基于Rényi-α 熵的參數化糾纏度量*

戴偉鵬 賀衎 侯晉川

(太原理工大學數學學院,太原 030024)

與各種非參數化糾纏度量相比,參數化糾纏度量顯示了其優越性.并發糾纏被廣泛用于描述量子實驗中的糾纏.作為一種糾纏度量,它與特定Rényi-α 熵有關.本文提出了一種基于Rényi-α 熵的參數化兩體糾纏度量,命名為α-對數并發糾纏.與現有的參數化度量不同,首先定義了純態的度量,然后推廣到混合態.進一步驗證了α-對數并發糾纏滿足糾纏度量3 個條件.展示了對純態的度量是容易計算的,然而對于混合態,解析計算只適用于特殊的雙量子位態或特殊的高維混合態.因此,本文致力于建立一般兩體態α-對數并發糾纏的一個下界.令人驚訝的是,這個下界是這個混合態的正部分轉置判據和重排判據的函數.這表明了3 種糾纏度量之間的聯系.有趣的是,下界依賴于與具體態相關的熵參數.這樣我們可以選擇適當的參數α,使得Gα(ρ)?0用于特定態ρ 的實驗糾纏檢測.此外,計算了isotropic 態的α-對數并發糾纏的表達式,并給出了d=2時isotropic 態的解析表達式.最后,討論了α-對數并發糾纏的的單配性.建立了兩個量子比特系統中并發糾纏和α-對數并發糾纏之間的函數關系,然后得到了該函數的一些有用性質,并結合Coffman-Kundu-Wootters (CKW)不等式,建立了關于α-對數并發糾纏的單配性不等式.最終證明了單配性不等式對于α-對數并發糾纏是成立的.

1 引言

近年來,圍繞量子糾纏這一課題展開了大量的研究,對量子信息理論產生了深遠的影響.量子糾纏在量子密集編碼[1]、量子隱形傳態[2]、量子密鑰共享[3]、量子密碼[4]等量子計算和量子信息中起著不可或缺的作用.如何驗證一個量子復合系統態是糾纏態還是可分態是量子信息理論的一個基本問題.對于一般的混合態,這仍然是未解決的問題.到目前為止,兩體糾纏有兩個重要的糾纏判據.一種是正偏轉置(PPT)判據[5],這個判據描述了對于任意可分的兩體態ρAB,它的偏轉置矩陣滿足≥0.正偏轉置判據只是純態和2?2 或者2?3混合態的糾纏判據的充要條件,但一般而言,對于更高的維度是不充分的[5,6].另一種是重排判據[7–9],即對任意可分的兩體態ρAB,它的重排矩陣R(ρ)滿足∥R(ρ)∥1≤1,其中∥X∥1表示矩陣X的跡范數,∥X∥1=這兩個糾纏判據在量子信息理論中得到了廣泛的應用.

糾纏度量的關鍵是度量一個糾纏量子系統可以利用多少資源,這對量子信息的定量研究具有重要意義.對于兩體系統,常見的糾纏度量有: 并發糾纏[10–12]、負性糾纏[13,14]、生成糾纏[15,16]、Rényi-α熵糾纏[17,18]、Tsallis-q熵糾纏[19]、robustness 糾纏[20]等.對于任意的純態|ψ〉AB,并發糾纏可表示為C(|ψ〉AB)=其中ρA=trB|ψ〉〈ψ| .近年來,通過并發糾纏,參數化糾纏測度問題被廣泛研究[21–23].楊雪等[21]提出當q≥2 時的參數化單調糾纏量q-并發糾纏,它與一般的Tsallis-q熵有關,并且通過聯系PPT 判據和重排判據來刻畫它的解析下界.魏志偉等[22]將q-并發糾纏的解析下界刻畫得更緊致.此外,魏志偉和費少明[23]受Tsallis-q熵糾纏和參數化單調糾纏量q-并發糾纏的啟發,對于任意的0 ≤α≤1/2,提出了一種新的參數化糾纏度量,命名為α-并發糾纏,并且研究了它的性質,刻畫了其解析下界.本文將提出一種參數化糾纏度量,命名為α-對數并發糾纏.

此外,用解析方法計算任意給定混合態的糾纏度是非常困難的.目前,只適用于特殊度量和雙量子位態或特殊的高維混合態[12,24–28].因此,尋找糾纏度量的解析下界具有重要意義.如在文獻[29–33]中,通過聯系PPT 判據和重排判據,給出了并發糾纏的解析下界.本文的一個目標是構造α-對數并發糾纏的解析下界.第2 節給出α-對數并發糾纏的定義,然后證明它是一個良好的糾纏度量;第3 節根據PPT 判據和重排判據,得到一般兩體系統α-對數并發糾纏的解析下界;第4 節計算了isotropic 態的α-對數并發糾纏;第5 節研究α-對數并發糾纏的單配性問題.

2 α-對數并發糾纏

在量子系統中,對于Hilbert 空間HA?HB中的任意純態|ψ〉,并發糾纏(concurrence)定義為

其中,ρA為子系 統A 的約化 密度算子,ρA=trB|ψ〉〈ψ|.純態的并發糾纏與特定的Rényi-α 熵有關,即當α=2時,C(|ψ〉)=其中R2(ρA) 表示α=2時的Rényi-α熵,R2(ρA)=-log2tr.接下來,定義另一個參數化糾纏度量并命名為α-對數并發糾纏,對于α≥2,它與一般的Rényi-α 熵有關.

HA?HB是任意d×d維的Hilbert 空間,任意定義在Hilbert 空間HA?HB上的純態|ψ〉 可以表示為Schmidt 分解:

其中λi表示Schmit 系數的平方,且λi>0,m是Schmit數,1 ≤m≤d.{|ai〉}和{|bi〉}是與子系統A 和B 相關聯的規范正交列[34].

定義2.1對于任意的純態|ψ〉,α-對數并發糾纏可以被定義為

對任意的α≥2,其中ρA=trB|ψ〉〈ψ| 是約化密度算子.

根據上面的定義,對于任意的純態|ψ〉 通過Schmidt 分解,可以得到

其中,Gα(|ψ〉) 滿足0 ≤Gα(|ψ〉)≤-log2m1-α.當且僅當|ψ〉 是可分態時下界可以得到,當最大糾纏純態時,上界可以得到.

定義2.2對于Hilbert 空間HA?HB中的一般的混合態ρAB,可以通過凸頂的形式對α-對數并發糾纏進行定義:

令D是Hilbert空間HA?HB上的一 個兩體態的集合.一個良好定義的糾纏度量E應該滿足以下基本條件[35–37]:

1)E(ρ)≥0對于任意態ρ ∈D,當且僅 當ρ 為可分態時等號成立;

2)E(ρ) 在局部酉變換下是不變的,即E(ρ)=

3) 在局部操作與經典通信(LOCC)下E(ρ)是不增的,即對任意的LOCCΛE(ρ)≥E(Λ(ρ)) .

定理2.1α-對數并發糾纏Gα(ρ) 由定義2.2給出的形式,是一個糾纏度量.

證明需要驗證Gα(ρ) 滿足糾纏度量定義的3 個條件.

1) 由定義2.1可以得到Gα(|ψ〉)≥0,再通過Gα(ρ)的凸頂形式,根據定義可以得到Gα(ρ)≥0 .如果ρ 是一個糾纏態,那么在ρ 的任意純態分解中,至少存在一個糾纏純態|ψ〉,那么至少有一個Gα(|ψi〉)>0,再根據Gα(ρ) 的凸頂形式,可以得到Gα(ρ)>0.因此,Gα(ρ)=0 當且僅當ρ 是可分態.

2) 由tr(ρα) 的酉不變性,可知Gα(|ψ〉) 是局部酉不變的,再根據Gα(ρ) 的凸頂形式,可以得到

3) Mintert 等[38]證明了在LOCC 條件下,可以從態|ψ〉開始制備態|?〉當且僅當λψ ?λ?.λψ表示由態|ψ〉 的Schmit 系數的平方按降序給出的Schmit 向量.λψ ?λ?表示λψ被λ?優化.由于在LOCC下糾纏度量是不增的,當λψ ?λ?時,任意糾纏度量E必須滿足E(ψ)≥E(?) .在文獻[39]中,這種條件被稱為Schur 凹.E作為Schmidt 系數的平方λi的函數是Schur 凹的,當且僅當滿足下面兩個條件:

1)E在任意兩個元的置換下是不變的;

2) 對于λ的任意兩個分量λi和λj,滿足

接下來,只需驗證Gα(ρ) 是Schur 凹的即可得到Gα(ρ)在LOCC 下是不增的.所以,需要驗證上述兩個條件.首先,對任意純態|ψ〉,當λ中的任意兩個Schmidt 系數的平方λi和λj置換時,α-對數并發糾纏Gα(ρ) 是不變的.所以驗證了條件1).一個簡單的計算表明:

對λ中的任意兩個Schmidt 系數的平方λi和λj都成立.當α≥2時,,所以可以直接驗證(6)式的不等式成立.根據上述條件,可以得到:

式中最后一個不等式由Gα(ρ) 的凸頂形式的定義得到.證明完成.

3 α-對數并發糾纏的下界

本節通過使用PPT 判據和重排判據來推導α-對數并發糾纏的下界.一個兩體態可以寫成的形式,i和k是子系統A 的行和列下標,j和l是子系統B 的行和列下標.PPT 判據[5,6]: 如果態ρAB是可分的,則對A 系統的偏轉置是非負的,即≥0,偏轉置矩陣為

重排判據[7–9]: 重排矩陣為

如果態ρAB是可分的,則∥R(ρ)∥1≤1,其中∥X∥1表示矩陣X的跡范數,∥X∥1=

定理3.1對于HA?HB上維數分別為m和n(m≤n)的任意混合糾纏態ρ,α-對數并發糾纏Gα(ρ)滿足下面不等式:

從文獻[21]和文獻[40]可以得到下面的不等式:

這里,不等式(16)來自不等式:

因此,將不等式(22)代入不等式(18),可得:

根據(9)式,即

用類似的方法可以證明

結合不等式(23)和不等式(24),可得

至此完成了該定理的證明.

4 α-對數并發糾纏關于isotropic 態

Isotropic態ρF可以表示為

定理4.1給出isotropic態ρF在Cd ?Cd(d≥2)上的α-對數并發糾纏Gα(ρ) :

其中,F ∈(1/d,1],co(η(F,α,d)) 表示給定函數η(F,α,d)上界的最大凸函數.

證明下面利用文獻[26,41,42]中的相關方法給出這個定理的證明.對稱態ρF下的Gα由下式給出:

其中函數η(F,α,d) 可定義為

通過Schmit 分解可以得到

通過直接計算可以得到

其中Fd≥1 .極值的條件由下式給出:

其中Λ1,Λ2表示拉格朗日乘子.對任意的α≥2,是關于的凸函數.我們知道一個凸函數和一個線性函數至多在兩點上相交,因此方程(32)至多有兩個非零解.令γ,δ表示這兩個正解,則

其中n+m≤d,n≥1 .最小化問題已轉化為如下問題:minGα(|ψ〉) 約束條件為

其中Gα(|ψ〉)=-log2(nγ2α+mδ2α).通過求解上述方程,可以得到:

因此,只需要在1 ≤n≤Fd和Fd≤n+m≤d定義的平行四邊形區域上最小化Gα(|ψ〉) 即可.首先,通過對約束條件做如下微分來計算γnm和關于n和m的導數:

接下來,計算Gα(|ψ〉) 關于n和m的偏導數:

同樣是金枝玉葉的段譽，第一次來燕子塢吃的那些：“茭白蝦仁”“龍井茶葉雞丁”，看看就教人饞涎欲滴。段譽的當時心理評判是這樣的：“魚蝦肉食之中混以花瓣鮮果，色彩既美，自別有天然清香。”

容易發現:

因此,主要通過分析下面的方程來判斷偏導數是正還是負:

通過分析得到:

不等式(43)可由函數f(α)=(關于α 的增函數)得到.對于任意的α≥2和γ≥δ,有

和之前一樣主要分析前面的方程:

通過化簡得到:

設t=δ/γ,t ∈[0,1] .記(49)式中括號里面的式子為

則f(1)=0.對f(t) 求導得到下式:

然后,令

則g(1)=1.對g(t) 求導得到下式:

有h(1)=0,當α≥2時,

通過這種方法,得到函數η(F,α,d) 的解析表達式為

其中,γ和δ 可以寫成

至此完成了對定理的證明.

例4.1為了方便起見,以d=2為例,即

其中F ∈[1/2,1],可以得到:

根據co(·) 的定義,需要計算η(F,α,2) 的二階導數來判斷其性質,從而給出co(η(F,α,2)) 的解析式.對于二階導數,有

通過(66)式和(67)式可以知道P1-P2和P1+P2是非負的.然后可以得到下面的結果:

根據不等式(68),有

接下來可以得到:

對任意的α≥2都成立,其中當且僅當F=1 時等號成立.因此,對F ∈[1/2,1],η(F,α,2) 的二階導數是非負的.也就是說,當α≥2時,η(F,α,2) 是F ∈[1/2,1]上的凸函數.根據co(η(F,α,d)) 的定義,可以得到co(η(F,α,2)) 的解析式.雙量子比特isotropic態ρF的Gα由下式給出:

5 α-對數并發糾纏的單配性

本節建立了一個關于α-對數并發糾纏的單配性的數學表達式.首先,在雙量子比特中建立并發糾纏與α-對數并發糾纏Gα之間的函數關系.對雙量子比特純態,得:

對任意兩體純態|ψ〉AB,并發糾纏C(|ψ〉AB) 可以寫成:

不難發現,|ψ〉AB的Schmit 系數λ0,λ1,即約化密度矩陣ρA的特征值與C(|ψ〉A√B) 存在一一對應的關系.這個關系為通過上述方法,可以定義雙量子比特系統中并發糾纏與Gα之間關系的函數.

定義5.1對任意的α≥2,gα(x)是x ∈[0,1]上的可微函數,使得

根據gα(x),可以寫出下式:

根據gα的性質,可以給出混合態ρAB的形式.

引理5.1對任意的α≥2,gα在x ∈[0,1] 上是一個單調遞增的凸函數.

這個引理證明由文獻[18]給出.基于這個引理,給出了關于混合態ρAB的如下定理.

定理5.1對任意的α≥2,當gα是單調遞增的凸函數時,有

對任意的雙量子態ρAB.

式中第二個等式來自Gα(|ψ〉AB)=gα(C(|ψ〉AB)) .第一個不等式來自gα的凸性.根據gα是單調遞增函數以及C(ρAB) 的定義,可以得到第二個不等式.設存在一個最優分解使得

式中第二個等式來自C(|ψi〉AB)=C(ρAB),不等式來自Gα(ρAB) 的定義.根據上述兩個不等式,可以得到:

至此,完成了證明.

CKW 不等式是單配性不等式,具體如下:

其中C是并發糾纏,|ψ〉A(BC)表示將ABC 切分成兩部分A 和BC,C(ρAB)和C(ρAC) 是約化密度矩陣ρAB和ρAC在子系統AB 和AC 上的并發糾纏.

引理5.2對于任意的α≥2,

其中0 ≤x,y≤1,0 ≤x2+y2≤1 .

這個引理證明由文獻[18]給出.

定理5.2對于α≥2 和任意的三體量子態ρA(BC),有關于Gα單配性不等式:

證明對于α≥2,注意到,對于A 和BC 的二分,|ψ〉A(BC)是2?4 純態.由于gα(x) 單調遞增的性質以及CKW 不等式,可以得到:

其中ρAB=trC(|ψ〉ABC〈ψ|),ρAC=trB(|ψ〉ABC〈ψ|),然后利用引理2中的不等式,得到

將兩個不等式結合起來得到:

根據Gα和并發糾纏的函數關系,(84)式可以改寫為

式中最后一個不等式來自于Gα(ρ) 的定義.至此,完成了證明.

6 結論

本文研究了基于Rényi-α 熵的參數化糾纏度量問題.首先,引入了α-對數并發糾纏的概念,其中α≥2 ;然后,證明了α-對數并發糾纏是一個定義良好的糾纏度量,得到了α-對數并發糾纏的下界,計算了isotropic 態的α-對數并發糾纏的表達式;最后,對該糾纏度量單配性問題進行了討論.參數化糾纏度量α-對數并發糾纏給出了一族糾纏度量,豐富了量子糾纏理論,后續工作可以對參數α 的范圍進行討論,研究α ∈(0,1) 時的情況.