多孔功能梯度壓電納米殼中波傳播特性

王鑫特, 劉 娟, 胡 彪, 張 波, 沈火明

(西南交通大學 力學與航空航天學院, 成都 611756)

0 引 言

隨著新型智能器件的高速發展,開發各類多功能材料已成為一種趨勢．其中,功能梯度壓電材料(functionally graded pizeoelectric material,FGPM)是采用先進的材料復合技術將兩種或多種不同材料耦合而成的非均質材料[1]．FGPM的構成要素(組份、組織、顯微氣孔率等)隨空間位置呈梯度性連續變化,能充分減少和克服組份材料結合部位界面性能的不匹配因素,具有良好的抗變形能力、機電轉換性及耐腐蝕性[2-4]．在FGPM制造過程中可通過調控兩種或兩種以上材料組分的體積分數、孔隙率等參數來設計材料性能,以滿足工程結構特定的功能要求．隨著智能器件逐漸向微型化方向發展,FGPM的應用范圍逐漸延伸至納機電系統領域．納機電系統中承載構件可以簡化為特征尺度處于納米量級的梁、板、殼等結構,典型應用為納米諧振器、納米傳感器、納米執行器、納米開關等．

隨著構件特征尺寸減小至納米尺度,原子之間長程作用力會顯著增加,尺度效應變得不可忽略．分子動力學模擬表明,經典連續介質力學理論所預測的納米結構振動頻率與實測結果相差10%～30%[5]．因此,尋找和發展適應于納米力學研究的新途徑和新方法,是當前連續力學的研究熱點之一[6]．由Eringen[7]提出的非局部彈性理論在納米力學研究中扮演著重要角色,非局部連續力學將分子間作用力是長程力的思想引入到傳統連續介質力學中,認為連續體內某一點的應力不僅取決于該點的應變,還是連續體內所有點的應變及應變梯度的函數．非局部理論被諸多學者證明能成功地預測軟化效應[8-10]．然而Kuang等[11]研究了含流體的雙壁碳納米管的非線性振動,表明非局部彈性模型無法預測材料可能存在的剛度硬化效應．而且在不同金屬材料的微納米壓痕實驗中[12-13],同樣觀察到了非局部理論無法解釋的微尺度下材料強度比常規尺度下材料強度顯著提高的現象．而應變梯度假設則是將連續體中的每一個物質點看作含有高階應變的胞元,據此引入長度尺度參數來表征其對結構力學性能的影響,該參數可合理地預測結構中的剛度硬化效應[14]．Lim等[15]基于非局部理論并結合應變梯度假設,提出了新的非局部應變梯度理論．該理論考慮了應變梯度的非局部效應,也考慮了材料物質點處高階應力梯度的非局部效應．Lim等將該理論應用于納米梁和碳納米管中的波傳播分析中,揭示了關于晶格動力學和波傳播實驗的一些新發現．Ma等[16]通過兩種非局部應變梯度殼理論,研究了磁電彈性納米殼中的波傳播特性,總結了電-磁-機械荷載與截止波數的關系．Wang和他的同事[17-19]利用非局部應變梯度理論,對功能分級納米板在彎曲、屈曲和軸向運動時的振動特性和穩定性進行了系統研究,并且在這些機械運動中都觀察到了剛度軟化和硬化機制．此外,不少學者也利用非局部應變梯度理論探究了FGPM納米結構的動態特性[20-21]．然而,以上研究對孔隙作用下FGPM納米殼的波動特性關注較少．

本文采用基于非局部應變梯度理論的一階剪切殼模型研究了多孔FGPM納米材料的波傳播特性．根據Hamilton原理推導了結構的非局部運動微分方程,進而通過數值分析研究了尺度參數、幾何參數、內部結構參數、外部電壓等參數對波傳播特性的影響．

1 多孔FGPM納米殼的動力學建模

1.1 非局部應變梯度理論

由Lim等建立的非局部應變梯度理論綜合考慮了應力場與高階應力場的非局部性．其應力場可表示為[22-23]

(1)

(2)

(3)

式中,l是表征高階應變梯度效應的材料特征長度參數,α0與α1是非局部核函數,e0a和e1a是表征非局部效應的非局部參數,cijkl是彈性系數,ε′kl和ε′kl,x分別是應變和應變梯度．將式(2)、(3)代入式(1)中,引入Laplace算子?2,可得到一種簡化應力和非局部應力的關系:

[1-(e1a)2?2][1-(e0a)2?2]σij=[(1-(e1a)2?2)-l2?2(1-(e0a)2?2)]cijklεkl．

(4)

經典非局部應變梯度理論假設e0=e1,并忽略高階項Ο(?2),即可得到基于該理論的本構方程為

[1-μ?2]σij=(1-η?2)cijklεkl,

(5)

其中,μ=(e0a)2,η=l2．在電場的影響下,FGPM納米殼結構的矩陣形式本構方程可以定義為

(6)

(7)

1.2 多孔FGPM納米殼的幾何描述

本文采用由壓電陶瓷PZT-4與PZT-5H耦合組成的多孔FGPM納米殼模型,如圖1所示．殼長度為L,半徑為R,厚度為h,圖中U(x,θ,z,t),V(x,θ,z,t)和W(x,θ,z,t)是殼上任意一點處在x,θ,z三個方向上的位移．殼內部含有的孔隙分布形式可看做是均勻分布,FGPM納米殼的材料常數[25]可表示為

(8)

圖1 多孔FGPM納米殼的模型示意圖Fig. 1 The geometric model for the porous FGPM nanoshell

其中,z為納米殼中任意一點到中表面的垂直距離,參數N∈[0,∞)表示冪律指數,即功能梯度指數,參數α為孔隙率．為了滿足Maxwell方程,FGPM納米殼外部沿厚度方向分布的電勢定義為[26]

(9)

其中,β=π/h為一個線性常數,Φ(x,θ,t)表示殼平面上分布的電勢,V0代表初始的外加電壓．

利用一階剪切變形殼模型方程分析位移場[27],得到殼中任意一點處的位移分量為

(10)

FGPM納米殼任意一點處的電位移為

(11)

(12)

(13)

1.3 多孔FGPM納米殼的運動微分方程

FGPM納米殼上各個點處的動能ΠK為

(14)

模型應變能ΠS為

(15)

軸向和環向電場力對FGPM納米殼做功為

(16)

將式(14)—(16)代入Hamilton原理

(17)

可得如下控制微分方程:

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

其中

(24)

(25)

(26)

(27)

將非局部應變梯度本構方程(4)沿納米殼徑向進行積分,并將所得力和力矩表達式代入控制方程(15)—(20)中,可得位移形式的結構運動微分方程如下:

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

其中,Γμ=(1-μ?2),Γη=(1-η?2)．

2 多孔FGPM納米殼波傳播問題的求解

針對FGPM納米殼內每一點處波傳播響應的模擬問題,引入殼結構波傳播通解[28]:

(34)

其中,Um,Vm,Wm,ψxm,ψθm分別表示納米殼各個點處波傳播的位移與轉角的幅值,Φm表示電勢幅值,i為虛數單位,k和n表示波傳播時沿著x方向產生的縱向波數和沿著轉角θ方向產生的周向波數．將通解方程(34)代入運動微分方程(28)—(33)中,即可得到FGPM納米殼的波傳播特征方程為

(35)

其中,L6×6與H6×6分別為剛度系數矩陣以及質量系數矩陣,角頻率ω的值可由系數矩陣的行列式等于零求得,而波傳播頻率f的值可根據f與ω的關系式得到:

(36)

3 數值結果及分析

本節通過求解特征方程(32),研究了波數、尺度參數、幾何參數、外部電勢、孔隙率以及功能梯度指數對圖1所示FGPM圓柱形納米殼波傳播特性的影響,兩種材料參數如表1所示[29]．

表1 FGPM的材料特性數值

3.1 有效性驗證

為了檢驗理論模型的正確性,將FGPM納米殼的結果和磁電彈納米殼的結果進行驗證．基于非局部理論將本文得到的波傳播頻散關系與Ma等[16]的結果(文獻[16]中的圖3(a))進行對比(圖2)．可以看出,本研究的結果與Ma等[16]的結果良好吻合,驗證了本研究的有效性．

圖2 退化驗證(η=1 nm2)Fig. 2 Comparison of frequency dispersion results (η=1 nm2)

(a) k=5×108m-1

3.2 數值討論

表2表示前三階固有頻率(f1,f2,f3)與縱向波數k和周向波數n的關系．從表中可以看出三階頻率隨著縱向及周向波數的增加而增加,且兩方向波數對頻率的增加影響呈現互補效果．本文后續工作主要分析探究納米殼中波傳播的縱向波數k對基頻f的影響．

表2 前三階固有頻率(f1, f2, f3)與縱向波數k和周向波數n的關系

圖3顯示了在不同波數k下,兩個尺度參數間比值η/μ的變化對FGPM納米殼波傳播頻率f的影響．圖中n=1,h=20 nm,R=200 nm,α=0.2,N=2,Φ0=5 V．從圖中可以看出,整體上,當η/μ<1時,非局部應變梯度理論對應的頻率都小于通過經典彈性理論得到的頻率,這是因為非局部效應占主導地位時,會使得殼的剛度減弱,呈現軟化效應．相反地,當η/μ>1時,非局部應變梯度理論獲得的頻率都大于通過經典彈性理論得到的頻率,此時占主導地位的應變梯度效應使得殼的剛度增強,呈現硬化效應．當η/μ=1時,非局部應變梯度理論和經典彈性理論得到的頻率是等價的,說明兩種類型的尺寸依賴效應會相互抵消．此外,固定長度尺度參數η不變,在不同波數下同等程度的改變非局部參數μ,發現當波數較大時導致的頻移大于波數較小時對應的頻移．同理,固定μ不變時,η對f的影響也隨著k的增大而增大．這表明由非局部參數引起的軟化效應和由應變梯度參數引起的硬化效應在波數較大時更加明顯,在波數較小時較為微弱．所以對于納米殼尺度效應的頻散特性研究不僅需要考慮尺度效應的作用,也需要關注波數的影響．

圖4為基于非局部應變梯度理論,在不同波數k下,變化的功能梯度指數N對FGPM納米殼波傳播頻率的影響．圖中n=1,R=200 nm,α=0.2,N=2,Φ0=2 V．在圖4中也可以觀察到圖3中的類似現象．這是由于當η<μ和η>μ時,非局部參數的軟化效應和應變梯度參數的硬化效應得到了體現．特別地,當兩個參數取值不同但比值相同時,其對應的f-N曲線在波數較小時間距很大,而在波數較大時近似重合．這也證明了納米結構中的波傳播行為研究需要考慮尺度效應和波數的共同作用．此外,還可以看出,波傳播頻率f隨著功能梯度指數N的增加而減小．這是因為在由PZT-4與PZT-5H耦合組成的FGPM納米殼中,當N增大時,材料的整體性能P會更接近于P5H,而P5H的彈性模量小于P4,從而整個納米殼的彈性模量會減小,與之相對應的頻率也會減小．且通過對比發現,頻率f受梯度指數N的影響程度隨著波數的增加而增加,也即納米殼頻率受到功能梯度指數和波數的耦合作用．

(a) k=1×108m-1

圖5探討了對于不同的殼厚h,FGPM納米殼的頻率f與功能梯度指數N間的關系．圖中μ=1 nm2,η=2 nm2,n=1,k=5×108m-1,R=200 nm,α=0.2,Φ0=2 V．從圖中可以看出,波傳播頻率f隨著殼厚h的增加而降低,且在殼厚h越小時,頻率對殼厚h變化越敏感．這是因為殼厚變大會導致結構剛度和質量的同時增加,而對于由PZT-4和PZT-5H復合而成的FGPM納米殼,在一定范圍內,由質量增加導致波傳播頻率的降低程度比由剛度增加導致頻率的增大程度更大．因此,更大的厚度會導致更低的頻率,而且這種影響程度隨著殼厚的減小而更加顯著．

圖5 不同殼厚下FGPM納米殼的頻率與功能梯度指數的關系Fig. 5 Frequencies vs. FG indexes for different thicknesses of the FGPM nanoshell

圖6中給出了孔隙率α和功能梯度指數N對FGPM納米殼波傳播頻率f的影響．圖中μ=1 nm2,η=2 nm2,n=1,k=5×108m-1,h=20 nm,R=200 nm,Φ0=2 V．由圖可知,孔隙率α和功能梯度指數N對波傳播頻率有耦合影響,當N從0開始小范圍內增加時,納米殼的頻率f會隨著孔隙率α的增加而增加．當N>3.6時,規律則會相反,即頻率f隨著孔隙率α的增加而減少．這是因為孔隙率對材料剛度的影響與此時的功能梯度指數有關．當N<3.6時,N減小,材料的剛度在增加,而α的增大會減小材料的剛度,但此時N較小,剛度較大的材料P4占比很大,即在這一耦合作用中,由N減小導致增加的材料剛度大于由α增大而減小的材料剛度, 所以頻率會增大．當N>3.6時,N與α的增加同時導致材料剛度的減少, 從而導致頻率快速減小．這說明對于兩種材料耦合組成的多孔FGPM,可以通過改變結構的孔隙率和功能梯度指數來控制波在該結構中的傳播．

圖6 不同孔隙率下FGPM納米殼的頻率 圖7 不同外電壓作用下FGPM納米殼的 與功能梯度指數的關系 頻率與功能梯度指數的關系 Fig. 6 Frequencies vs. FG indexes for different Fig. 7 Frequencies vs. FG indexes for different porosities of the FGPM nanoshell electric voltages of the FGPM nanoshell

圖7為在不同外加電勢作用下,FGPM納米殼的頻率與功能梯度指數的函數關系圖．圖中μ=1 nm2,η=2 nm2,n=1,k=5×108m-1,α=0.2,h=20 nm,R=200 nm．由圖可知,波傳播頻率會隨著正向電壓增大而減小,而隨反向電壓的增大而增大．這是由于在對模型結構施加正/反向電勢時,會在結構的軸向和周向產生壓/拉力,使得結構的剛度發生軟/硬化效應,從而減少/增加波傳播頻率．特別地,從圖中可看出,頻率對反向電壓變化的敏感度大于對正向電壓的敏感度．此外,還可觀察到頻率受正向與反向電壓的影響均隨著功能梯度指數的增加而變得明顯．這是因為N越大,材料P5H占比越多,而P5H的壓電系數大于P4,與之相對應的電壓對頻率的影響程度也會增加．

4 結 論

本文基于非局部應變梯度理論建立了多孔FGPM納米殼的尺度依賴模型．數值分析了尺度參數、梯度指數、孔隙率、殼厚和電壓對波傳播頻率的影響．主要結論如下:

1) 當尺度參數間比值η/μ<1時,會使材料剛度呈現軟化效應,而η/μ>1時,則呈現硬化效應,另外,增大波數或減小殼厚會加劇尺度效應;

2) 增大功能梯度指數或納米殼厚度會減小波傳播頻率,其中,波數越大,梯度指數的影響程度越大;

3) 孔隙和功能梯度指數對頻率具有耦合作用,功能梯度指數較小時,功能梯度指數和孔隙對頻率的作用總體表現為增強,反之表現為降低;

4) 對結構施加正向電壓,波傳播頻率會減小,施加反向電壓,頻率會增大,且電壓對頻率的影響程度隨著功能梯度指數的增加而增加．