多連通區(qū)域到狹縫圓環(huán)域的共形映射計(jì)算法

趙 鑫, 呂毅斌

(昆明理工大學(xué) 理學(xué)院, 昆明 650500)

0 引 言

共形映射可將復(fù)雜區(qū)域映射到正則狹縫域,同時保持曲線之間的夾角在大小和方向上不變,這一性質(zhì)常用于復(fù)雜區(qū)域中研究的問題,例如應(yīng)用于流體力學(xué)、水波和彈性力學(xué)等領(lǐng)域內(nèi)的許多實(shí)際問題[1-7]．但是,將復(fù)雜區(qū)域共形映射到正則狹縫域的解析式難以求得,針對這一問題,許多研究者以計(jì)算機(jī)為工具,提出了有效的數(shù)值方法和思想[8-19]．例如:1966年,Symm[8-10]首次使用計(jì)算機(jī)計(jì)算了共形映射的數(shù)值解,該方法利用位勢理論提出了使用第一類Fredholm積分方程,計(jì)算了單連通區(qū)域和雙連通區(qū)域的數(shù)值共形映射映射函數(shù)．1988年,Amano[11]簡化了Symm的方法,提出了基于模擬電荷法的數(shù)值共形映射計(jì)算法(Amano法),用于將任意單連通區(qū)域共形映射到單位圓盤．后經(jīng)不斷發(fā)展,其也可用于計(jì)算多連通區(qū)域到多種正則域的共形映射函數(shù)[12-15]．2009年,Nasser等[16-17]將求解共形映射函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求解一個Riemann-Hilbert問題,提出了帶廣義Neumann核的第二類Fredholm積分方程法,并將其應(yīng)用于碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料內(nèi)穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)的仿真模擬．

1916年,Koebe[20]提出了39種具有廣泛應(yīng)用前景的正則狹縫域,并將其歸為5類．目前,雖然存在許多計(jì)算多連通區(qū)域共形映射的數(shù)值方法,但是其研究內(nèi)容大都針對于將低連通度區(qū)域共形映射到較為簡單的第一類正則狹縫域[14-16,21-25]．區(qū)域的連通度以及正則狹縫域復(fù)雜度的提高會導(dǎo)致共形映射的計(jì)算量和誤差大大增加,而模擬電荷法在計(jì)算共……