引起的量子相消干涉導致的透明窗口可以讓光無吸收通過,稱之為量子點間隧穿誘導透明(tunneling induces transparency,TIT)[38–42].Michael 等[43]發現點間TIT 不僅可以抑制介質對光的吸收,而且還可以調節光通過系統的傳播速度.讓一束探測光通過量子點EIT 介質去傳播[44,45],發現體系所形成的光孤子能夠存儲起來.佘彥超等[46]發現通過調節TIT 強度能使體系產生雙透明窗口,且系統所產生的時間孤子是亮孤子還是暗孤子完全由控制光強的強度來確定.目前實驗上已通過分子束外延生長技術或原位原子層精確刻蝕技術制造出三量子點分子[47–50].相比于雙量子點分子,三量子點分子具備兩個量子點間隧穿耦合效應和更靈活可控的能級結構.Tian 等[51]發現可通過三量子點中的雙隧穿實現雙暗態共振從而增強體系的非線性效應.Luo 等[52,53]也證實三量子點分子中由于兩個點間隧穿會使系統的克爾非線性顯著提高,甚至還會導致系統出現自聚焦和自散焦效應.這意味著三量子點分子體系具有一系列新穎的非線性特性.然而,迄今為止對三量子點分子EIT介質的非線性動力學性質尤其是其中的光孤子動力學行為的報道尚少.

受此啟發,本文基于現有實驗條件,構建了由一束探測光耦合到中間量子點上,且兩邊兩量子點產生點間隧道耦合而成為非對稱的陣列型三量子點EIT 介質模型.隨后利用概率幅變分近似結合多重尺度法,解析地研究了點間隧穿耦合對三量子點EIT 介質中的線性和非線性性質的調控效應;發現雙點間隧穿耦合效應比單點間隧穿耦合對量子點EIT 介質的線性和非線性性質的調控能力更強.尤其是時間光孤子的振幅、速度均可通過量子點的點間隧穿耦合強度來調節;因而揭示出在半導體量子點器件中可利用點間隧穿耦合強度去調節其傳輸的光孤子的幅度.

2 模型和Maxwell-Schr?dinger 方程

基于目前實驗上制造三量子點分子技術[47–50],自組裝GaAs 三量子點分子的能級結構示意圖如圖1 所示.它由三個不同尺寸的量子點排成一排,類似于兩個不同大小的雙量子點分子耦合、沿著生長方向應用于合適的門電壓演練而成.由于量子點之間存在一定的勢壘寬度阻礙了量子點中空穴的隧穿,因而僅考慮中間量子點上的電子與左(右)量子點之間的電子隧穿.實驗上,以GaAs 為襯底,通過自組織生長與光刻蝕技術相結合,實現沿[110]方向并列生長的不均勻三重量子點.圖1中 |0〉為基態,|1〉為一束頻率為ω10的弱探測光將中間的量子點上的電子從價帶激發到導帶形成的直接激子態,|2〉或|3〉 表示量子點在外加門電壓的作用后,左或右量子點的導帶能級與中間量子點產生共振,從而中間的量子點內的電子分別隧穿到左或右兩邊量子點后所形成的間接激子態.因此,弱探測光和三個不同尺寸的量子點組合成四能級非對稱陣列型三量子點EIT 介質模型.設圖1 中的中間量子點與左、右兩邊量子點的點間隧穿強度分別為Te1和Te2.根據旋波近似和電偶極近似[10–13,41,42],四能級非對稱陣列型三量子點EIT 體系在相互作用繪景中的哈密頓量為

圖1 四能級非對稱陣列型三量子點電磁感應透明介質能級結構示意圖Fig.1.Energy level structure diagram of a four-level asymmetric array-type three quantum dots electromagnetically induced transparent medium.

其中,?1=ω10-ωp,?2(3)=?1+ω12(3),ωij表示電子在能級 |i〉與|j〉 之間的躍遷頻率;弱探測光的頻率為ωp,其拉比頻率是?p=Epμ01/(2?),Ep為探測光振幅,μij表示能級 |i〉→|j〉 之間的躍遷偶極矩.探測光的Maxwell 方程為[41,42]

式中,ε0和c分別是真空中的介電常數和光速.探測光的電場矢量為

其中,kp為探測 光波矢,c.c.表示復共軛函數.探測光的電極化強度為

式中,Na表示原子數密度;Aj表示能級 |j〉 的原子布居概率幅,滿足守恒關系,

其中,dj=?j+iγj(j=1,2,3),γj表示能級|j〉上的衰減率,由能級壽命展寬γjl和失相展寬γjd兩部分組成,即γj=γjl+γjd,其中γjl主要是由于低溫下縱波光學聲子發射產生,而γjd主要是由于電子與電子,電子與聲子散射以及表面粗糙所引起,傳播系數為

隨后,只要求解MS 方程(3),就可以獲得系統的線性和非線性光學性質.

3 線性光學性質

一般情況下,MS 方程(3)難以直接獲得其解析解,在此使用多重尺度法[41,42]對其進行近似求解.設

并設展開項均是多重尺度變量tl=εlt,zl=εlz(l=0,1,2)的函數;ε是描述各態布居衰減相關的特征小量.將多重尺度各參量代入方程(3),可得

式中,右邊各表達式分別為

當j=1時,設?p(1)=εF1exp[i(K(ω)z0-ωt0)],代入(4)式可得探測光的線性色散關系為

方程(5)在ω=0 處進行泰勒展開:

由于Kj是一個復數,它可以寫成Kj=Kjr+iKji,這里K0r,K1r和K2r分別代表K0,K1和K2的實部;K0i,K1i和K2i分別代表K0,K1和K2的虛部.進而可以得到:

在(6a)式中,Vg表示探測光在系統中傳播的群速度,(6b)式則表示系統的群速度色散效應.

為獲取系統中探測光的K0i線性吸收特征,將探討量子點間隧穿耦合對體系探測光場的線性吸收特性的影響,隨后繪制出不同的量子點間隧穿耦合(實驗可通過門電壓控制)情況下系統吸收參量K0i隨探測光失諧量?p的變化情況.圖2 展示了關閉圖1 中的左邊點間隧穿耦合,僅開啟右邊一個點間隧穿耦合情況下系統的線性吸收性質.當兩個點間隧穿耦合均關閉時,即Te1=Te2=0 (圖2中黑點線),可以看出當門電壓斷開時,探測光在失諧量(?p=0) 區域被大大地吸收.當Te1=0 和Te2=20 μeV (圖2 紅實線),即左邊量子點間隧穿耦合仍然處于關閉狀態僅開啟右邊一個點間隧穿耦合情況下,系統中出現一個透明窗口.也就是說,只有開啟點間隧穿耦合,體系才有可能產生透明窗口.這類透明窗口是由于量子點間隧穿所引起,又稱為TIT 窗口.這是因為開啟右邊的點間隧穿耦合后,Te2使躍遷通道 |0〉→|1〉和|1〉→|3〉 之間發生干涉相消,使得能級 |1〉和|3〉 的布居進入暗態,從而探測光在TIT 窗口內幾乎不被吸收.當右邊的點間隧穿耦合Te2進一步增強時,即Te1=0 和Te2=40 μeV (圖2 藍虛線),與紅實線相比,量子點間TIT 窗口的寬度變寬.

圖2 關閉左點間隧穿耦合 (Te1=0) 僅開啟右點間隧穿耦合情況下,線性吸收系數 K0i 隨失諧 ?p 的變化情況.其他參數: γ10=3.3 μeV ,γ20=γ30=10-4γ10 ,-?ω12=?ω13=10 μeV,κ01=1976 cm-1·μeVFig.2.In the case that the left (right) inter-dot tunneling coupling is turned off (on),the linear absorption coefficient K0i as a function of the detuning ?p .Other parameters:γ10=3.3 μeV ,γ20=γ30=10-4γ10 ,-?ω12=?ω13=10 μeV,and κ01=1976 cm-1·μeV .

為了獲得左、右點間隧穿耦合效應對非對稱陣列型三量子點EIT 體系探測光線性吸收的不同特征,圖3 繪制出關閉右邊量子點間隧穿耦合僅開啟左邊一個點間隧穿耦合情況下系統的線性吸收性質.通過與圖2 比較,可以發現與圖2 唯一不同的曲線特征是: 開啟右邊點間隧穿耦合的圖2 的TIT窗口的中心位置原偏離在?p=0 的左邊,而開啟左邊的點間隧穿耦合后TIT 窗口的中心位置偏離在?p=0 的右邊;其他結果如透明窗口的寬度隨著點間隧穿耦合強度的增大而變寬類似于圖2.因此在下面討論單個點間隧穿耦合對非對稱陣列型三量子點EIT 體系物理性質的影響時,只需考慮其中一種情況.

圖3 關閉右點間隧穿耦合 (Te2=0) 僅開啟左點間隧穿耦合情況下,線性吸收系數 K0i 隨失諧 ?p 的變化情況.圖中所使用的其他參數與圖2 一致Fig.3.In the case that the left (right) inter-dot tunneling coupling is turned on (off),the linear absorption coefficient K0i as a function of the detuning ?p .Other parameters used are the same as the Fig.2.

既然僅開啟左邊或右邊的一個點間隧穿耦合,三量子點EIT 體系均會出現一個TIT 窗口.當左右兩邊兩個點間隧穿耦合均開啟后,三量子點EIT 體系的線性吸收性質如圖4 所示.當Te1=Te2=20 μeV (圖4 紅實線),此時三量子點EIT體系呈現出兩個TIT 窗口,這與雙量子點分子中的單量子點間TIT 窗口完全不同.雙TIT 窗口是由兩個點間隧穿耦合效應的量子相消干涉效應所引起,這與超冷原子系統中由控制場引起的量子相消干涉效應所導致的EIT 窗口完全不同.當兩個隧穿耦合增強時,即Te1=Te2=40 μeV (圖4 藍虛線),雙TIT 窗口的寬度比紅實線的雙TIT 窗口的寬度更寬.從此可得,隨著單量子點和/或雙量子點間隧穿耦合強度的增大,三量子點體系的單和/或雙TIT 窗口的寬度都變寬.

圖4 左、右兩邊兩個點間隧穿耦合均開啟情況下,線性吸收系數 K0i 隨失諧 ?p 的變化情況.圖中所使用的其他參數與圖2 一致Fig.4.Under both the left and right inter-dot tunneling coupling are turned on,the linear absorption coefficient K0i as a function of the detuning ?p .Other parameters used are the same as the Fig.2.

4 非線性光學性質

在此探討非對稱陣列型三量子點EIT 體系的非線性光學性質,即MS 方程在多重尺度近似展開后的二階和三階情況.當j=2 時從方程(4)整理化簡消除久期項有

同理,當j=3時,類似地消除久期項,整理可得

其中,體系的非線性效應表示為

該式描述了包絡函數F1在介質中的演化方式,方程(8)為復系數的非線性薛定諤方程,將其返回到原變換關系zl=εlz,tl=εlt,U=εF1e-ImK,并引入新參數ξ=z/LD,和τ=t-z/Vg,整理可得

根據現有實驗室制造三量子點條件,選擇非對稱陣列型三量子點EIT 體系的參數[45–48](除特殊說明,圖5—圖8 均采用此參數):γ1=0.054 meV,γ2=γ3=5.4×10-5meV;探測光的傳播系數κ01=340 meV·μm-1;失諧量?1=0.1674 meV,?2=0.6480 meV,?3=0.6840 meV,τ0=3×10-8s .在此,先分析單個點間隧穿耦合情況下三量子點EIT 體系所形成的孤子.作為一個典型的示例,設Te1=1 meV且Te2=0,即開啟左邊兩量子點的點間隧穿耦合,關閉右邊點間隧穿耦合情況下,可計算出參數:

圖5 單點間隧穿耦合下三量子點EIT 介質中光孤子的穩定性分析(Te1=1 meV,Te2=0)Fig.5.Stability analysis of optical solitons in the three quantum dot EIT medium under the single inter-dot tunneling coupling effect (Te1=1 meV,Te2=0).

為了檢驗亮孤子在三量子點EIT 介質中傳播的穩定性,對光孤子的波形 |?p/U0|2增加5%的微擾后探究其隨時間的演化情況,如圖5 所示.可以看出,在初 始時刻探測光 |?p/U0|2在z/LD=0 位置形成一亮光孤子.隨著時間的推移如t=8τ0,可以看到該亮孤子能保持波形的幅度和寬度不變,且穩定地向右傳播;當時間進一步推移至t=16τ0和t=24τ0時,孤子的幅度和寬度仍能保持不變地向右傳播.這說明單個點間隧穿耦合情況下的三量子點EIT 介質中能產生光孤子,并可穩定地傳播.

既然單個點間隧穿耦合情況下體系的光孤子能夠穩定地傳播;接著探討兩邊兩個點間隧穿均開啟后,系統光孤子的穩定性.作為一個典型示例,選取Te1=1 meV 且Te3=0.5 meV時,可計算出參數:

圖6 雙點間隧穿耦合下三量子點EIT 介質中光孤子的穩定性分析(Te1=1 meV,Te2=0.5 meV)Fig.6.Stability analysis of optical solitons in three quantum dot EIT medium under the two single inter-dot tunneling coupling effect (Te1=1 meV,Te2=0.5 meV).

通過對比圖5 和圖6 就會發現,在相同的時間間隔內光孤子的傳播距離相差很大.這說明在非對稱三量子點EIT 介質中,當系統左右兩個點間隧穿均開啟后由于左右兩邊這兩個點間隧穿的共同作用,使光孤子的速度大幅度地降低;這對探測光所形成的光孤子動力學影響非常大.從而,圖7 給出了在不同的右點間隧穿強度Te2下,孤子的群速度Vg隨左點間隧穿強度Te1的變化情況.從圖7(a)中可以看出,當Te2=0 時即關閉圖1 右邊的點間隧穿耦合僅開啟左邊的點間隧穿耦合情況下,三量子點EIT 介質中孤子的群速度Vg隨著單點間隧穿耦合強度的增大呈現出先逐漸增加隨后減小的變化趨勢.當圖1 中的左右兩邊兩個點間隧穿都開啟后,從圖7(b)中可以看出,當Te2=0.5 meV 時(黑實線),隨著 Te1的增大,孤子的群速度Vg逐漸減小;進一步增加圖1 右邊的點間隧穿耦合強度,當Te2=1 meV時(藍虛線),相比圖7(a)中孤子群速度降低了2 個數量級,且隨著Te1的增大逐漸減小.這說明在左右兩邊兩個量子點間隧穿耦合效應的共同作用下,三量子點EIT 介質中的光孤子傳播速度會被抑制,以致于當左右兩邊兩個量子點間隧穿耦合都較大時,三量子點EIT 介質中的孤子會出現停滯現象.

圖7 不同右點間隧穿強度下孤子的群速度隨左點間隧穿強度Te1 的變化Fig.7.Group velocity of the solitons as a function of the strength Te1 of the left inter-dot coupling with the different strength of the right inter-dot tunneling coupling.

最后,探討點間隧穿耦合強度對三量子點EIT介質中孤子幅度的影響,如圖8 所示.當Te2=0時(如圖中粉紅色實線),即關閉三量子點EIT 介質右邊的點間隧穿耦合僅開啟左邊的點間隧穿耦合情況下,三量子點EIT 介質中孤子的幅度隨著單點間隧穿耦合強度的增大而逐漸增加.開啟三量子點EIT 介質右邊的點間耦合效應且其強度比較小(如Te2=0.5 meV)時(見圖中藍點劃線),也就是當三量子點EIT 介質中的左右兩邊兩個點間隧穿都開啟后,發現三量子點EIT 介質中孤子的幅度隨著左點間隧穿耦合強度的增加反而減小.進一步增加右邊的點間耦合強度Te2=1.0 meV,發現三量子點EIT 介質中孤子的幅度隨著左點間隧穿的增加呈現出先減少而后增加的變化趨勢;當右邊的點間耦合強度進一步增加到Te2=1.5 meV時,三量子點EIT 介質中孤子的幅度還是隨著左點間隧穿的增加出現先減少而后增加的變化趨勢,且極小值拐點沿左點間隧穿耦合強度較小的值移動.

圖8 不同右點間隧穿強度下,孤子的幅度隨左點間隧穿強度Te1 的變化Fig.8.Amplitude of the solitons as a function of the strength Te1 of the left inter-dot coupling with the different strength of the right inter-dot tunneling coupling.

5 結論

基于目前實驗制造量子點分子技術,先構建了兩邊產生點間隧道耦合的非對稱陣列型三量子點EIT 介質模型.隨后利用概率幅變分近似結合多重尺度法,解析地研究了點間隧穿強度對體系線性和非線性性質的影響.結果發現只有開啟點間隧穿耦合,體系才會產生TIT 透明窗口.僅開啟一個點間隧穿耦合(即另一個關閉),三量子點EIT 介質中僅出現單個TIT 窗口,且透明窗口的寬度隨著點間隧穿強度的增加而變寬.關閉右邊點間隧穿耦合開啟左邊一個點間隧穿耦合與關閉左邊點間隧穿耦合開啟右邊一個點間隧穿耦合,TIT 窗口唯一的不同是: 透明窗口的中心位置由偏離在?p=0 的右邊演化為偏離在?p=0 的左邊.當兩邊兩個點間隧穿耦合均開啟時,三量子點EIT 體系呈現出兩個TIT 窗口,當體系的兩個隧穿耦合增強時,雙TIT 窗口的寬度變寬.

當體系的線性色散效應和量子點間隧穿耦合所產生的非線性效應相互作用達到平衡后能形成超低速時間光孤子,且可穩定地傳播.有趣的是,當僅開啟一邊的點間隧穿耦合(即另一邊關閉),隨著點間隧穿耦合強度的增加,光孤子的速度呈現出先增大后減小,而光孤子的幅度則一直增大.當兩邊兩個點間隧穿耦合強度均開啟后,隨著點間隧穿強度逐漸的增大,光孤子的幅度隨著點間隧穿強度的增大會呈現出逐漸減小,直到出現一個拐點后才迅速增大;而光孤子的速度相比較于單個隧穿強度的影響會明顯的降低,且出現停滯的現象.相對于只有一個隧穿的雙量子點,具有雙隧穿的三量子點孤子的傳播行為都具有更強的調控能力.這說明點間隧道耦合對三量子點體系的光孤子動力學有著重要影響,因而可利用點間隧道耦合對半導體量子點器件中的光孤子進行調幅操作,這些結果為量子點器件實現光孤子通信提供了一定的理論依據.