哈密頓量宇稱-時(shí)間對(duì)稱性的刻畫*

張慧潔 賀衎

(太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,太原 030024)

宇稱-時(shí)間(PT)對(duì)稱性理論描述了具有實(shí)能級(jí)的非厄密特哈密頓量,在量子物理學(xué)和量子信息科學(xué)中起著重要作用,是量子力學(xué)中活躍且重要的主題.研究者們對(duì)如何描述哈密頓量的PT 對(duì)稱性的問題給予了高度關(guān)注.本文基于PT 對(duì)稱理論和哈密頓量歸一化特征函數(shù),提出了算子F 的定義.然后,在找到算子CPT和算子F 的對(duì)易子和反對(duì)易子的特性后,給出了刻畫了無(wú)量綱情況下哈密頓量的PT 對(duì)稱性的第一種方法.進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn),該方法還可以量化哈密頓量在無(wú)量綱情況下的PT 對(duì)稱性.此外,提出了另一種基于哈密頓量特征值實(shí)部和虛部來(lái)描述哈密頓量PT 對(duì)稱性的方法,該方法僅用于判斷哈密頓量是否具有PT 對(duì)稱性.

1 引言

量子力學(xué)中的一個(gè)重要理論是宇稱-時(shí)間(PT)對(duì)稱理論.PT 對(duì)稱理論的研究始于量子力學(xué)模型的研究.量子力學(xué)是數(shù)學(xué)希爾伯特空間中的態(tài)與實(shí)驗(yàn)中可測(cè)概率間的聯(lián)系.由于概率是實(shí)的且是正的,所以要求概率所對(duì)應(yīng)的希爾伯特空間上的向量的范數(shù)必須是正的.由于概率是守恒的,是不隨時(shí)間變化的,即時(shí)間酉演化,所以希爾伯特空間上的任意兩個(gè)不同向量之間的內(nèi)積在時(shí)間上必須是常數(shù).所以有了量子力學(xué)中任何量子理論都不能違背的兩個(gè)基本公理: 1)能級(jí)是實(shí)的;2)時(shí)間酉演化.想要滿足量子力學(xué)的兩個(gè)基本公理需要限制數(shù)學(xué)上的哈密頓量是實(shí)的、對(duì)稱的,但這不是一般的條件.事實(shí)上,物理情形中存在復(fù)哈密頓量,許多研究者將哈密頓量H從實(shí)空間推廣到了復(fù)空間[1],這就有了更一般的條件要求: 哈密頓量是厄密的.

1998年,Bender 和Boettcher[2]發(fā)現(xiàn)具有實(shí)譜的非厄密哈密頓量具有PT 對(duì)稱性.后來(lái)Bender[3]指出,因?yàn)楹瘮?shù)PT 對(duì)稱,所以考慮哈密頓量H=+是PT 對(duì)稱的.通過考慮哈密頓量H=+的δ 展開H=,發(fā)現(xiàn)加入微小攝動(dòng)的哈密頓量的能級(jí)在δ≥0時(shí),哈密頓量的能級(jí)仍然是實(shí)的[4],所以引入了PT對(duì)稱理論來(lái)描述有實(shí)能級(jí)的非厄密的復(fù)哈密頓量.擁有實(shí)能級(jí)的復(fù)哈密頓量可以是PT 對(duì)稱的哈密頓量,也可以是厄密的哈密頓量,但是不能同時(shí)都是.但是實(shí)哈密頓量可以既是PT 對(duì)稱的哈密頓量,又是厄密的哈密頓量.實(shí)際上,早已有文獻(xiàn)說(shuō)明非厄密PT 對(duì)稱哈密頓量已經(jīng)被用來(lái)描述小球量子系統(tǒng)的基態(tài)、場(chǎng)理論和Lee-Yang 邊緣奇點(diǎn)等現(xiàn)象[5–7].文獻(xiàn)[2]描述了PT 對(duì)稱理論中新的復(fù)哈密頓量不同于經(jīng)典的和量子的性質(zhì),刻畫了非厄密哈密頓量的能級(jí)譜.文獻(xiàn)[8]說(shuō)明PT 對(duì)稱的哈密頓量的能級(jí)譜仍然滿足量子力學(xué)的兩個(gè)公理,可以把PT 對(duì)稱量子力學(xué)視為普通量子力學(xué)的復(fù)雜版本.

關(guān)于PT 對(duì)稱理論及其應(yīng)用的研究也不斷深入[9?11].文獻(xiàn)[9]研究了PT 對(duì)稱耦合振子中的二重躍遷.文獻(xiàn)[10]討論了PT 對(duì)稱哈密頓量在量子信息科學(xué)中的應(yīng)用.利用PT 對(duì)稱哈密頓量的不等價(jià)實(shí)驗(yàn)解決了使用PT 對(duì)稱哈密頓量執(zhí)行指數(shù)級(jí)快速數(shù)據(jù)庫(kù)搜索(量子計(jì)算機(jī)不可能完成)與超光速信息傳遞的不可能性以及局域操作下糾纏的不變性等基本信息原理之間的沖突.充分評(píng)估了使用PT 對(duì)稱哈密頓量提出的更快的時(shí)間演化和狀態(tài)識(shí)別的方案.文獻(xiàn)[11]利用PT 對(duì)稱理論的非線性性質(zhì),說(shuō)明在PT 對(duì)稱性下,增益和損耗可以為波導(dǎo)系統(tǒng)提供最佳的和靈活的控制.這使得PT 對(duì)稱性可能有很多物理上的應(yīng)用,如光開關(guān)、單向無(wú)反射PT-光學(xué)頻率下的對(duì)稱超材料、單模PT 對(duì)稱微環(huán)激光器、CPA 激光器和聲子激光器等.

對(duì)于哈密頓量的PT 對(duì)稱性的刻畫同樣值得進(jìn)一步的研究.2018年,El-Ganainy 等[12]關(guān)注了非厄密物理學(xué)和PT 對(duì)稱性間得與失的相互作用導(dǎo)致的新特征.2020年,Pi 等[13]說(shuō)明了復(fù)Berry相拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和PT 對(duì)稱破缺之間的關(guān)系.同年,俞上等[14]提出了一種基于擴(kuò)張哈密頓量的弱測(cè)量來(lái)表征哈密頓量的PT 對(duì)稱性的理論和實(shí)驗(yàn)方法,該方法也可以用來(lái)判斷哈密頓量H是否PT 對(duì)稱.

本文給出了哈密頓量PT 對(duì)稱性理論上的其他刻畫方式,主要結(jié)構(gòu)如下: 第1 節(jié)介紹本文用到的一些基礎(chǔ)知識(shí);第2 節(jié)基于PT 對(duì)稱理論,定義與哈密頓量歸一化特征函數(shù)相關(guān)的算子F,刻畫并量化哈密頓量的PT 對(duì)稱性;第3 節(jié)通過使用哈密頓量能級(jí)的實(shí)部和虛部,利用已定義算子F,給出判斷哈密頓量PT 對(duì)稱性的另一種方法;第4 節(jié)總結(jié)本文的研究?jī)?nèi)容.

2 基本理論

1) 對(duì)易子和反對(duì)易子[15]

對(duì)易子:[A,B]=AB-BA.

反對(duì)易子:{A,B}=AB+BA.

對(duì)易子與反對(duì)易子通常與一對(duì)算子的可交換性和不可交換性相關(guān),也與算子的對(duì)稱性與不可對(duì)稱性有關(guān),可以作為研究量子力學(xué)問題時(shí)的工具.

2) 給定無(wú)量綱哈密頓量的參數(shù)范圍下的能級(jí)情況[2,16]

哈密頓量H的形式:

其中N是實(shí)數(shù)(N>0),m不等于0,和分別是動(dòng)量運(yùn)算符和位置運(yùn)算符(在本文中,可以將,視為無(wú)量綱).有哈密頓量H的一般譜: 哈密頓量H的能級(jí)是參數(shù)N的函數(shù).值得注意的是: 當(dāng)N≥2時(shí),能級(jí)譜是正的也是實(shí)的;N=2 對(duì)應(yīng)于諧振子,其能級(jí)為En=2n+1;當(dāng)1

3) 量子力學(xué)的兩個(gè)公理: 能級(jí)是實(shí)的;時(shí)間酉演化.

4) PT 對(duì)稱理論[3]

PT 對(duì)稱理論核心的想法是用哈密頓量具有時(shí)空反演對(duì)稱性(PT 對(duì)稱性)這個(gè)較弱的條件代替量子理論中厄密的哈密頓量.用PT 對(duì)稱性代替厄密性條件時(shí),如果哈密頓量的對(duì)稱性沒有被打破,哈密頓量將表現(xiàn)出厄密哈密頓量描述的所有量子特征.而且PT 對(duì)稱的哈密頓量有和PT 算子可交換的性質(zhì),即有[H,PT]=0 .PT 對(duì)稱的哈密頓量在時(shí)間反演算子T對(duì)時(shí)間的反演(p →-p,x →-x,i→-i)和宇稱算子P對(duì)于空間的反轉(zhuǎn)(p →-p,x →-x)的共同作用下是不變的.但是哈密頓量H既不在宇稱算子P下不變,也不在時(shí)間反演算子T下不變.因此對(duì)于PT 對(duì)稱的哈密頓量H,有H=HPT=PTH.

5) 狄拉克δ 函數(shù)[17]

為了表示物理學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)、點(diǎn)電荷、瞬時(shí)力等不連續(xù)分布于空間或時(shí)間中,而是集中在空間的某一點(diǎn)或時(shí)間的某一瞬時(shí)的抽象模型的密度分布引入的概念.數(shù)學(xué)表示為δ(x)=0,(x0),=1.該表達(dá)式規(guī)定函數(shù)在0 點(diǎn)取非零值,其他點(diǎn)取0 值.不規(guī)定δ 函數(shù)在0 點(diǎn)的大小,函數(shù)值的大小由第二個(gè)積分式?jīng)Q定.

6) 本文所用名詞解釋

完全PT 對(duì)稱的哈密頓量: PT 對(duì)稱不破缺的哈密頓量,特征值全部為實(shí)特征值,整體隨時(shí)間做酉演化.

局部PT 對(duì)稱的哈密頓量: PT 對(duì)稱破缺的哈密頓量,特征值為實(shí)特征值和復(fù)特征值對(duì),整體隨時(shí)間做非酉演化,局部隨時(shí)間做酉演化.

PT 非對(duì)稱的哈密頓量: PT 對(duì)稱完全破缺的哈密頓量,沒有實(shí)特征值,只有復(fù)特征值對(duì).

哈密頓量的局部PT 對(duì)稱部分: PT 對(duì)稱破缺的哈密頓量保持PT 對(duì)稱的部分,具有實(shí)特征值,這些實(shí)特征值是哈密頓量特征值的一部分.哈密頓量的PT 對(duì)稱部分隨時(shí)間做酉演化.

哈密頓量的PT 對(duì)稱破缺部分: PT 對(duì)稱破缺的哈密頓量不保持PT 對(duì)稱的部分,具有復(fù)特征值對(duì),這些復(fù)特征值對(duì)是哈密頓量特征值的一部分.不保持PT 對(duì)稱的部分隨時(shí)間做非酉演化.

3 利用對(duì)易子和反對(duì)易子刻畫哈密頓量的PT 對(duì)稱性

本節(jié)利用對(duì)易子和反對(duì)易子,進(jìn)一步研究無(wú)量綱的哈密頓量的PT 對(duì)稱性.雖然可對(duì)角化和非可對(duì)角化哈密爾頓量都可以定義具有正CPT范數(shù)的希爾伯特空間,但是只有可對(duì)角化哈密頓量的特征函數(shù)是其退化根子空間的基函數(shù),而非可對(duì)角化哈密頓量對(duì)應(yīng)于退化根子空間的基函數(shù)不是哈密頓量的本征函數(shù)[16].哈密頓量非可對(duì)角化的情況比較復(fù)雜,所以為了便于研究,需要確保哈密頓量是可對(duì)角化的.又由于正則斯圖姆-劉維爾問題的證明結(jié)果,特征行列式中不存在多個(gè)零點(diǎn)[18]時(shí),哈密頓量H的特征函數(shù)在希爾伯特空間中是完備的.因此,本節(jié)的研究基于系統(tǒng)的理想假設(shè): 系統(tǒng)中不存在零CTP范數(shù),即特征行列式中不存在多個(gè)零點(diǎn).所以本節(jié)研究的哈密頓量是可對(duì)角化的,且其特征函數(shù)在希爾伯特空間中是完備的.

3.1 重構(gòu)宇稱算子P,哈密頓量H 的空間表示

設(shè)ψn是與哈密頓量H的特征值En相對(duì)應(yīng)的特征函數(shù),?n是哈密頓量H的歸一化特征函數(shù).這意味著:

為了更清晰地表征,可以根據(jù)本征函數(shù)重構(gòu)宇稱算子P、哈密頓量H的空間表示,分別表示如下[3]:

宇稱算子P是酉的:P2=1.且有H?n(x)=En?n(x),En是哈密頓量H的能級(jí).

特別地,H?n可以被表示為:H?n=En?n=An?n+Bni?n(An+Bni=En),?n是能級(jí)En所對(duì)應(yīng)的本征函數(shù).An和Bn是實(shí)數(shù),表示能級(jí)En的實(shí)部和虛部.

厄密量子力學(xué)中,希爾伯特空間內(nèi)積是具體的[3].對(duì)于非厄密的哈密頓量,對(duì)PT 空間上的兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x) 的內(nèi)積的合理猜測(cè)是

這里,PTf(x)=[f(-x)]?,有f(x)的PT范數(shù)為

所以哈密頓量H的本征函數(shù)?m(x)和?n(x)有新的內(nèi)積形式.然而,本征函數(shù)的PT范數(shù)不是正定的:(?m,?n)=(-1)nδmn,當(dāng)m=n.這是因?yàn)樵赑T 對(duì)稱量子力學(xué)中,量子態(tài)的矢量空間是由能量本征函數(shù)構(gòu)造的,其中一半有范數(shù) +1,另一半有范數(shù)-1[3].

3.2 引入線性算子C

在連續(xù)對(duì)稱理論中,哈密頓量H的對(duì)稱性與正負(fù)能級(jí)的數(shù)量有關(guān).這不利于描述哈密頓量H的局部PT 對(duì)稱和破缺部分.為了便于描述哈密頓量H的局部PT 對(duì)稱和破缺部分,引入了線性算子C.其性質(zhì)類似于量子場(chǎng)論中的電荷共軛算符.還可以根據(jù)本征函數(shù)重構(gòu)線性算子C,其空間表示如下:

線性算 子C是酉的:C2=1,且特征值是±1,C表示本征函數(shù)?n(x)的PT范數(shù)的符號(hào)的測(cè)量.因?yàn)镃是線性算子,所以有C?n(x)=(-1)n?n(x) .線性算子C具有一般的算子表示形式[3]:

則有

其中,An+Bni=En;An和Bn是實(shí)數(shù),分別是能量級(jí)En的實(shí)部和虛部[3].

令K 是一個(gè)基于哈密頓量H的本征函數(shù)的空間,可以在空間 K 上得到函數(shù)f的CPT范數(shù)[3,19],如下所示:

其中CPTf(x)=.此內(nèi)積滿足正范數(shù)的要求和量子力學(xué)中的酉理論.

3.3 定義與哈密頓量歸一化特征函數(shù)有關(guān)的算子F

算子G是將復(fù)空間中哈密頓量H的特征函數(shù)?n與其對(duì)應(yīng)能級(jí)En的乘積作為列向量的算子.可以表示為

由CPT算子和哈密頓量H的空間重構(gòu),如果?n屬于局部PT 對(duì)稱部分,則CPT?n(x)=[?n(-x)]?=?n(x),且能級(jí)En是實(shí)的,所以CPTH?n(x)=[?n(-x)]?=En?n(x),否則,CPTH?n(x)=[?n(-x)]?[3].

若?n(n=1,2,···,n,···) 屬于哈密頓量局部PT 對(duì)稱部分,當(dāng)m=n時(shí),有(?n(x),?m(x))=若存在?n(n=1,2,···,n,···) 不屬于哈密頓量局部PT 對(duì)稱部分,則有上式中的不等號(hào).

令cn=En/∥G∥,an=An/∥G∥,及bn=Bn/∥G∥,則算子G歸一化得到算子F:

由CPT算子和哈密頓量H的空間重構(gòu),得到

所以,算子F的CPT 范數(shù)為

3.4 刻畫哈密頓量的PT 對(duì)稱性

將PTF分為兩部分:PTF=[PT,F]+{PT,F}.其中[3],

對(duì)易算子[PT,F]表示PT和F是不可交換,反對(duì)易算子{PT,F}表示PT和F是可交換的.

又因?yàn)镃PT算子是酉的,所以

接下來(lái),將得到∥{CPT,F}∥CPT和∥[CPT,F]∥CPT的界.

因?yàn)镃PT算子是酉的,CPT2=I,所以

因?yàn)?n不總是屬于局部PT 對(duì)稱的部分,函數(shù)f不一定是完全PT 對(duì)稱的,所以f和CPTf不能保證是時(shí)間酉演化的.由于CPT算子是酉的,CPT-1算子也是酉的,所以

其中,∥?∥a是算子范數(shù).

這表明,0 ≤∥[CPT,F]∥CPT≤1/2 .

這意味著:

根據(jù)I(CPT,F),J(CPT,F) 的范圍和與交換性的聯(lián)系的特性,則有:

I(CPT,F)=∥[CPT,F]∥CPT可以表示PT 對(duì)稱破缺部分;

J(CPT,F)=∥{CPT,F}∥CPT可以表示PT對(duì)稱部分.

若I(CPT,F)=∥[CPT,F]∥CPT=0,表示所有?n屬于PT 對(duì)稱部分,即哈密頓量H是全局PT對(duì)稱的.

若I(CPT,F)=∥[CPT,F]∥CPT0,表明?n屬于PT 對(duì)稱破缺部分,即哈密頓量H是PT 對(duì)稱破缺的.

可以得到如下結(jié)論:

1)當(dāng)N<1,哈密頓量H的能級(jí)譜中沒有實(shí)特征值,不滿足量子力學(xué)的兩個(gè)公理.此時(shí)哈密頓量H是PT 對(duì)稱完全破缺的,可以用I(CPT,F)=∥[CPT,F]∥CPT表示.

2)當(dāng)1

3)對(duì)于N≥2,哈密頓量H的能級(jí)譜的特征值都是正的實(shí)特征值,哈密頓量H是全局PT 對(duì)稱的,可以用J(CPT,F)=∥{CPT,F}∥CPT表示.

這意味著I(CPT,F)和J(CPT,F) 是守恒的,且當(dāng)F為全局PT 對(duì)稱的取最后一個(gè)等號(hào),這與哈密頓量H的破缺部分和PT 對(duì)稱部分是守恒的相一致.

基于上述討論,建立了描述哈密頓量H的PT 對(duì)稱性的一種方式.該方法下,哈密頓量H的局部PT 對(duì)稱性與哈密頓量H與CPT算子的可交換性有關(guān),哈密頓量H的破缺部分與哈密頓量H與CPT算子的不可交換性有關(guān).該方法可以量化哈密頓量H的局部PT 對(duì)稱部分和破缺部分,而不是僅僅判斷哈密頓量H是否是全局PT 對(duì)稱的.對(duì)于給定的哈密頓量H,可以得到特征值En和相應(yīng)的特征函數(shù)?n,以及算子F的定義,進(jìn)而得到哈密頓量H的PT 對(duì)稱部分和破缺部分.

4 利用哈密頓量特征值的實(shí)部和虛部判斷哈密頓量的PT 對(duì)稱性

對(duì)于僅僅需要區(qū)分哈密頓量H是否是全局PT對(duì)稱的情況,本節(jié)給出另一種較為簡(jiǎn)捷的刻畫方式.該方法同樣基于上述定義中的算子F,通過利用哈密頓量H的實(shí)部和虛部,刻畫哈密頓量H的PT 對(duì)稱性.

4.1 利用CPT 算子和F 算子表示哈密頓量的實(shí)部和虛部

本節(jié)定義另外一組特殊的算子,使其CPT范數(shù)為上一節(jié)算子F的實(shí)部ReF和虛部ImF的倍數(shù).由算子F和哈密頓量H歸一化特征函數(shù)的密切關(guān)系可以反映出哈密頓量H的實(shí)部或者虛部的情況.

另一方面,

所以,

表明算子F的實(shí)部和虛部的和是守恒的.這與確定的哈密頓量H的實(shí)部和虛部是守恒的相一致.

4.2 判斷哈密頓量的PT 對(duì)稱性

若ImF=0,所有本征函數(shù)?n的能級(jí)En僅有實(shí)部,是實(shí)數(shù).此時(shí)全部本征函數(shù)?n屬于PT 對(duì)稱部分,表明哈密頓量H是全局PT 對(duì)稱的,反之亦然.若ImF0,表明存在本征函數(shù)?n的能級(jí)En是具有虛部的,是復(fù)數(shù).表明此時(shí)的哈密頓量H是PT 對(duì)稱破缺的,反之亦然.若ReF=0,所有?n的能級(jí)En只有虛部,?n必定屬于PT 對(duì)稱完全破缺的部分,表明哈密頓量H是PT 非對(duì)稱的,反之不然,是充分不必要條件.

5 結(jié)論

本文給出了刻畫哈密頓量H的PT 對(duì)稱性的兩種方式: 1)J(CPT,F),I(CPT,F) ;2)ReF,ImF.由于實(shí)數(shù)和虛數(shù)在實(shí)驗(yàn)上是可探測(cè)的,后者比前者可能更容易操作.若僅關(guān)注哈密頓量H是否是PT 對(duì)稱破缺的,而不關(guān)注破缺部分的量化,使用ImF的刻畫方式更簡(jiǎn)捷.但前者在理論上可能更好,因?yàn)槭褂肑(CPT,F) 可以量化哈密頓量的局部PT 對(duì)稱部分,而ReF不能用于量化哈密頓量的局部PT 對(duì)稱部分.

若哈密頓量H是全局PT 對(duì)稱的,只需要關(guān)注實(shí)部ReF和PT 對(duì)稱部分J(CPT,F) .若哈密頓量H是PT 對(duì)稱破缺的,而第二種刻畫方式只需要關(guān)注ImF,對(duì)于第一種刻畫方式需要關(guān)注局域PT 對(duì)稱部分J(CPT,F) 和PT 對(duì)稱破 缺部分I(CPT,F).若哈密頓量H是完全破缺的,可以僅關(guān)注ImF和PT 對(duì)稱破缺部分I(CPT,F),如表1所列.

表1 比較刻畫哈密頓量H PT 對(duì)稱性的兩種方法Table 1.Compare two depiction methods of PT-symmetry of Hamiltonian H.

需要注意的是,當(dāng)想要判斷哈密頓量H是否是完全PT 對(duì)稱破缺時(shí),需要關(guān)注I(CPT,F) 是否為0,而不是ReF是否為0,因?yàn)镽eF不利于區(qū)分局部PT 對(duì)稱性和PT 對(duì)稱完全破缺性.若哈密頓量H是PT 非對(duì)稱的,則存在哈密頓量H的本征函數(shù)?n的能級(jí)En是復(fù)數(shù),但不一定是純虛數(shù),所以ReF不一定為0.由于參數(shù)N與哈密頓量H能級(jí)譜的關(guān)聯(lián),此區(qū)別主要體現(xiàn)于參數(shù)N≤1 的情形.