考慮測量約束的非合作目標近距離快速導引控制方法

韓 月，曹 靜，王 鑫，王 勇，何雨帆，孫守明

（宇航動力學國家重點實驗室，陜西 西安 710000）

0 引言

近年來，隨著航天技術的飛速發(fā)展，航天產(chǎn)業(yè)的高投入、高風險等特性也日漸突顯。例如，航天器發(fā)生故障或燃料提前耗盡將嚴重影響其任務效益，并帶來巨大的經(jīng)濟損失；廢棄航天器不僅占用寶貴的軌位資源，還影響其他在軌航天器的安全運行［1］。為此，在軌衛(wèi)星的故障維修、燃料加注、輔助機動及在軌制造與組裝等在軌服務會逐漸成為航天領域的研究熱點［2-4］。

在軌服務任務過程中，經(jīng)常涉及追蹤航天器快速導引至非合作目標的需求，如何設計有效可行的控制算法是一項關鍵技術。由于Clohessy-Wiltshire（C-W）方程有解析解，且形式簡單，便于定性、定量分析和控制規(guī)律設計，因此在近程導引段通常采用C-W 制導。文獻［6］提出了基于C-W 方程的多脈沖交會策略，并通過遺傳算法進一步提高了控制精度。文獻［7］研究了等時間間隔多脈沖制導方法，并且針對近程導引段，基于C-W 方程設計了閉環(huán)多脈沖制導與控制策略。文獻［8］基于C-W 方程，將飛行時間和燃料消耗等性能指標作為控制約束，為近距離觀測目標的最后逼近段設計了最優(yōu)控制方案。考慮到實際應用過程中，衛(wèi)星上各種測量設備均有視場約束，而在近程導引段撤離或逼近時，為滿足衛(wèi)星軌跡安全性要求，需要對衛(wèi)星各種狀態(tài)進行監(jiān)視，這就要求衛(wèi)星運動軌跡盡量保持在測量設備視場范圍內(nèi)［9］。文獻［10］研究了基于C-W方程的滑移制導律，但是此算法沒有考慮視場約束。文獻［11］采用幾何方法推導了視場角計算公式，從相對運動和絕對運動兩個方面對接近段Vbar 的機動進行了分析。文獻［12］在視場角約束下，采用解析和數(shù)值相結(jié)合的方法研究了交會對接Vbar 撤離的徑向控制問題，但是該方法僅適應于機動點位于V-bar 上的特定情況下的近距離控制。

本文針對追蹤星接近非合作目標時突發(fā)情況多、初始條件不確定等問題，對任意初始條件下徑切聯(lián)合控制雙脈沖與視場角的解析關系，以及徑切聯(lián)合控制雙脈沖控后效果評估方法進行研究，希望相關理論能為工程中追蹤星接近非合作目標的近距離導引控制提供參考。

1 相對運動模型

定義在軌服務衛(wèi)星為追蹤星（Chaser），被服務衛(wèi)星為目標星（Target）。以目標星軌道坐標系LVLH 為參考坐標系，原點在目標星的質(zhì)心，3 個坐標軸分別為目標星所在軌道面的徑向、切向和法向，如圖1 所示。若目標星的位置速度分別為RT、，定義角動量h=RT×，則這3 軸的單位矢量可以表示為

圖1 相對運動關系（LVLH 坐標系）Fig.1 Schematic diagram of the relative motion relationship（LVLH coordinate system）

假設雙星運行在近圓軌道上，考慮到近距離快速導引的需求，可以以經(jīng)典的C-W 方程為動力學模型：

式中：n為軌道平均角速度；x、y、z為追蹤星相對于目標星的位置矢量在目標星軌道坐標系中的投影。

2 考慮測量角度約束的非合作目標近程導引控制方法

考慮到C-W 方程為線性微分方程，其解析解如下：

式中：x0、y0、z0和分別為初始相對位置和速度；t為轉(zhuǎn)移時間。

假設初始時刻的相對位置速度為[r0v0]T，終端時刻的的相對位置速度為[r1v1]T，初始和終端施加的兩脈沖矢量分別為Δv0和Δv1，則

式中：為第1 脈沖施加后的速度矢量；為第2 脈沖施加前的速度矢量。

式（3）整理后可得：

如果給定任意的相對位置速度，在時間較短的情況下，可以采用C-W 制導方法設計近距離導引控制策略。每次的脈沖大小的遞推計算公式為

從原理上來講，兩組徑切法3 個方向的脈沖實現(xiàn)任意相對位置的轉(zhuǎn)移。針對追蹤星接近非合作目標時突發(fā)情況多、初始條件不確定等問題。假設初始相對狀態(tài)任意，考慮到面內(nèi)外控制是解耦的［13-16］，本文只涉及面內(nèi)控制策略設計方法。由于近距離快速導引控制過程中還需考慮測量角度約束，避免兩脈沖之間的相對運動軌跡出觀測視場。下面討論2 種情況。

1）已知脈沖大小求解視場角。初始時刻施加徑切脈沖（Δv0=-v0）后，追蹤星在軌道面內(nèi)的相對狀態(tài)為，根據(jù)式（5），軌跡上任意點對目標星的視線斜率為

通過對上式求導，如式（11）可表示為

確定導數(shù)為0 的點，即為視線上斜率最大的點：

求解式（13），即可得到滿足視線約束的轉(zhuǎn)移時間，相對軌跡如圖2 所示。由于式（13）為非線性方程，利用解析法難以求解，可以采用數(shù)值的方式進行求解。求解出最大視場角對應的時刻t后，代入式（10）就可求出最大視場角。

圖2 基于視場約束的相對運動Fig.2 Schematic diagram of the relative movement based on the view field constraints

2）已知視場角約束求解滿足視場角約束的脈沖大小。假設最大視場角為α，聯(lián)立式（10）和式（11）可以求得兩組解，分別如下：

其中：

在已知視場角約束的情況下，只要已知最大視場角時刻，可由式（14）直接求出要求允許的最大脈沖：

考慮到式（15）與視場角無關，因此為無效解。

上述模型是基于線性模型計算的，而在實際應用中需考慮軌道攝動，因此必須對上述計算結(jié)果進行修正，利用微分修正可以獲得攝動條件下滿足約束條件的徑切聯(lián)合雙脈沖控制參數(shù)。微分修正的目標是通過不斷調(diào)整優(yōu)化變量，從而使目標逐漸達到期望值［17-20］。追蹤星的終端狀態(tài)為目標參數(shù)，雙脈沖控制參數(shù)為優(yōu)化變量，則有如式（17）非線性函數(shù)。

式中：f1、f2、f3、f4分別為Δv0x、Δv0y、Δv1x、Δv1y的函數(shù)。

式中：J為雅克比矩陣，其中

在初始條件下，對追蹤星施加修正后的雙脈沖控制參數(shù)Δvb，看是否滿足追蹤星終端狀態(tài)，不滿足時在此基礎上加微小的攝動δ，使得追蹤星的終端狀態(tài)不斷地逼近真實的終端狀態(tài)，最終獲得修正后的雙脈沖控制參數(shù)。

3 基于相對偏心率矢量的徑切聯(lián)合控制控后效果評估

在實際應用過程中，由于軌控發(fā)動機受在軌運行條件和環(huán)境等因素的影響，發(fā)動機的推力大小存在一定的偏差［21-24］。因此，為提高控制精度，每次控后都需對控后效果進行評估，當次標定結(jié)果可作為下次控制的參考，據(jù)此可對點火時長進行修正，從而達到更精確的控制效果。因此，本文提出了一種徑切聯(lián)合控制的控后效果評估方法。

這里以GEO 軌道衛(wèi)星為例，建立徑切聯(lián)合控制控后標定模型。根據(jù)徑切脈沖對偏心率矢量的影響，分析控后軌道的偏心率矢量的變化［19］：

進一步根據(jù)式（9）計算實際控制量：

根據(jù)實際速度增量和理論速度增量進一步計算標定系數(shù)：

式中：Δvx和Δvy為理論控制量，根據(jù)本文第2 節(jié)計算得到。

式（23）得到的標定系數(shù)可以作為控后效果評估的準則，能夠為后續(xù)徑切聯(lián)合控制的實施提供參考。

4 仿真算例

4.1 基于C-W 方程的徑切聯(lián)合控制算例

以地球同步衛(wèi)星為例，參數(shù)設置如下：目標星運行在同步帶上方1 km，追蹤星相對目標星的初始位置為[-0.130 m 14 704.2 m 0]T，初始速度為[0 0 0]T，終端位置 為[0 10 000 m 0]T，終 端速度為[1 m·s-10 0]T，2 次脈沖機動可達到預期位置和速度，整個過程機動時間為10 800 s。徑切聯(lián)控算法得到需要的2 次脈沖序列見表1。

表1 脈沖序列Tab.1 Impulse sequence 單位：m/s

追蹤星達到預定的相對位置如圖3 所示，此方法可以一步到位直接機動到指定位置，能夠使追蹤星與目標星的相對位置達到預期，表明基于C-W 方程的徑切聯(lián)合控制算法是有效的。

圖3 相對狀態(tài)變量隨時間的變化曲線Fig.3 Variation curve of the relative motion states with time

4.2 考慮測量約束的徑切聯(lián)合控制算例

目標星運行在同步帶上方1 km，追蹤星相對目標星的初始位置為[0.110 m 13 969 m 0]T，初始速度為[0 0 0]T，終端位置為[200 m 20 000 m 0]T，終端速度為[1 m·s-10 0]T。

圖4 基于視場約束的軌跡Fig.4 Trajectory diagram based on the view field constraints

已知追蹤星相對于目標性的初始位置[-0.130 m 14 704.2 m 0]T，初始速度為[0 0 0]T，以及軌跡的最大視線角α=-15°。

通過式（10）和式（11）可以計算出施加脈沖后追蹤星在目標星軌道面內(nèi)的相對狀態(tài)，分別為

圖5 滿足計算條件的2 種軌跡Fig.5 Two kinds of trajectories satisfying the calculation conditions

4.3 基于相對偏心率矢量的徑切聯(lián)合控制標定算例

已知點火時刻軌道、理論熄火點軌道、實際熄火點軌道見表2，軌道歷元為北京時間2022 年3 月21 日12 點整，理論速度增量在LVLH 坐標下的情況見表3。

表2 控前控后軌道根數(shù)Tab.2 Orbital elements before and after control

表3 標定系數(shù)Tab.3 Calibration coefficients 單位：m/s

由初始軌道和實際熄火點軌道，根據(jù)式（21）可以求得實際的徑向速度增量和切向速度增量，進一步計算標定系數(shù)見表3，由此驗證了本文提出的徑切聯(lián)合控制標定方法是可行的。

5 結(jié)束語

本文以在軌服務任務為背景，針對追蹤星接近非合作目標時突發(fā)情況多、初始條件不確定等問題，基于C-W 方程提出了一種考慮測量約束的非合作目標近距離徑切聯(lián)合導引控制方法。先給出了在任意初始條件下視場角與脈沖之間的解析解；然后基于相對偏心率矢量建立了徑切聯(lián)合控制的控后效果評估模型；最后有針對性地進行了仿真驗證。結(jié)果表明，所提方法可達預期。