基于勢函數的多車自動駕駛交互

黃兢誠

（香港中文大學，香港 999077）

一、簡述

多車輛協同控制的研究始于20世紀70年代。主要研究內容是如何組織多車輛系統完成給定的任務。近年來，世界上許多研究機構都在這一方向上取得了一定的成果。研究重點主要在以下四個問題：共識、群集、群集控制和編隊控制。

本文主要研究基于勢函數的多車輛編隊控制方法。目標是使多車輛系統達到：一是到達指定位置；二是避免車與車、車與障之間的碰撞。基于車輛的物理模型，構建合適的系統勢函數，以使得系統最后能夠收斂。使用Lyapunov理論驗證了系統的穩定性，最后使用matlab進行了軟件仿真。

二、勢函數

（一）勢函數介紹

勢函數是在20世紀90年代提出的一種虛擬力場的方法，旨在構造一個人工勢場，對場內的車輛或智能體進行控制。在場內，目標位置對車輛產生虛擬引力，引力方向從車輛指向目標位置，引力大小與車輛和目標之間的距離成正相關；障礙物或其他車輛對控制車輛產生虛擬斥力，斥力方向從障礙物指向控制車輛，斥力大小與障礙物和控制車輛之間的距離成反相關[1]。

圖1 虛擬勢場

（二）建模

對系統中每一個個體進行物理建模。本文使用一階模型，輸入為線速度和角速度，其狀態空間方程為：

（三）連通性

部分多車輛系統包含一個主機，多個從機。各從機通過傳感器感知到環境信息后，傳遞給主機，在主機內進行決策判斷，最終下達控制指令給到各從機。也有一些系統是多主機系統，各自個體接收到周圍個體信息后，自我決策。

實際系統中，常需要每一個個體之間都存在信息傳遞。受限于通信方式，存在約束是所有個體需要在一定的區域內行動，保持連接。這就是群集，確保系統的連通性。

如圖2，考慮一個以r0為中心，以R0為半徑的圓形。系統中所有車輛在移動中，必須時刻保持在這樣的虛擬圓形區域內，以保證發送和接受信息的穩定性。

圖2 連通區域

轉換成數學模型即：

其中，di0是個體i和限制區域中心圓點r0的距離；rα是個體車輛的物理半徑。由于限制區域的半徑R0和個體車輛的物理半徑rα是常量，使用R=R0-rα代替。

使用Ci0表示個體距離限制區域邊緣的距離，簡化后的模型即：

基于此，我們可以構造連通性邊緣的斥力勢函數為：

為了使得系統收斂，使用梯度構造目標坐標的引力勢函數，結合上述斥力勢函數，可得：

使用梯度函數的原因在于：1.當Ci0接近于0時，即控制個體i即將超出限制區域時，斥力bi0(ri)將會趨近于無窮，阻止其沖出；2，當個體i坐標接近目標坐標rid時，即到達指定區域，那么綜合勢函數ri0(ri)將會趨近于0，不再有任何方向的勢力，使其可以收斂。

此外，式中的bi0(ri)的梯度表達式在此處給出：

為了確保得到一個可以使用Lyapunov理論的正定函數，對其采取平方：

（四）避撞

當系統中多個車輛在移動時，有必要對整個系統進行協調控制，避免車與車之間的碰撞[2]。

圖3是個體i與個體j之間的物理距離示意圖。為確保兩者之間不發生碰撞，需要確保其質心之間的距離大于兩者半徑之和。此處以圓形代替真實的車輛尺寸，在實際中，可以以車輛表面任意兩點連線中最長的距離，作為本文圓形模型的直徑，即可達到一樣的避撞效果。使用dij表示二者質心的距離，約束可以用數學模型表達為：

圖3 避撞示意圖

使用坐標表示，則有約束：

可以構造同樣的斥力模型：

為使得系統能夠收斂，定義勢函數為：

最后將其平方，得到正定函數，同時乘以系數ρ：

該系數ρ是取決于二個個體間距離的權數參數，當超出一定距離，可以忽略該斥力；當距離太近時，權數增加到1，斥力充分發揮作用，避免碰撞；當距離由遠及近或由近及遠，斥力呈現出平穩的變化趨勢。

（五）控制率

結合上述保持連通性和避撞的約束條件，整合出每個個體i完整的勢函數方程：

為計算方便，將其歸一化：

基于勢函數，可以計算得到控制方向和大小。針對每個個體i給出控制率：

其中，ki和λi是控制參數的比例系數，而控制合力的方向，由勢函數求偏導后給出。

該系統的穩定性在2.6小節中由Lyapunov理論證明。

（六）Lyapunov 證明

存在類Lyapunov函數Vi，基于此求導有：

引入梯度向量，可得：

將其帶入Vi：

當個體i到達目標坐標時，即ζi=0，顯然Vi值也為0。為避免存在某一點非目標坐標的其他坐標rγ使得廣義梯度朝各向都是0，引入系數α∈[0,1]：

那么動態方程可以轉化成：

其中β∈[0,1]，ui≥0。簡化后得：

因此，當且僅當個體i到達目標坐標時，才會收斂到0，ui也同步收斂。

將目標坐標帶入表達式，即ri→r0時，可表達為：

三、仿真

本文使用matlab進行了2次仿真。搭建的系統中一共設置了13個個體，分別有各自的初始坐標和目標坐標。在仿真開始后，它們將在勢函數的作用下，朝著指定位置前進，同時保持連通性和避障。此外，在第15秒時，目標位置發生變化，系統需要即時調整，朝新坐標收斂。

（一）第一次仿真

記錄過程的圖組中清楚地顯示，在前15秒中，各個體均可以成功到達設置的目標位置；但當15秒調整了目標位置后，存在2個個體無法正確收斂，而是停在了某一平衡點。

原因是出現了局部最小值[4]。在該點，個體在虛擬勢場中受到的引力和斥力是平衡的，合力為0，所以控制率也為0，個體不再移動，達到平衡。而出現局部最小值的原因是避障勢函數不合適，導致系統會存在多個平衡點。為解決這個問題，需要調整避障勢函數。

（二）第二次仿真

在此次仿真中，所有個體均能收斂到目標位置，達到所有預期。

四、總結

本文主要闡述了基于勢函數的多車輛編隊控制方法。通過系統的物理模型，構建出合適的勢函數，使得系統收斂到給定目標，且過程中保持連通性和沒有碰撞發生。仿真結果表明，系統搭建成功。

事實上，勢函數法存在很多問題，例如局部最小值和局部振蕩，但其也有獨特的優勢，如安全可靠、響應快速、控制平滑[5]……關鍵點在于找到合適的勢函數模型，才能夠有一個穩定可靠的系統。