圖形直觀引導下函數問題的分析與解決*

福建師范大學附屬中學 (350007) 周裕燕

數學是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科,它本身具備“形”的因素.圖形能很好地直觀呈現數學信息,能讓一些比較隱蔽的數學結論和數學思想顯現出來.很多數學問題可以通過挖掘其中的“形”,把復雜的數學問題變得簡明、形象,使學生能簡單、清晰地找到解決問題的思路并預測結果,避免復雜的計算和推理.

函數問題是高考重要的考查題型,不僅類型豐富,而且方法靈活,是考查學生學科核心素養和關鍵能力的重要載體.此類問題由于解題思路不易尋得,且求解過程較為繁瑣,是學生分析與求解的難點問題.函數具備明顯的“形”的特征,本文以函數中的切線、零點及偏移問題為例,闡述如果借助圖形,將復雜的函數問題“直觀化”,借助圖形引導解題思路,揭示問題本質,并通過邏輯論證,實現問題解決.

1.運用圖形直觀,分析和解決函數的切線問題

例1 若過點(a,b)可以作曲線y=ex的兩條切線,則( ).

A.eb

B.ea

C.0

D.0

分析：當x→-∞時,曲線y=ex的切線的斜率k>0且k趨向于0,當x→+∞時,曲線y=ex的切線的斜率k>0且k趨向于+∞.結合圖象(圖1)可知,兩切線的交點R(a,b)應該在x軸上方,且在曲線y=ex的下方,故0

圖1

評注：若切點為(x0,ex0),求出切線方程y-ex0=ex0(x-x0),由過點(a,b)得,b-ex0=ex0(a-x0),轉化為關于x0的方程b-ex0=ex0(a-x0)有兩解進行判斷,運算較為繁瑣.利用圖形直觀分析問題,只需判斷兩條切線的交點(a,b)在x軸上方且在曲線y=ex下方即可解決問題.既體現了借助函數的圖形分析和解決問題的優越性,又有助于提高直觀想象素養.

2.運用圖形直觀,分析和解決函數的零點(方程的根)問題

例2 設函數f(x)是定義在R 上的單調函數,且?x∈R,f(f(x)-ex)=e+1.若函數g(x)=f(x)-k(x+2)有兩個零點,則k的取值范圍是( ).

A.(e,+∞) B.(1,e] C.(1,+∞) D.(0,1)

析解：由題意得f(x)-ex為常數,設f(x)-ex=t,

f(x)=ex+t,由函數y=f(x)為增函數,及f(t)=et+t=e+1,得t=1,故f(x)=ex+1.函數y=g(x)有兩個零點等價于函數y=f(x)與y=k(x+2)的圖象有兩個不同的交點,畫出圖象(圖2),由圖形可直觀看出,直線y=k(x+2)與曲線y=f(x)相切時的位置是關鍵.可求得經過(-2,0)的曲線y=f(x)的切線的斜率k=1.由圖象可知,要使y=f(x)與y=k(x+2)的圖象有兩個不同的交點,k的取值范圍為(1,+∞).故選C.

圖2

評注：本題求得函數y=f(x)的解析式,把y=g(x)有兩個零點轉化為函數y=f(x)與y=k(x+2)的圖象有兩個不同的交點,函數y=f(x)的圖象是常見、確定的,而直線y=k(x+2)過定點(-2,0).因此,通過圖象分析,確定關鍵(相切)位置,通過適當計算即可解決問題,從而避免繁瑣的數學運算,提高解題效率.

圖3

評注：求解(2)問,先通過畫圖分析,可以確定函數f(x)有且僅有兩個零點,及零點所在的大致區域,這是突破分類難點的關鍵,也是解決本題的關鍵.明確分類后,進而分區域逐一證明,在證明的過程中還需要在圖形的直觀引導下進行邏輯推理論證.用圖形直觀的方法可以更加簡單清晰地找到解決思路及預測結果,并引導解題的推理過程.

3.運用圖形直觀,分析和解決函數的偏移問題

例4 已知函數f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調性;

析解：(1)f(x)的定義域為(0,+∞).f′(x)=-lnx,當x=1時,f′(x)=0;當x∈(0,1)時f′(x)>0;當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0.故f(x)在區間(0,1]上為增函數,在區間[1,+∞)上為減函數.

圖4

評注：本題(2)小題通過畫圖,可以直觀發現m,n(m2,確定極值點偏向m,進而發現極值點的左右兩側,圖象變化趨勢.結合函數圖象特征,引導解題思路,并通過構造相關函數推理論證,較為簡便地解決問題.本題是極值點偏移問題,實質上是函數中非軸對稱的問題,由于其圖象的特殊性,可以把m(或n)通過直線x=1對稱,再通過函數的單調性解決此類問題.

圖5

由上述實例分析可見,圖形可以為分析和解決函數問題提供重要的直觀基礎和視覺支撐.在數學解題教學中,常常可以借助圖形直觀,將復雜問題簡單化、抽象問題具體化.利用圖形描述分析問題的思維活動,是課堂開展思維活動、培養學生思維品質的重要形式之一.在數學問題解題教學過程中,教師應注重滲透數形結合的思想方法,利用好圖形直觀的手段與方法,幫助學生直觀地尋找解決問題的思路,培養學生識圖、畫圖與析圖的能力,提高用圖意識,促進解題能力的提升和直觀想象的生成.