橢圓、雙曲線焦點弦性質的推廣及高考命題探源*

山東省實驗中學東校 (250109) 張蘊祿

圓錐曲線的焦點與準線是圓錐曲線一對重要的點與線,圓錐曲線的許多精彩絕倫的性質很多是通過焦點、準線這個載體來演繹的.本文將探索橢圓、雙曲線焦點弦的一個重要性質的推廣,并圍繞此性質進行高考命題探源.

1 橢圓、雙曲線焦點弦性質的推廣

橢圓、雙曲線的焦點弦的性質非常豐富,下面的性質1是橢圓、雙曲線焦點弦的一條重要性質.

圖1

圖2

定義橢圓、雙曲線的準焦點、類準線

(-a

橢圓、雙曲線的準焦點與類準線仍然保持了橢圓、雙曲線焦點、準線的若干性質,其中性質1對于橢圓、雙曲線準焦點與類準線仍然是成立的,即下面的性質2.

圖3

圖4

下面僅證明性質2(1),性質1、以及性質2(2)證法與此類似,限于篇幅、不再贅述.

圓錐曲線的準焦點和類準線本身就是圓錐曲線焦點、準線的推廣,其實橢圓的準焦點和類準線還可以再進行推廣.性質2中橢圓的準焦點在焦點軸上,再次推廣后,橢圓的準焦點還可以在短軸上.

圖5

2 高考命題探源

橢圓、雙曲線的準焦點與類準線,是焦點、準線的推廣,廣受高考以及各類命題人員的青睞,許多的高考試題與橢圓、雙曲線的準焦點和類準線有關.

圖6

(1)設動點P滿足PF2-PB2=4,求點P的軌跡;

(3)設t=9,求證:直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關).

命題探源：其中的(3)就來自于橢圓的準焦點與類準線的性質.易知點T(9,m)是類準線x=9上一點,MN一定過x=9對應的準焦點(1,0).

(1)求E方程;(2)證明:直線CD過定點.

在2023年高考中,全國新高考Ⅱ卷再一次考到了準焦點與類準線問題,只不過這一次曲線載體由橢圓換成了雙曲線.

3 經典解法

有關涉及橢圓、雙曲線準焦點與類準線問題的解法有很多,下面以例3的(2)為例,給出解決此類問題的兩種經典解法.

方法一：定比點差法

圖7

方法二：交點系方程法

分析：交點系方程法也常稱作曲線系方程法,此類問題運用交點系方程法可使思路清晰、過程簡潔.

橢圓、雙曲線的焦點、準線推廣到了準焦點與類準線.事實上,橢圓、雙曲線的準焦點、類準線還可以再進行推廣,例如準焦點還可以在對稱軸以外的其他位置,這就是圓錐曲線的極點、極線.也就是說圓錐曲線的性質是相互關聯的,只有經歷過一次次的拓展,才能厘清性質與性質之間的相互關系,才能達到對性質、結論的深度理解,才能任其題目千變萬化,總能透過題目的表面現象看到題目背后的本質,正所謂“不畏浮云遮望眼,自緣身在最高層”.