一道2023年奧林匹克競賽試題的多解及推廣

貴州師范大學數(shù)學科學學院 (550025) 文 帥 徐鳳旺 梁明端

1.試題呈現(xiàn)

分析：這是2023年全國中學生數(shù)學奧林匹克競賽東莞市預賽試題的一道求最值問題,其中已知條件與所求式子結(jié)構(gòu)對稱,M的表達式是由4個根式的和組成,每一個根式的被開方數(shù)均為整式與分式的和,形式上具有數(shù)學的美感,本文對該題進行多解探究,并對其進行變式和推廣.

2.解法探究

評注：此解法利用基本不等式與配湊法將每一個根式進行放縮,從而利用已知條件求得M的最小值.

評注：此解法兩次利用基本不等式的推廣將根式下的被開方數(shù)進行放縮,從而求得M的最小值.

評注：此解法利用切線的性質(zhì),將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題,從而求得M的最小值.

評注：此解法利用函數(shù)的凹凸性與琴生不等式,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題,從而求得M的最小值.

評注：此解法利用柯西不等式將每一個根式進行放縮,再用基本不等式的推廣求得M的最小值.

評注：此解法利用赫爾德不等式與閔可夫斯基不等式,求得M的最小值.

3.試題推廣

分析：此推廣是將試題中的未知數(shù)個數(shù)從“4”元推廣到“5”元,推廣的形式不變.

分析：推廣2是在推廣1的基礎上,將不等式未知數(shù)個數(shù)從“5”元推廣到“n”元,條件式子的結(jié)果從“1”推廣到“t”,推廣的形式不變.

分析：推廣3是在推廣2的基礎上,將推廣2中不等式每一個根號下的系數(shù)“1”和“8”推廣到“λ”和“μ”,推廣的形式不變.

分析：推廣4是將試題條件中的條件式子結(jié)果從“1”推廣到“t”,以及改變代數(shù)式的未知數(shù)的冪及結(jié)構(gòu)得到的.

分析：上述推廣1到推廣4均是推廣5的特例,下面列舉推廣5的證明過程,其他推廣的證明過程不再敘述.

推廣,對于數(shù)學學習與數(shù)學研究有著十分重要的意義.在數(shù)學學習中,推廣可以加強觀察、分析、比較、綜合、概括、歸納、類比和發(fā)現(xiàn)的能力,拓展不同的解題思路,提升創(chuàng)造性的思維.在數(shù)學研究中,推廣可以產(chǎn)生新問題與新方法,加深自身對問題的認識與理解.在數(shù)學競賽中,推廣可以激發(fā)學習興趣與求知欲,引領新的發(fā)現(xiàn)[1].